相似三角形-经典例题与练习-(含答案)

生本教育学科教师辅导讲义

则

，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF

DF

=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

⑦如果一个三角形两边的比等于另一个三角形某两边的比，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。

5. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平

二、典型例题分析

一、如证明三角形相似

例1、如图：点G 在平行四边形

ABCD

的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

题1 题2 题4 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD

例3：已知，如图，D 为△ABC 一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD

求证：△DBE ∽△ABC

例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？

请证明你的结论。

二、如应用相似三角形证明比例式和乘积式

例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF AC=BC FE

∙∙例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。求证：（1）

MA 2=MD ME ；（

2）∙MD ME

AD

AE =22例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，

求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

A

B

C

D

E

M

12

ཁB

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三、如用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8：已知：如图E 、F 分别是正形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且。3

1

==AD AF AB EB 求证：∠AEF=∠FBD

例9、在平行四边形ABCD ，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线，

求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC

例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD

例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG

例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF

A

B

C

D

E F

G

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三、巩固与练习

一、填空题： 1. 已知

，则__________

a b a b +-=229

5

a b ：= 2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm ，则其余两边之和是__________cm 3. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE 与△ABC 的面积之比为：__________。

题3 题7 题8 4. 已知线段a=4cm ，b=9cm ，则线段a 、b 的比例中项c 为__________cm 。

5. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________

6. 已知三个数1，2，，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________

3 7. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，若AD=12cm ，BC=18cm ，AE ：EB=2：3，则EF=__________

8. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BD ⊥CD ，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________

二、选择题：

1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________ A. 9：16

B. ：2

C. 3：4

D. 3：7

3 2. 在比例尺为1：m 的某市地图上，规划出长a 厘米，宽b 厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2

A.

B.

C.

D.

104m

ab 1042m ab abm 104abm 24

10 3. 已知，如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论：

题3 题4 题5