线性方程组的应用
_线性方程组的应用
线性方程组的应用一、网络流模型网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。
当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程.一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成. 网络中的点称作联结点(或节点),网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指定,并且流量(或流速)已知或者已标为变量.网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等,并且每个联结点流入和流出的总量也相等. 例如,下面两图分别说明了的流量从一个或两个分支流入联结点,321,x x x 和分别表示从其它分支流出的流量,54x x 和表示从其它分支流入的流量. 因为流量在每个联结点守恒,所以有1260x x +=和80354+=+x x x . 在类似的网络模式中,每个联结点的流量都可以用一个线性方程来表示. 网络分析要解决的问题就是:在部分信息(如网络的输入量)已知的情况下,确定每一分支中的流量.(a)601x 2x 803x 4x 5x (b)二、人口迁移模型 在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模,此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量,这样就产生了与时间间隔相应的向量序列,,x ,x ,x 210其中k x 表示第k 次测量时系统状态的有关信息,而0x 常被称为初始向量．如果存在矩阵A ,并给定初始向量0x ,使得1021,x Ax x Ax == ，,即 n n Ax x =+1( ,2,1,0=n ) (*) 则称方程(*)为一个线性差分方程或者递归方程．人口迁移模型考虑的问题是人口的迁移或人群的流动．但是这个模型还可以广泛应用于生态学、经济学和工程学的许多领域. 这里我们考察一个简单的模型,即某城市及其周边郊区在若干年内的人口变化的情况．该模型显然可用于研究我国当前农村的城镇化与城市化过程中农村人口与城市人口的变迁问题.设定一个初始的年份,比如说2002年,用00,r s 分别表示这一年城市和农村的人口．设0x为初始人口向量,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000s r x , 对2003年以及后面的年份,我们用向量 312123312,,,r r r x x x s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示出每一年城市和农村的人口. 我们的目标是用数学公式表示出这些向量之间的关系．假设每年大约有5％的城市人口迁移到农村(95％仍然留在城市),有12％的郊区人口迁移到城市(88％仍然留在郊区), 如图下图所示,忽略其它因素对人口规模的影响,则一年之后,城市与郊区人口的分布分别为:移居农村留在城市⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛05.095.00r ,留在农村移居城市⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛88.012.00s . 0.050.120.880.95因此,2003年全部人口的分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00101188.005.012.095.088.012.005.095.0s r r r s r 即 10x Mx =其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=88.005.012.095.0M 称为迁移矩阵. 如果人口迁移的百分比保持不变,则可以继续得到2004年,2005年,…的人口分布公式: 21x Mx =, ,Mx x 23=一般地,有n n Ax x =+1( ,2,1,0=n )这里,向量序列{}012,,,x x x 描述了城市与郊区人口在若干年内的分布变化.注:如果一个人口迁移模型经验证基本符合实际情况的话,我们就可以利用它进一步预测未来一段时间内人口分布变化的情况,从而为政府决策提供有力的依据．关于这个问题我们放到第四章的第五节来研究.三、电网模型一个简单电网中的电流可以用线性方程组来描述并确定,本段将通过实例展示线性方程组在确定回路电流中的应用. 电压电源(如电池等)迫使电子在电网中流动形成电流．当电流经过电阻(如灯泡或者发动机等)时,一些电压被“消耗”．根据欧姆定律,流经电阻时的“电压降”由下列公式给出:IR U =其中电压U 、电阻R 和电流I 分别以伏特(记作v )、欧姆(记作Ω)和安培为单位．下图中的电网连接了三个闭回路．回路1,2和3中的电流分别用321,I I I 和表示．回路电流的方向是任意的．如果一个电流为负,则表示实际的电流方向与图中闭回路的电流方向相反．如果电流所示的方向由电池正极(长的一端)指向负极(短的一端),则电压为正；否则电压为负.电网模型 40V 10V 60V Ω8Ω2Ω2Ω8Ω2Ω2A BD C Ω2Ω61I 2I 3I根据物理学,回路中的电流服基尔霍夫电压定律,即沿某个方向环绕回路一周的所有电压降IR 的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和．注:电网中的回路电流可以用来确定电网中每一分支中的电流．