基于matlab的数学实验-高等数学中的若干问题

基于MATLAB的数学实验

——高等数学中的若干问题（一）§1．１数列及其极限

1．１．１引言

极限（Limit ）是高等数学中应用最普遍的基本概念之一，因而，正确地理解和把握极限的概念是非常重要的，借助于直观的想象和解释，不仅可以帮助我们理解和把握这一表述抽象的数学定义，而且对利用极限定义的其他数学概念如微分（Differential）、积分（Integral）和无穷级数的敛散性（Convergence and Divergence of Infinite Series）等重要概念的理解也是有帮助的。

1．１．２数列的收敛与发散

例1．１

让我们首先考察如下的数列：

x

n

n

n

=

+

sin()

12

，n=12

，， （1．１）

如果我们把x

n 看成是沿x轴运动的点P在t n

=时刻所处的位置，那么容易

看出(也容易证明)，随着时间t→+∞，动点P趋近于原点0。这个事实可借助于软件MATLAB直观地观察到，应用如下程序

sequence01.m:

%CONVERGENCE AND LIMIT OF SEQUENCE

k=700;

n=1:3:k;

x=sin(n)./(10+n);

e=input('Input epsilon, Please: epsilon=')

t=e\10;

for m=1:t;

if m>1/e;

N=m

break

end

end

plot(n,x)

hold on

title('CONVERGENCE AND LIMIT OF SEQUENCE')

gtext('xn = sin(n)/(10+n)')

可得到图1．１：

用上述程序还可以对任意给定的ε>0，求出N，使得当n N

>时，满足不等

式：x

n -<

0ε。此外，我们还可以使用MATLAB程序文件seqnummovie1.m和

seqnummovie2.m演示动点P趋近于原点0的动态过程。这两个文件如下：seqmovie01.m:

l=2;

m=moviein(l);

k=100;

n=1:k;

x=sin(n)./(10+n);

for j=1:1

for i=1:k/2

plot(x(2.*i),n(2.*i),'ro');

axis([-0.15,0.15,-200,1E+4])

m(:,j)=getframe;

end

end

movie(m)

seqmovie02.m:

l=10

M = moviein(l);

k=1000;

n=1:k;

y=n-n;

for i=1:10

for j=1:k

x(j)=10*sin(j-i)/(10+j-i);

end

plot(n,y,'r')

hold on

plot(n(5*i),x(5*i),'o');

hold on

plot(n(10*i),x(10*i),'o');

hold on

plot(n(20*i),x(20*i),'o');

hold on

plot(n(30*i),x(30*i),'o');

plot(n(40*i),x(40*i),'o');

hold on

plot(n(50*i),x(50*i),'o');

plot(n(60*i),x(60*i),'o');

hold on

plot(n(70*i),x(70*i),'o');

plot(n(80*i),x(80*i),'o');

hold on

plot(n(90*i),x(90*i),'o');

plot(n(100*i),x(100*i),'o');

axis([0,1020,-0.5,0.5])

M(:,i) = getframe;

hold off

end

movie(M,12)

plot(n(1:3:k),x(1:3:k),n,y,'r')

1．１．3 思考与实验

为了对极限概念的理解以及极限问题的讨论和计算，特别是对高等数学中的两个在理论上和应用方面都十分重要的极限：

lim lim lim lim n n n n

x x x

x n y x →∞→∞→∞→∞=+⎛

⎝ ⎫⎭

⎪

=+⎛

⎝ ⎫

⎭

⎪⎧⎨⎪⎩

⎪⎫⎬⎪

⎭

⎪1111 （1．２） lim lim sin lim lim sin n n n x x x n n y x x →∞→∞→→∞=⎛⎝ ⎫

⎭

⎪=⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭10 （1．３） 可以通过类似的实验进行研究和讨论，此外，下面的问题也是重要的，并且需要研究和讨论： 问题与实验1．１

选择适当的例子找出收敛数列（函数）趋近于极限的典型方式，并通过实验进行观察，你能发现多少种不同的收敛的方式？ 问题与实验1．２

选择适当的例子找出发散数列（函数）的典型发散方式（过程），并通过实验进行观察，你能发现多少种不同的发散的方式？ 下面的例子可能是具有启发性的： 例1．２

()[

]

x n n

n n

=++-10112

， n =12，， （1．４）

由于当n m =2时，x n n n =+102；由于当n m =+21时，x n

n =10

，所以数列{}x n 有两个典型的子数列： 发散的子数列：m m

x m 45

2+=

； 收敛的子数列：x m m 2110

21

+=

+； 程序文件sequence04.m 绘制的图1．２显示了数列{}x n 的演化过程，文件内容如下：

sequence02.m ：