车辆主动悬架最优控制

车辆主动悬架的控制研究
悬架是汽车的重要装置之一，它对汽车的平顺性、操纵稳定性、通过性等多种使用性能有着很大的影响。

设计优良的悬架系统，对提高汽车产品质量有着极其重要的意义。

目前，汽车上普遍采用的是弹性元件和减震器组成的常规悬架，从控制力学的角度，将这种悬架称为被动悬架。

实践和研究结果都表明，常规悬架受到许多限制，即使采用优化方法来设计也只是将其性能改善到一定程度。

为了克服常规悬架对其性能改善的限制，在汽车中采用和发展了新型的主动悬架。

主动悬架能够根据路面情况及汽车运行的实际状态进行最优反馈控制，使汽车整体行驶性能达到最佳。

主动悬架的主要特点是能够主动提供能量，与传统被动悬架相比，其最大的优点在于具有高度的自适应性。

一、车辆主动悬架系统建模
主动悬架的分析模型如图3.3所示，图中u为主动悬架执行机构的作用力。

主动悬架的运动微分方程为：
⎪⎩⎪⎨⎧
---==)(01..11..
22x x k u x m u x m t (1)
状态变量、输出向量的选取同被动悬架，且为了便于与被动悬架的比较分析，选取与被动悬架模型相同的输入信号，路面激励仍为选白噪声)(t ω，
根据微分方程组（1），建立如下所示的状态方程和输
出方程 ⎪⎩⎪⎨
⎧+=++=Eu Cx y t D Bu Ax x )(ω。

（2）
式中：
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--=00
01000
00001010
1
m k A t ；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=121010m m B ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100D ；
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*********C ；⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0012m E 汽车悬架可认为是一种连续线性的随机最优控制系统，由最优线性滤波器串接确定性调节器的最优反馈增益系数矩阵组成。

这两部分参数可分别加以确定。

对于控制要求的性能指标是二次函数积分型的调节器问题，外界干扰是高斯白噪声，综合性能指标为：
dt
t u t R t u t X t Q t X u J T T ⎰∞
+=0)]()()()()()([)( (3)
此处认为汽车主动悬架的最优控制器为一个终端时间无限的线性调节器，问题仍是寻找最
优控制)(t u ，使目标函数J 取极小。

线性调节器的主要问题之一是如何选择Q 、R 阵以获得比较满意的控制过程动态响应，计算机仿真可以解决这个问题。

在悬架设计中，为提高汽车的操纵稳定性和行驶平顺性，应使簧载质量垂直加速度、悬架动扰度及轮胎动变形较小。

此外，从实现控制的角度来看，应使所需的控制能量较小。

因此式(3)可写为 ⎰∞
+-+-=0
221222011])()([dt
Ru x x q x x q J (4)
或写为
⎰∞
+=0
2][dt
Ru QX X J T (5)
其中
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=00
000000000001
2q q Q
这里，q 1——轮胎动变形加权系数 q 2——悬架动扰度加权系数
式(3.9)中第一、二项为误差指标，表示在0～∞整个时间内系统实际状态与平衡之间的误差总和。

这一积分越小，说明控制误差越小，性能越好。

积分式中第三项为能量指标，表示在0～∞整个时间内支付能量的总和。

系统状态转移是考控制u(t)来进行的，为要使系统误差很小，则需要支付很大的能量代价。

最优反馈增益系数矩阵式可写成
]
)()([)(1401322121。

＋x k x x k x k x x k kX t u +-+--=-= (6)
式中，增益值k 1~k 4有明确的物理意义。

k 1可等效于一放置于簧载和非簧载质量间的弹簧，改变k 1则影响簧载质量的固有频率；k 2作用于簧载质量的绝对速度上，影响其悬挂阻尼；k 3大小涉及轮胎变形，对车轮的垂直弹跳频率产生影响；k 4作用于非簧载质量的速度上，影响其非悬挂阻尼。

二、 主动悬架系统的能控性，能观测性
能控性和能观测性是系统的一种特性，是现代控制理论中的两个基本概念。

状态完全能控的充分必要条件是能控矩阵
[
]B
A A
B A
C n o 1-= 满秩；
状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵
[
]T
n T T T T b C A C A C O 1)(-= 满秩。

主动悬架系统参数的选取如下，即
m 1=36kg ；m 2=240kg ；k t =160000N/m ；
将参数值带入矩阵，利用Matlab 中的函数C o ＝ctrb(A,B)求悬架系统的能控矩阵C o ，利用函数r A =rank(C o )得矩阵的秩为r A =4,满秩，故系统是能控的。

