线性方程组的应用

线性方程组的应用
线性方程组是线性代数的主要研究对象之一，它的理论严谨、发展完善、处理问题方法独特，可应用于解决各个领域的实际问题。

在代数理论中，借助于方程组可以判断向量组的线性相关，可以求矩阵的特征向量等；在几何、物理、化学、经济、生物、食品等许多方面，方程组也有着广泛的应用。

应用一．线性方程组在空间解析几何中的应用
1.1．线性方程组表示平面，判断平面的位置关系
在空间解析几何中，任一平面可以用三元一次方程01111=+++D z C y B x A 表示，下面用方程组解的判定来判别两个平面的位置关系。

设两个平面
Ⅱ1：01111=+++D z C y B x A
Ⅱ2：02222=+++D z C y B x A
则Ⅱ1，Ⅱ2间的相互关系有下面三种情形：
(1)当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22221111222111D C B A D C B A R C B A C B A R ，即方程组 11112222
00A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ 的系数矩阵的秩不等于其增广矩阵的秩，方程组无解，故Ⅱ1，Ⅱ2没有公共点，Ⅱ1，Ⅱ2平行且不重合。

(2)当122221*********=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A D C B A R C B A C B A R 时，方程组 11112222
00A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩
有无穷解，且Ⅱ1，Ⅱ2重合。

(3)当222221*********=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A D C B A R C B A C B A R 时，方程组 1111222200
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ 有无穷多解，但Ⅱ1，Ⅱ2不重合，相交于一条直线。

例.1 判断平面
Ⅱ1：082=+-+z y x
Ⅱ2: 072=-++z y x
的位置关系。

解: 271128121112121=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=R R 所以，平面Ⅱ1，Ⅱ2相交于一条直线L 。

1.2 三维空间应用举例
线性方程组可以应用于三维空间中，先将所考虑的问题化为一线性方程组，再
利用计算机进行求解，此种方法有进一步的推广。

例：考虑3维空间中由不等式：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤++≥++≥≥≥12
32463260
00321321
321x x x x x x x x x 决定的区域。

若将不等号换成等号，它们就是空间中的5个平面。

每三个平面成一组，求这三个平面的交点的坐标，可找到多少个点？对每一个点判断是否所有不等式都成立？若都成立，此点就是一个顶点，有多少个顶点？
分析问题
由于所给条件是一些不等式，对其进行求解有一些困难。

我们考虑将上述不等
式中的不等号换成等号。

为了统一起见，将最后一个不等式作如下等价变形：
1232412324321321-≥---⇔≤++x x x x x x
一共要求解10次方程组。

当方程个数较多时，用人工方式显然效率十分低下而且准确率难以保证。

由此考虑用计算机求解。

用Matlab 6.1对该问题进行求解
求解程序
A=[1,0,0;0,1,0;0,0,1;6,2,3;-4,-2,-3];%系数矩阵
B=[0;0;0;6;-12]; %常数项矩阵
General_Solution =[]; %未经判断的解矩阵
Vector_Solution =[]; %产生每组解的方程序号和解所不满足的不等式序号矩阵 None_Solution=[]; %无解方程组的方程序号矩阵
Valid_Solution=[]; %经过判断有效的解矩阵
t=1;
l=1;
Solve_equations; %方程求解
r=1;
for(s=1:t-1)
if(sum(Vector_Solution(size(A,2)+1:size(A,1),s))==0)%判断解的有效性 Valid_Solution(:,r)=General_Solution(:,s);%储存有效解
r=r+1;
end
end
General_Solution
Vector_Solution
None_Solution
Valid_Solution
其中Solve_Equations的程序如下：
for(i=1:size(A,1)-2)
for(j=i+1:size(A,1)-1)
for(k=j+1:size(A,1))
if(rank(A([i,j,k],:))==size(A,2)) %判断是否满秩
General_Solution(:,t)=inv(A([i,j,k],:))*B([i,j,k],:);%求解方程Vector_Solution(:,t)=[i;j;k;zeros(size(A,1)-size(A,2),1)];%记录方程序号
r=size(A,2)+1;
for(s=1:size(A,1))
if(s~=i&s~=j&s~=k)%寻找另外的不等式序号
if(A(s,:)*General_Solution(:,t)<B(s))%判断是否满足不等式
Vector_Solution(r,t)=s;%记录不满足的不等式序号
r=r+1;
end
end
end
t=t+1;
else
None_Solution(:,l)=[i;j;k];%记录无解方程组的方程序号
l=l+1;
end
end
end
end
应用二线性方程组在经济生产中的应用
在经济生产中，线性方程组的应用主要是解决投入产出问题，即经济系统内部各部门间生产和分配的线性关系。