如果只有一个回路电流流经一个分支,如图3-7-3中的AB,则分支电流等于回路电流．如果多于一个回路电流流经一个分支,例如从DA,则分支电流为该分支中回路电流的代数和．如DA 分支中的电流为12312I I -=-=安培,方向与1I 相同,CB 分支中的电流为932=+I I 安培．四、配平化学方程式化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量. 下面我们以举例的方式来说明配平化学方程式的基本原理.例题选讲例1(E01) 下图中的网络给出了在下午一两点钟,某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式.303020104050A B C D 3x 4x 5x 1x 2x解 根据网络流模型的基本假设,在节点(交叉口)A,B,C,D 处,我们可以分别得到下列方程:1554432211050:40:30:3020:x x D x x C x x x B x x A +=++=+=++=+此外,该网络的总流入(20+30+50)等于网络的总流出(30+3x +40+10),化简得203=x .把这个方程与整理后的前四个方程联立,得如下方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=--=-20404030103515443221x x x x x x x x x x 取5()x c c =为任意常数,则网络的流量模式表示为c x c x x c x c x =+==+=+=54321,40,20,30,40网络分支中的负流量表示与模型中指定的方向相反. 由于街道是单行道,因此变量不能取负值. 这导致变量在取正值时也有一定的局限.例2(E02) 已知某城市2008年的城市人口为500 000 000,农村人口为780 000 000．计算2010年的人口分布．解 因2008年的初始人口为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7800000005000000000x , 故对2009年,有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=71140000056860000035000000085000000088.005.012.095.01x ,对2010年,有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65446200062553800071140000056860000088.005.012.095.02x . 即2010年中国的人口分布为城市人口为625538000,农村人口为654462000．例3(E03) 确定下图电网中的回路电流． 40V 10V 60V Ω8Ω2Ω2Ω8Ω2Ω2A BD C Ω2Ω61I 2I 3I解 在回路1中,电流1I 流过三个电阻,且电压降IR 为111122688I I I I =++；在回路2中的电流也流经回路1的一部分,即从D 到A 的分支,对应的电压降IR 为26I 伏特．然而,回路1中电流在DA 段的方向与回路2中选定的方向相反,因此,回路1中所有电压降IR 的代数和为21622I I -．由于回路1中的电压为+60伏特,由基尔霍夫电压定律,可得回路1的方程为6062221=-I I ,同理,可得回路2的方程为102126321=-+-I I I ,其中,16I -是回路1中流经DA 分支的电流(因为电流与回路2中的电流方向相反,所以电压为负)；212I 是回路2中所有的电阻乘上回路电流的和；32I -是回路3中流经CB 分支上2欧姆电阻的电流,方向与回路2中该段的电流方向相反．回路3的方程为506232-=+-I I注意,在CB 分支上10伏特的电池被当作是回路2和回路3中的一部分,但是由于回路3中电流方向,电池在回路3中为-10伏特．出于同样的道理,40伏特的电池也应取负值.综合上述讨论,上述电网的回路电流满足下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=-5062102126606223232121I I I I I I I写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5056062021260622321I I I (*)对增广矩阵进行行变换,得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----8100101030015062052126600622从而解得1I =3安培,2I =1安培,3I =-8安培．3I 取负值说明回路3中的实际电流与图中显示的电流方向相反.在方程组(*)中,如果将其系数矩阵记为R ,右端列向量记为u , =i T )I ,I ,I (321,则可得到以矩阵形式表示的欧姆定律:Ri u =.例4(E04) 燃烧丙烷时丙烷(C 3H 8)和氧气(O 2)结合,生成二氧化碳(CO 2)和水(H 2O),其化学方程式为:138223242()C H ()O ()CO ()H O x x x x +→+ (*)为了配平该方程式,必须找出一列14,,x x ,使得方程式左端的碳原子(C)、氢原子(H)和氧原子(O)的总数与右端对应的原子总数相等(因为化学反应中原有的原子不可能消失,也不可能产生新原子).解 配平化学方程式的一个系统的方法,就是建立能描述反应过程中每种原子数目的向量方程. 