利用Matlab 中的函数O b ＝obsv(A,C)求悬架系统的能观测矩阵O b ，利用函数r B ＝rank(O b )得矩阵的秩为r B =4,满秩，故系统是能观测的。

三、主动悬架的频域仿真
为了求得主动悬架系统的最优控制u(t),必须先求得反馈增益矩阵K，而K矩阵的求解决定于黎卡提代数方程的解—P矩阵，这可以用计算机来实现求解。

程序用Matlab语言编写，给定一组矩阵A、B、Q、R的有关数据，经过计算，便可以最终得到相应的矩阵P、K的数值。

下面取三组不同权系数q1，q2进行计算分析；
1)取q1=3.35E5,q2=40.5E5时，由程序得k1=2012.5,k2=977.1,k3=－1874.8,k4=－31.3，并求
得系统的传递函数及幅频特性，绘制系统的幅频特性图
%主动悬架q1=3.35e5;q2=40.5e5时的仿真程序：
m1=36;m2=240;kt=160000;q1=3.35e5;q2=40.5e5;
A=[0 1 0 -1;0 0 0 0;0 0 0 -1;0 0 kt/m1 0];
B=[0;1/m2;0;-1/m1];D=[0;0;1;0];
C=[0 0 0 0;1 0 0 0;0 0 1 0];
E=[1/m2;0;0];H=[0;0;0];
Q=[q2 0 0 0;0 0 0 0;0 0 q1 0;0 0 0 0];R=[1];
[K,P,F]=lqr(A,B,Q,R)
M=A-B*K;
N=C-E*K;
G=ss(M,D,N,H);
G1=tf(G)
i=1;
for s=0:0.1:80
s=s*2*pi*j;
G11=(7.811 *s^3 + 580.4 *s^2 + 3.727e004 *s + 1.422e-010)/(s^4 + 4.942 *s^3 + 4457 *s^2 + 1.809e004 *s + 3.727e004);
G12=(-4385 *s - 1.751e004)/(s^4 + 4.942 *s^3 + 4457 *s^2 + 1.809e004 *s + 3.727e004);
G13=(s^3 + 4.942 *s^2 + 64.29 *s - 2.145e-013)/(s^4 + 4.942 *s^3 + 4457 *s^2 + 1.809e004 *s + 3.727e004);
f(i)=abs(G11);
h(i)=abs(G12);
g(i)=abs(G13);
i=i+1;
end
s=0:0.1:80;
figure
loglog(s,f,'-',s,h,'-.',s,g,':')
legend('加速度','动扰度','动载荷')
图1. q1＝3.35E5，q2＝40.5E5的幅频特性图
由图1可以看出主动悬架的车身加速度、悬架动扰度、轮胎动载荷幅频特性图同被动悬架相似，同样具有双峰，不同的是在低频固有频率附近，主动悬架的响应幅值明显减小，且变化平缓，主动悬架的减振性能较为突出；在高频固有频率附近，主动悬架的响应幅值变化较大。

可知取该组权系数时，主动悬架的减振性能的改善程度不够理想；
2)取q1＝3.35E8，q2＝40.5E8时，由程序得k1=63640;k2=4863;k3=－36146；k4＝－904；
及系统的传递函数和幅频特性，绘制幅频特性图
%主动悬架q1=3.35e8;q2=40.5e8时的仿真程序:
m1=36;m2=240;kt=160000;q1=3.35e8;q2=40.5e8;
A=[0 1 0 -1;0 0 0 0;0 0 0 -1;0 0 kt/m1 0];
B=[0;1/m2;0;-1/m1];D=[0;0;1;0];
C=[0 0 0 0;1 0 0 0;0 0 1 0];
E=[1/m2;0;0];H=[0;0;0];
Q=[q2 0 0 0;0 0 0 0;0 0 q1 0;0 0 0 0];R=[1];
[K,P,F]=lqr(A,B,Q,R)
M=A-B*K;
N=C-E*K;
G=ss(M,D,N,H);
G1=tf(G)
i=1;
for s=0:0.1:80
s=s*2*pi*j;
G11=(150.6*s^3 + 1.673e004*s^2 + 1.179e006*s + 1.653e-008)/(s^4 + 45.36*s^3 + 5473*s^2 + 9.005e004*s + 1.179e006);
G12=(-3290*s - 7.332e004)/(s^4 + 45.36*s^3 + 5473*s^2 + 9.005e004*s + 1.179e006);
G13=(s^3 + 45.36*s^2 + 2033*s + 5.386e-012)/(s^4 + 45.36*s^3 + 5473*s^2 + 9.005e004*s + 1.179e006);
f(i)=abs(G11);
h(i)=abs(G12);
g(i)=abs(G13);
i=i+1;
end
s=0:0.1:80;
figure
loglog(s,f,'-',s,h,'-.',s,g,':')
legend('加速度','动扰度','动载荷')
图2. q1＝3.35E8，q2＝40.5E8的幅频特性图
由图2看出，主动悬架的低频共振频率明显地偏离了低频固有频率，与取前一组加权系数的主动悬架相比，悬架在高频附近幅值变化较大的现象得到很大改善，由于q1，q2主要为轮胎动变形和悬架动扰度的加权系数，可以看出相对于上一组加权系数，轮胎动变形和悬架动扰度的幅频特性得到了显著的改善，即车辆的平顺性和操纵稳定性得到显著提高。