2.1 经济生产应用举例
例1：某城三个经济部门：煤炭，电力，建材。

煤炭业每生产1元产品消费电力0.2元，消费建材0.1元；电力业每生产1元产品消费煤炭0.6元，消费电力0 .05元，消费建材0 .05元；建材业每生产1元产品消费煤炭0 .45元，消费电力0.1元，消费建材0.1元。

假设今年该城的煤炭部门收到外部订单10万元，电力部门收到外部订单20万元，建材部门收到外部订单30万元。

那么今年该城这三个部门应该如何安排生产？我们把该城的三个经济部门作为一个系统。

首先把每生产一个单位产品要消费的系统内部东西的数量称为内部消费系数。

如表1：
表1内部消费系统表
消费部门
生产部门煤炭电力建材
煤炭0 0.6 0.45
电力0.2 0.05 0.1
建材0.1 0.05 0.1
资料来源：赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1996:213-225
设生产量安排为：煤炭1x 万元，电力2x 万元，建材3x 万元。

那么所有生产消费情况可列如表2：
表2 全部生产消费量表（单位：万元）
消 费 部 门
生产部门 生产量 煤炭 电力 建材 外部订单
煤炭 1x 01x 0.62x 0.453x 10
电力 2x 0.21x 0.052x 0.13x 20
建材 3x 0.11x 0.052x 0.13x 30
当然是既满足所有外部内部需要而产品又无积压为好，这就是所谓的产销平衡原则。

因此
⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=301.005.01.0201.005.02.01045.06.003213
32223211x x x x x x x x x x x x
解得:
⎪⎩⎪⎨⎧===)(86.40)(86.35)(91.493
21万元万元万元x x x
2.2 产品利润应用举例
在经济管理中经常要涉及到使用或分配劳动力、原材料和资金等，而使得费用最小或利润最大，线性规划是帮助我们解决这类问题的一个常用方法。

例2.：某企业生产甲、乙两种产品，要用三种不同的原料。

从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需要三种原料分别为1，1，0单位；每生产一件产品乙，需要三种原料分别为1，2，1单位；每天原料供应能力分别为6，8，3单位。

又知道，每生产一件产品甲，企业利润收入300元，每生产一件产品乙，企业利润收入为400元，企业应如何安排计划，使一天的总利润最大？
解：为了解决这一实际问题，应先建立该问题的数学模型。

将问题中条件列表如
表3：
设产品甲的日产量为1x 件，设产品乙的日产量为2x 件，显然0,021≥≥x x ，企业一天所获得总利润为S ,则S 是1x 、2x 的线性函数，即：
21400300x x S +=
表3 利润、原材料供应
产品
原料 甲 乙 原材料供应
A 1 1 6
B 1 2 8
C 0 1 3
利润 300 400
这个线性函数称为目标函数。

求目标函数的最大值，记为：
21400300m ax x x S +=
但在追求目标函数的最大值时，同时要满足问题中的一些限制条件，这些限制条件称为线性规划问题的约束条件，在本例中约束条件为：
0,0,3,82,62122121≥≥≤≤+≤+x x x x x x x 。

这样，这个问题的数学模型可写成
21400300m ax x x S +=
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤+≤+0
03826..21
22121x x x x x x x t s （4.2.1）
对约束条件的线性不等式，可以通过适当添加新变量，使其转化为线性等式，则（4.2.1）式可转化为：
21400300m ax x x S +=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=≥=+=++=++5,,2,1,03826..5
2421321 j x x x x x x x x x t s j 这样线性规划问题就转化为解线性方程组问题。

因此一个线性规划问题归根结底是一个线性方程组的求解问题。

2.3 运输费用应用举例
例3现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，需求量、库存量和运价（百元/T ）的数据如下表所示，试问在保证各纺织厂的需要都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使运费达到最小？
表4 运输问题数据
工 厂 j
仓库 i #1 #2 #
3 库存量 #1 2 1 3 50
#2 2 2 4 30
需求量 40 15 25
资料来源: 朱凤娟.经济数学（线性代数）[M].北京:中国商业出版社,1998:80-82 解：每个运输方案由各仓库到工厂的运输量确定。