方程(*)包含了3种不同的原子(碳、氢、氧),于是在R 3中为(7.1)的每一种反应物和生产物构造如下向量,在其中列出每个分子所包含的不同原子的数目:382223010C H :8,O :0CO 0H O 20221←⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪←⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭碳，：，：氢氧为了配平方程式(*),系数14,,x x 必须满足1234301080020221x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭经整理得到如下方程组131423430820220x x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 取4x c =(c 为任意常数),得到如下通解.c x ,c x ,c x ,c x ====1121434541 由于化学方程式中的系数必须为整数,取44x =,此时11x =,235 3.x x ==且配平后的方程式为38222C H 5O 3CO 4H O +→+如果将每个系数翻倍,方程式仍然平衡. 不过,在大多数场合下化学家更倾向于使用尽可能小的整数来配平方程式.。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是代数中的一种重要概念，它在数学、物理、经济学等领域都有着广泛的应用。
线性方程组的求解和应用是数学学习中的重要内容，它不仅有助于我们理解和解决现实生活中的问题，还能够培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍线性方程组的基本概念、求解方法及其在实际应用中的重要性。
一、线性方程组的基本概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
线性方程组的一般形式可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bma11, a12, ..., amn是方程组的系数，x1, x2, ..., xn是未知数，b1, b2, ..., bm 是常数。
线性方程组的解就是一组满足所有方程的未知数的值，它可以有唯一解、无穷多解或无解三种情况。
下面我们将介绍线性方程组的求解方法。
二、线性方程组的求解方法1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法。
它通过对方程组进行初等变换，将其转化为简化的行阶梯形方程组，进而求解未知数的值。
这种方法适用于任意的线性方程组，并且能够保证得到方程组的所有解。
2. 矩阵法矩阵法是一种利用矩阵和行列式进行线性方程组求解的方法。
通过将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式，然后利用矩阵的运算法则进行变换，最终得到方程组的解。
这种方法简洁高效，特别适用于大型方程组的求解。
三、线性方程组的应用线性方程组在现实生活中有着广泛的应用，尤其是在数学、物理、经济学等领域。
下面我们以几个实际问题为例，介绍线性方程组的应用。
1. 混合物问题假设有两种成本分别为a元/kg和b元/kg的商品，要求混合成价值为c元/kg的混合物，问分别要混合多少kg才能得到混合物。
这个问题可以用线性方程组来解决，通过设置方程组表示成本和价值的关系，然后求解未知数即可得到解。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中一种重要的问题，它常常在物理、经济学、工程学等领域中被应用。
线性方程组求解是一种常见的数学方法，其重要性不言而喻。
在本文中，我们将详细介绍线性方程组的定义、求解方法以及其在实际中的应用。
一、线性方程组的定义线性方程组是指由若干个线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b，其中a1, a2, …, an为已知系数，b为已知值，x1, x2, …, xn 为未知数。
线性方程组通常以方程组的形式给出，如下所示：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm二、线性方程组的求解方法1. 列主元消去法列主元消去法是线性方程组求解的一种常见方法，其基本思想是利用行变换将线性方程组化为阶梯形或行最简形，然后利用回代的方法求解未知数的值。
下面以一个简单的二元一次方程组为例进行演示。
设有线性方程组：2x + y = 53x - 2y = 8首先将其写成增广矩阵的形式：2 1 | 53 -2 | 8然后通过行变换将其化为阶梯形：2 1 | 50 -7 | 2通过回代的方法求解得到未知数的值：y = -2x = 3继续以上述二元一次方程组为例进行演示。
首先将方程组写成矩阵的形式：| 2 1 | | x | | 5 || 3 -2 | * | y | = | 8 |以上就是线性方程组求解的两种常见方法，实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
三、线性方程组在实际中的应用线性方程组在实际中有着广泛的应用，下面主要介绍其在经济学、物理学和工程学中的应用。
1. 经济学在经济学中，线性方程组常常被用来描述市场供需关系、生产成本等问题。
假设某种商品的市场需求量与价格之间存在线性关系，可以通过观察市场上的实际数据得到一个线性方程。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。
线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。
