计算机中数据的表示

计算机中数据的表示
一、计算机中数据的表示方法
我们在初一的信息技术课程(第一单元)中已经知道，计算机中的数据都是用二进制来表示的。

这是因为：计算机是一个电器，在计算机中用电路的接通和断开、电压的高和低等类似的两种对立的状态来表示数据是最容易的。

二进制中只有0和1两个数字。

二进制的基本运算规则：
0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1 ，1+1=10
0*0=0 ，0*1=0 ，1*0=0 ，1*1=1
二进制和十进制整数的相互转换
十进制→二进制
方法：除二取余数
例：(25)10=(11001)2
二进制→十进制
方法：乘权求和
例：(110101)2
=1*25+1*24+0*23+1*22+0*21+1*20
=32+16+0+4+0+1=(53)10
类似于十进制数按位数展开：
如：(486795)10=4*105+8*104+6*103+7*102+9*101+5*100
=400000+80000+6000+700+90+5
二进制和十进制小数的相互转换
十进制→二进制
方法：乘二取整数
例：(0.35)10≈(0.01011)2
二进制→十进制
方法：乘权求和
不过这个权是负的，也就是倒数
例：(0.101101)2=1/21+0/22+1/23+1/24+0/25+1/26
=0.5+0+0.125+0.0625+0+0.015625=(0.703125)10
在不同进制的转换过程中，一般都要把整数部分和小数部分分别进行转换。

十进制数转换为二进制数后，往往会变得很长，为了解决这一问题，我们在计算机中引入了八进制数和十六进制数。

十六进制数中除了使用数字0-9以外，还要使用大写英文字母A-F分别对应十进制数的10-15。

八进制数中的每一位数字可以转换为三位二进制数字，十六进制数中的每一位数字可以转换为四位二进制数字。

二、计算机中的机器码
在计算机中，参加运算的数有正与负之分，数的符号也是用二进制来表示的。

用二进制表示带符号的数称为机器码。

通常规定，带符号数使用最高二进制位作为符号位，常用的机器码有原码、反码、补码（下面以8位的机器码为例讲解）。

1、原码
原码是在数值前直接加一个符号位的表示方法（即最高位为符号位）。

正数的符号该位为0，负数的符号位为1（0有两种表示），其余位表示数值的大小。

求原码的简单方法：若x为正数，则符号位为0，x的其余各位取值不变；若x为负数，则符号位为1，x的其余各位取值不变。

例如：（划线的部分为符号位）
[+7]原=00000111B、[-7]原=10000111B（注：可在数的最后加字母B表示该数是二进制数）
数0的原码有两种形式（+0和-0），即：
[+0]原=00000000B或[-0]原=10000000B（划线的部分为符号位）。

8位二进制原码的表示范围：-127~+127。

原码不能直接参加运算，可能会出错。

例如：数学上，1+(-1)=0，而在二进制中用原码表示则是00000001+10000001=10000010，换算成十进制为-2，显然出错了。

2、反码
正数的反码与原码相同；负数的反码的符号位为1，数值部分按位取反（即0变为1，1变为0）。

例如：（划线的部分为符号位）
[+7]反=00000111B、[-7]反=11111000B
数0的反码也有两种形式（+0和-0），即：
[+0]反=00000000B或[-0]反=11111111B（划线的部分为符号位）
8位二进制反码的表示范围：-127~+127。

3、补码
正数的补码和原码相同；负数的补码的符号位为1，并且这个1既是符号位，也是数值位，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1，也就是“反码+1”。

例如：（划线的部分为符号位）
[+7]补=00000111B、[-7]补=11111001B
补码在微型机中是一种重要的编码形式。

采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。

正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部分却不是它所表示的数的真值。

采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即：[0]
补
=00000000B（划线的部分为符号位）。

若字长为8位，则补码所表示的范围为-127~+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

补码的加、减运算
在计算机中，实际上只有加法运算，减法运算要转换成加法运算进行；同样，乘法运算也转换成加法运算进行，而除法运算则要先转换成减法运算，再转换成加法运算。

在计算机内部，对任意一个带有符号的二进制数来说，都是按其补码的形式来进行存储和处理的，所以在计算机中的运算用补码进行加减运算。

在用补码进行加减运算时，连同符号位一起参加运算。

补码加法运算公式：[X+Y]
补=[X]
补
+[Y]
补。

例：已知X=+0110011，Y=-0101001，求[X+Y]
补。

解：[X]
补=00110011，[Y]
补
=11010111，
[X+Y]补=[X]补+[Y]补
=00110011+11010111=00001010
因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中最高位产生的进位被丢掉，所以运算结果不是100001010，而是00001010。

补码减法运算公式：
[X-Y]补=[X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补。

公式中的[-Y]
补
称为负补。

做补码减运算之前，应该先求出减数的负补。

求负补的方法是：对补码（包括符号位）的每一位求反，且最低位加1。

例：已知X=+1001101，Y=+0111001，求[X-Y]
补。

解：[X]
补=01001101，[Y]
补
=00111001，
[-Y]补=11000111，
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
=01001101+1100011l=00010100
作业
1、计算十进制数0~32对应的二进制数、八进制数和十六进制数。

2、根据第1题中得出的二进制数、八进制数和十六进制数的对应关系，将下面的两个数转换为二进制数：(175)8、(9DA)16。

3、将以下十进制数分别转换成二进制数，并分别用原码、反码和补码的形式表示出来：45、-68、125、-127
4、已知X=+1110100，Y=+1010001，求[X+Y]补、[X-Y]补（要写过程）。

5、十进制数和二进制数的相互转换（要写过程）：
(67.8125)10=()2、(1011101.101)2=()10。