3) 取q1＝3.35E9，q2＝40.5E9时，由程序得k1＝201250，k2＝7710，k3＝－61600，k4＝－2340，及系统的传递函数和幅频特性，绘制幅频特性图
%主动悬架q1=3.35e9;q2=40.5e9时的仿真程序：
m1=36;m2=240;kt=160000;q1=3.35e9;q2=40.5e9;
A=[0 1 0 -1;0 0 0 0;0 0 0 -1;0 0 kt/m1 0];
B=[0;1/m2;0;-1/m1];D=[0;0;1;0];
C=[0 0 0 0;1 0 0 0;0 0 1 0];
E=[1/m2;0;0];H=[0;0;0];
Q=[q2 0 0 0;0 0 0 0;0 0 q1 0;0 0 0 0];R=[1];
[K,P,F]=lqr(A,B,Q,R)
Co=ctrb(A,B); rA=rank(Co);
Ob=obsv(A,C) rB=rank(Ob);
M=A-B*K;
N=C-E*K;
G=ss(M,D,N,H);
G1=tf(G) i=1;
for s=0:0.1:80
s=s*2*pi*j;
G11=(256.7*s^3 + 4.335e004*s^2 + 3.727e006*s - 2.178e-008)/(s^4 + 97.13*s^3 + 9162*s^2 + 1.427e005*s + 3.727e006);
G12=(-2477*s - 9.938e004)/(s^4 + 97.13*s^3 + 9162*s^2 + 1.427e005*s + 3.727e006);
G13= (s^3 + 97.13*s^2 + 6429*s + 1.635e-010)/(s^4 + 97.13*s^3 + 9162*s^2 + 1.427e005*s + 3.727e006);
f(i)=abs(G11);
h(i)=abs(G12);
g(i)=abs(G13);
i=i+1;
end
s=0:0.1:80;
figure
loglog(s,f,'-',s,h,'-.',s,g,':')
legend('加速度','动扰度','动载荷')
图3. q1＝3.35E9，q2＝40.5E9的幅频特性图
由图3可知主动悬架的低频共振频率同样明显地偏离了低频固有频率，在高频处，主动悬架的共振峰“几乎”已消失，知悬架在高频处对振动的抑制较为明显。

总之，权系数对悬架性能有较大影响。

当q1、q2取得较大时，加速度值增大，动扰度值减小，而轮胎动变形的影响则不明显。

q1＝3.35E5，q2＝40.5E5时，悬架的综合性能较好，有较小的车身加速度、悬架动扰度和轮胎动载荷。

四、被动悬架与主动悬架的时域仿真
做时域仿真时，研究输入为一带宽白噪声，输出响应量分别为车身加速度、悬架动扰度、轮胎动变形的变化情况。

下面用Simulink对悬架进行仿真并绘制被动悬架系统与主动悬架系统的时域仿真图。

SIMULINK仿真框图是在求出被动悬架及主动悬架的传递函数后绘出的。

被动悬架的参数选取和主动悬架的一致。

即m1=36kg；m2=240kg；K t=160000N/m；K s=16000N/m；C s=980N·s/m
1)被动悬架的时域仿真图
图4. 被动悬架的车身加速度、悬架动扰度、轮胎动变形仿真图2)主动悬架的时域仿真图
（1）取q1＝3.35E5，q2＝40.5E5
图5 q1＝3.35E5，q2＝40.5E5时车身加速度、悬架动扰度、轮胎变形的荷仿真图（2）取q1＝3.35E8，q2＝40.5E8
图6 q1＝3.35E8，q2＝40.5E8时车身加速度、悬架动扰度、轮胎动载荷的时域仿真图（3）取q1＝3.35E9，q2＝40.5E9
图7 q1＝3.35E9，q2＝40.5E9时车身加速度、悬架动扰度、轮胎动变形的时域仿真图由时域仿真图4—7可看出，主动悬架对振动的衰减要优于被动悬架，在主动悬架中，q1＝3.35E5，q2＝40.5E5时，悬架性能又是较为突出的。