题意即要确定从#i 仓库运到#j 工厂的原棉数量。

故设ij x 表示从#i 仓库运往#j 纺织厂的原棉数量)(t f 表示总运费，则f 可表示为：
23222113121142232x x x x x x f +++++=
因此各仓库的运出量不能超过它的库存量，故有
⎩⎨⎧≤++≤++30
5232221131211x x x x x x 另外，还要保证各纺织厂的需求都得到满足，故还有
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2515402313
22122111x x x x x x
同时，总运费应该是非负的
3,2,1;2,1,0==≥j i x ij
因而得本问题的运输模型
23222113121142232m in x x x x x x f +++++=
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=+=+=+≤++≤++)
3,2,1;2,1(025********..23132212
2111232221
131211j i x x x x x x x x x x x x x t s ij 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的平衡（指满足∑∑===m i n
j j i b a 11）运输模型为：
∑∑===m i n
j ij ij x c f 11min
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==n
j m i x n j b x m
i a x t s ij m
i j ij n
j i ij ,,2,1;,,2,1,0,,3,2,1,,,3,2,1,..1
1
其中，i a 为#i 发点的存量，j b 为#j 收点的需求量,ij c 为从#i 发点到#j 收点的单位运价。

模型属线性规划模型，一般可借助于数学软件求解。

例如Matlab 软件包的函数。

模型最优解为：
0,30,25,15,10332221131211======x x x x x x
最优值为:
170=f
应用三 线性方程组化学中的应用
3.1 化学方程式的平衡应用
线性方程组在化学中有着广泛的应用，其应用之一是利用方程组对化学方程式进行配平。

例3.1.1 在光合作用过程中，植物能利用太阳光照射将二氧化碳（2CO ）和水（O H 2）转化葡萄糖（6126O H C ）和氧（2O ）。

该反应的化学反应式具有下列形式：
61264232221O H C x O x O H x CO x +→+
为了使反应式平衡，我们必须选择恰当的1x ，2x ，3x 及4x 才能使反应式两端的碳（C ）原子、氢（H ）原子及氧（O ）原子数目对应相等。

由2CO 含一个C 原子，而6126O H C 含6个C 原子，故而为维持平衡，必须有：
416x x =
类似地，为了平衡O 原子，必须有：
4321622x x x x +=+
最后，为了平衡H 原子，必须有：
42122x x =
如果将所有未知量移至等号左边，那么将得到一个齐次线性方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=--+=-012206220642
432141x x x x x x x x
其系数矩阵的秩n A r <)(，可以知道方程组有非零解，为了使化学方程式两端平衡，必须找到一个每个分量均为正数的解[]T
x x x x 4321,,,。

简化该方程组的增广矩阵可得：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0610006010060010120200621206001B
按通常解法我们可取4x 作为自由未知量，则有
⎪⎩⎪⎨⎧===43
4241666x x x x x x
特别地，取14=x ,14=x 时，则6321===x x x 。

此时化学反应式具有形式：
6126222666O H C O O H CO +→+
应用四 线性方程组在数理金融中的应用
矩阵是数，参数或变量的矩阵排列，通过矩阵的加减乘除运算，以及矩阵转置，
逆矩阵的相互关系，可以求解线性方程组。

IS 是表示所有符合商品市场均衡的利率和收入水平的不同组合的点的轨迹；
LM 是表示所有符合货币市场均衡的利率和收入水平的不同组合的点的轨迹。

LM IS -分析试图找到使商品市场和货币市场都处于均衡状态时的收入和利率水平，这可以通过方程组来完成。

例1 对于一个简单的二部门经济，当I C Y +=，商品市场是均衡的，当货币供
给（S M ）等于货币需求（d M ）时，货币市场是均衡的，货币需求依次由货币的预备交易需求（t M ）和特殊需求（z M ）组成。

假设：一个二部门经济
i M Y M M i I Y C z t S 15052,3.0,250,7598,8.048-===-=+= 求均衡收入Y 和均衡利率i 。

解：当I C Y +=，商品均衡IS 存在，代入方程
i Y Y 75988.048-++=
i Y Y 751468.0-=-
0146752.0=-+i Y
当S M =t M +z M 时，货币均衡（LM ）存在，代入方程
i Y 15030250-=。

01981503.0=--i Y
两市场联立均衡⎩⎨⎧=--=-+0
1981503.00146752.0i Y i Y
用矩阵表达，其中⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=198146,,1503.0752.0βi Y X A 5.523.075)150(2.0-=⨯--⨯=A
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-5.522.05.523.05.52755.521502.03.0751505.5211A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=08.07001981465.522.05.523.05.52755.52150X 当均衡价格700=Y ，均衡利率8%i =时，商品市场和货币市场是联立均衡的，在这时：
9208.07598,6087008.048=⨯-==⨯+=I C
2107003.0,70092608=⨯==+=+t M I C
250,4008.015052=+==⨯-=z t s z M M M M
应用五 线性方程组在商业中的应用
5.1顾客增减问题
例1某地区乳品市场，有三家供应商，各厂商的顾客经常互相流动。