本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。
一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。
通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。
举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。
然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。
2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。
通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。
仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。
3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。
通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。
考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。
通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。
二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是高中数学中的重要内容，对于解题能力的培养和数学思维的发展有着重要的作用。
本文将介绍线性方程组求解的基本方法，并举例说明其在实际问题中的应用。
线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的最高次都是1，即形如ax + by = c的方程。
线性方程组的求解可以通过消元法、代入法和矩阵法等方法来进行。
1. 消元法消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过变换线性方程组的等价方程组，使未知数的系数满足一定的要求，从而简化求解过程。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵形式，即将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成一个增广矩阵。
（2）通过行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵。
（3）根据行简化阶梯形矩阵求解出未知数的值。
2. 代入法代入法是另一种常用的线性方程组求解方法。
它的基本思想是将一个方程中的一个未知数表示成其他未知数的函数，然后代入到另一个方程中，通过解得的未知数值逐步代入，最终求解出所有未知数的值。
（1）选取一个方程，将其中的一个未知数表示成其他未知数的函数。
（2）将该函数代入到另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
（3）解得该未知数的值，并代入回第一步中的函数中，求解出其他未知数的值。
3. 矩阵法矩阵法是一种基于线性代数的求解方法，通过将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵相乘，将方程组转化为矩阵的乘法运算。
然后通过矩阵的性质和运算规则，求解出未知数的值。
1. 物理应用线性方程组可以用来描述物理现象中的平衡条件、运动轨迹和力的分解等问题。
用线性方程组来解决力的平衡问题、物体的运动轨迹问题等。
2. 经济应用线性方程组在经济学中有着广泛的应用，可以用来描述生产、消费、利润等经济现象。
用线性方程组来解决生产成本最小化、利润最大化等最优化问题。
3. 工程应用线性方程组在工程学中的应用非常广泛，可以用来解决电路分析、结构力学和流体力学等问题。
线性方程组的应用问题
线性方程组的应用问题线性方程组是数学中常见的一种问题求解形式，它可以用来描述多元线性关系。
在实际生活中，线性方程组的应用非常广泛，涉及到经济学、物理学、工程学等多个领域。
本文将通过几个具体的例子来介绍线性方程组在实际问题中的应用。
例一：商品购买问题假设有三种商品A、B、C，其单价分别为x元、y元、z元，小明购买了a个A商品、b个B商品、c个C商品，总共花费了m元。
我们可以建立如下的线性方程组：a * x +b * y +c * z = m在这个方程组中，未知数是a、b、c，代表小明购买的数量；系数x、y、z分别是A、B、C商品的单价；常数m表示小明花费的总金额。
通过求解这个线性方程组，可以得到小明购买的商品数量。
例二：流水线生产问题假设一个工厂有两条流水线，分别生产甲、乙两种产品。
第一条流水线每小时生产a个甲产品，第二条流水线每小时生产b个乙产品。
经过调整，两条流水线工作8小时，共生产了m个甲产品和n个乙产品。
我们可以建立如下的线性方程组：8 * a = m8 * b = n在这个方程组中，未知数是a、b，代表每小时生产的甲、乙产品数量；常数m、n分别代表实际生产出的甲、乙产品总数量。
通过求解这个线性方程组，可以得到每小时生产的甲、乙产品数量。
例三：混合液体问题假设有两种不同浓度的溶液A和B，分别含有a%和b%的溶质。
我们需要根据这两种溶液制备出m升含有c%溶质的混合溶液。
