2017-2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷

北京市西城区2018 - 2018学年度第二学期期末试卷
高一数学2018.7
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1
[,)
+∞
2
执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x =_______.
12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.
13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，
170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .
14. 设x ，y 满足约束条件2,
1,10,y x x y y ++⎧⎪
⎨⎪⎩
≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.
15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位
数，则此数为偶数的概率是_______.
16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；
设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）
在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.
18．（本小题满分13分）
北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学
校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）给出图中实数a 的值；
（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约
有多少户；
（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.
19．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4
C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；
（Ⅱ）如果c =sin B 的值.
20．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .
吨
a
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有1223
1
111
n n a a a a a a λ++++
≤，求实数λ的最小值.
21．（本小题满分14分）
已知函数2
()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .
（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；
（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．
22．（本小题满分14分）
在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1
, ,
2
5, .
n
n n n
n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；
（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.
北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷
高一数学参考答案及评分标准
2018.7
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. A
2. B
3. B
4. B
5. D
6. A
7. C
8. D
9. C 10. C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. [2,2]-； 12.
5
2
； 13. 172，45； 14. 73； 15. 5
9
； 16. 4，29.
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,
则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，
解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，
所以2
22m m a a a =⋅， ………………………10分
即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，
解得4m =. ………………………13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，
所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为
(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分
所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………
………………7分
（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,
月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分
事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8
()15
P A =. ………………………13分
19.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164
c =+-⨯⨯⨯-=，
解得4c =. ………………………5分
（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==
.
……7分
由正弦定理
sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==
. ……………………10分
所以cos A ==
. 因为πA B C ++=，
所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分
1()4-+=. ………………………13分
（方法二）由1
cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4
b b =+-⨯⨯⨯-，
解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分
由正弦定理sin sin b c B C =
，得sin sin b C B c ==
………………………13分
20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，
所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =++
+
31
25(21)(21)(21)n ---=++++++
31
25(222)n n ---=++
++ ………………………6分
32(14)14n n --=+-
1
(41)24
n n =-+. ………………………9分
（Ⅲ）解：
1223
1111111
1
131335
(25)(23)
n n a a a a a a n n +=-+++
+
⨯⨯--+++
2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---
11
646n =--
-， ………………………11分 当1n =时，
1211
3a a =，
（注：此时1046
n <-） 由题意，得1
3
λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1
046
n >-， 所以
1223
11111
6
n n a a a a a a +<-+++
. 因为对于任意正整数n ，都有
1223
1
11
1
n n a a a a a a λ++++
≤，
所以λ的最小值为13
. ………………………13分
21.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由2
()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.
所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，
所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.
即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分
所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.
即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，
由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.
综上，2b >. ………………………8分
（Ⅲ）解：由题意，得不等式2
(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分
当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a
=-
. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a
>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：1
2x a
-<<-； ………………………12分 当1
2
a =
时，不等式的解集为∅； ………………………13分
当12a >
时，不等式的解为：1
2x a
-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1
}x a >-；当0a =时，不等式的解
集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当1
2a =时，不等式
的解集为∅；当1
2
a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.
22.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，
代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，
所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故150123483456
24()S a a a a a a a a a =++++
+++++
71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.
………………………8分
（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .
设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12n
n a a +=
， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，25
2
k t a ++=， 所以5
2
t t +≤
，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，
那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，
所以3t ≠. ………………………12分
如果5k a t ==，
当1k =时，5p =； 当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.
所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。