本月份顾
客增减得失情况如下表（假设顾客总数不变，所有新增加的顾客均来自其他供应厂商原有顾客，所失去的顾客皆转化为其他供应厂商的顾客）。

表5 顾客增减得失情况表
新增客户数 失去客户数
企业 初期客户数 来自A 来自B 来自C 流向A 流向B 流向C 期末客户数
A 560 -- 80 30 -- 10 20 640
B 280 10 -- 20 80 -- 60 170
C 160 20 60 -- 30 20 -- 190
资料来源 ：David C Lay. Linear Algebra and Its Applications[M]. Beijing:
China Machine Press
（1）若定义：市场占有率=当前企业客户数市场客户总数
，写出6月底市场占有率分布情况0X （2）若定义：转移矩阵33()ij P p ⨯=，其中
,,,ij i j p i j A B C i ==从企业流向企业的客户数，企业期初客户总数
写出7月底市场占有率的预测式1X 并计算预测值。

（3）若市场发展达到稳定平衡状态，即上一期市场占有率与下一期市场占有率不变，求出平衡状态下的市场占有率。

解：（1）供货商A 的市场占有率0.64=
=6401000 供货商B 的市场占有率0.17=
=1701000 供货商C 的市场占有率0.19=
=1901000
所以市场占有率分布情况: 00.640.170.19A X B C
←⎡⎤⎢⎥=←⎢⎥⎢⎥←⎣⎦供应商供应商供应商 （2）7月底市场占有率的预测式:
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==68.021.003.013.050.002.019.029.095.001P PX X ，其中
所以⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1841.01225.06934.001PX X （3）设平衡状态市场占有率为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=321x x x X ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡68.021.003.013.050.002.019.029.095.0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ，这里1321=++x x x
A 企业：0.818
解上述方程组可得平衡状态时各企业的市场占有率： B 企业：0.064
C 企业：0.118
5.2工资问题的应用
例5.4.1现有一个木工，一个电工和一个油漆工，三个相互同意彼此装修他们
自己的房子。

装修之前，他们达成了如下协议：（1）每人总共工作10天（包括给自己家干活在内）；（2）每人的日工资根据一般的市场价在60-80元之间；（3）每人的日工资应使得每人的总收入支出相等，表6是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每人应得的工资？
表6 分配方案
工 种
天数 木工 电工 油漆工
在木工家工作的天数 2 1 6
在电工家工作的天数 4 5 1
在油漆工家工作的天数 4 4 3
资料来源：刘剑平,施劲松,钱夕元.线性代数及其应用[M].上海:华东理工大学出版社.
解：以1x 表示木工的日工资，2x 表示电工的日工资，3x 表示油漆工的日工资。

木
工的10个工作日总收入为101x ，木工，电工及油漆工在木工家工作的天数分别为：2天，1天，6天,则木工的总支出为32162x x x ++，由于木工总支出和总收入要相等，于是木工的收支平衡关系可描述为：
13211062x x x x =++
同理，可分别建立描述电工，油漆工各自的收支平衡关系的等式
3321232110344,1054x x x x x x x x =++=++
联立并整理得三人日工资数应满足的齐次线性方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++-0
7440540
68321321621x x x x x x x x x
解得：
72;64;62321===x x x （元）
应用六 线性方程组在交通中的应用
交通流量问题
例1下面图形给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）
图1 某城市部分单行街道的交通流量
资料来源:雷纪刚,唐平,田茹.线性代数论及其应用[M].北京:机械工业出版社。

假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量。

（2）全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量。

解：由网络流量假设，所给问题满足如下线性方程组：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==-==+=+=+=-=+=+-1000
600200
4001000
800800
20050030063810
91098751216754
432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 利用Mathematic 解方程组得：
11221212800010012000050001001(,)800101000100104000060000x c c c c c c ηξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
为任意常数 应用七 线性方程组在现代技术中的应用
纠错码设计
线性方程还可以应用于现代技术中，当矩阵中的元素取特殊值时，可以利用齐次线性方程组纠正编码错误。

7.1 纠错码的概念
通俗的讲，编码就是将一个集合与固定的信息建立起对应关系。

例如:早期莫尔斯(Morse ) 码和波多(Bodo) 码等，它们就是把字母同点、划、空等信号对应给出表
达,这种方式虽然比较原始，但却可以反应出编码的基本思想。

现代技术的发展要求人们对通信的质量有更高的要求,但在实际中有一些不可抗拒的因素,如闪电等对通讯都会产生重大的影响。

在计算机指令中，一旦某个指令错误，将引起系统的崩溃。

所以，人们自然会想到，如果我们能够设计出编码的方式，使得我们能预知这些错误并能改正它们。

这就是纠错码的产生的原始动力。

此外,我们还要补充以下域的知识:
令{}1,02=F ,并定义2F 上的加法（+） 和乘法（×）的运算
如下：
根据高等代数中域的描述，{}1,02=F 关于上述两种运算构成域。

而线性方程组理论在任意的域上都是成立的。

4.2 应用举例
例6.2.1下面的例子就是一个最简单的纠错方案，我们看看它是如何实现纠错的。

作2F 上3×7矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101010101100110001111H 实际上将十进位数1，2，3， … , 7变成三位二进位数后，把它们看成2F 上的3元向量，依次排在第1 列,第2 列, …,第7 列，就得到上面的H 。

以H 为系数矩阵作2F 上的齐次方程组，取上述齐次线性方程组的解集合，它是2F 上7元向量的一个集合，用以作为承载各个信息的0，1向量的集合，这在编码理论中称为码集合，其中的每一个向量都是一个码字。

这个码集合共有24个元素。

前面说的特定结构就是它的向量都是上述齐次线性的解，或满足齐次线性方程组。

我们看看这个结构为何能用以纠
错。

这个码具有纠一个错的能力。

任一个码字
127...αααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是齐次线性的解，即满足H α= 0。

假设它在传输时受到干扰，有一位发生改变，设在第i 位发生改变，即第i 位由0变1或由1变0 。

由F 2的运算，这相当于第i 位上加上1 。

令
0...01...0...0i e i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
位,其中i=1，2，……7。

则接收到的向量为β=α+ e i 。

用H 乘它, H β= H α+ He i = He i 由矩阵乘法知， H e i 是H 的第i 列的列向量。

因此对接收到的向量β，若H β是H 的第i 列的列向量，则β错在第i 位。

只要将β再加上e i ，就恢复了发出的码字α。

若α虽受干扰，但未发生错误，则接收到的向量β=α满足H β= 0 。

因此若这个码集合的一个码字在传输过程中最多有一位错,则对接收到的向量β来计算H β就能断定发出的码字是谁,但错位有两个以上时就不能判定发出的码字, 故我们说这个码是纠一个错的码。

图2 编码纠错示意图
资料来源：David C Lay. Linear Algebra[M]. Beijing: China Machine Press 。

例1. 齐次线性方程解空间的编码纠错能力
设C 是一个齐次线性方程组的解空间,不妨设),(2F n V C ⊆即C 是2F 上n 维向量空间的子集;定义码集合C 上的距离为:(){}y x C y x y x d C d ≠∈=,,,min )( 其中=),(y x d 向量x 与向量y 对应分量不同的位数和。

例如: )1,0,0(,)0,0,1(==y x ,则2),(=y x d 。

码C 恰好可以纠正t 个错误的充分必要条件为12)(+t C d 或22+t 。

设()1122
2,m n n F X F αβββ⨯⨯=∈∈n ，，...，考虑齐次线性方程组：AX=0的解集C 为码集
合。

令
0...01...0...0i e i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭位 i=1,2,….n
若C 可以纠两个错, 则根据定义 , 512)(=+≥t C d 。

特别地,我们有:若C x ∈,任意不同的e i , e j , e k , e l 都有x + ei+ ej + ek + el 不是齐次
线性方程组的解,于是,我们有
A ( x +ei + ej + ek + el ) = A ( ei + ej + ek + el ) =βi +βj +βk +βl ≠0 。

在域F 2上，向量的表出系数为0或1,上述列向量的任意三个、两个或一个的表出同样也不是零，从而矩阵A 的任意四个列向量在域F 2上都是线性无关的，从而矩阵A 行数、列数均要大于4。

当然，我们上面所举的实例就无法做到纠两个错的。

⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=432110001010010010100011x x x x X A ， 则齐次线性方程组AX = 0的解集C 为码集合，可以满足纠两个错，但这个方程组的
码集合中只有两个元素。

所以从这个例子我们也可以看出纠错能力与码集合元素。