我们可以建立如下的线性方程组：(a * x + b * y) / (x + y) = cx + y = m在这个方程组中，未知数是x、y，代表混合溶液A、B的体积；常数a、b分别代表溶液A、B的浓度；常数c代表所需混合溶液的浓度；常数m代表所需混合溶液的总体积。
通过求解这个线性方程组，可以得到制备所需混合溶液所需的溶液A、B的体积。
总结线性方程组是实际问题求解中常用的数学工具，它能够准确描述多个变量间的线性关系。
通过将实际问题转化为线性方程组，并通过求解线性方程组，我们可以得到实际问题的具体解答。
线性方程组的应用
线性方程组的应用一、引言线性方程组是高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨线性方程组的应用，并介绍其中一些常见的应用案例。
二、经济学中的线性方程组应用1. 定价模型在经济学中，定价模型是一种常见的应用线性方程组的方法。
通过分析市场需求、成本和利润等因素，可以建立一个包含多个变量的线性方程组，以决定最优价格。
2. 生产计划线性方程组在生产计划中也有广泛应用。
通过建立产品产量、原材料使用和生产成本之间的关系，可以使用线性方程组来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
三、物理学中的线性方程组应用1. 物体的运动在物理学中，线性方程组可以用于描述物体的运动。
通过考虑物体所受的力和其运动状态之间的关系，可以建立包含时间、加速度、速度和位移等变量的线性方程组，从而预测其运动轨迹。
2. 电路分析电路分析是另一个物理学中常见的线性方程组应用。
通过考虑电流、电压和电阻之间的关系，可以建立描述电路中各个元件的线性方程组，以分析电路的运行状况和性能。
四、工程学中的线性方程组应用1. 结构力学在工程学中，线性方程组在结构力学中的应用尤为重要。
通过考虑结构物体所受的外力和内力之间的平衡关系，可以建立一个包含应力、应变和变形等变量的线性方程组，以确定结构物体的稳定性和安全性。
2. 电力系统分析电力系统分析是工程学中广泛应用线性方程组的领域之一。
通过建立供电网中各个节点之间的电流平衡关系，可以使用线性方程组来分析电力系统的稳定性、电压调节和功率分配等问题。
五、计算机科学中的线性方程组应用1. 图像处理在计算机科学中，线性方程组在图像处理中的应用非常常见。
通过建立图像的颜色和像素之间的关系，可以使用线性方程组来处理图像的变换、增强和恢复等任务。
2. 数据挖掘线性方程组在数据挖掘中也有着广泛的应用。
通过建立数据集中的变量之间的线性关系，可以使用线性方程组来挖掘数据集中隐藏的模式和规律。
六、总结线性方程组作为一个重要的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从线性方程组的定义、求解方法以及应用方面进行探讨。
一、线性方程组的定义与特点线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b。
其中，a₁、a₂、...、aₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b为常数。
线性方程组的特点是未知数的最高次数为一次，且各个未知数之间没有乘积项。
二、线性方程组的求解方法1. 列主元消元法列主元消元法是线性方程组求解的一种常用方法。
它的基本思想是通过消元将线性方程组转化为上三角形方程组，然后通过回代求解未知数。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数项列向量合并在一起。
（2）选取第一列的主元素，即系数矩阵第一列中绝对值最大的元素，如果为零则选取下一列的主元素。
（3）通过初等行变换将主元素所在列的其他元素消为零。
（4）重复步骤2和步骤3，直到系数矩阵变成上三角形矩阵。
（5）通过回代求解未知数，即从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种线性方程组求解的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，然后与常数矩阵相乘得到未知数的解。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成矩阵的形式，即AX = B。
其中，A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
（2）判断系数矩阵A是否可逆，如果可逆则存在唯一解，否则可能存在无解或无穷解。
（3）如果A可逆，则求解A的逆矩阵A⁻¹。
（4）将未知数矩阵X表示为X = A⁻¹B。
三、线性方程组的应用线性方程组在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的应用为例进行介绍。
1. 经济学中的应用线性方程组在经济学中有着重要的应用。
例如，经济学家可以通过建立线性方程组来描述供求关系、市场均衡等经济现象，进而预测市场的变化趋势。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有着广泛的应用，如物理、经济学等。
本文将介绍线性方程组的解法以及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的解法1. 高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
它通过对方程组进行系数矩阵的行变换，将其转化为简化的阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2. 矩阵的逆与逆矩阵对于n个未知数的线性方程组，我们可以将其转化为矩阵表示。
当系数矩阵可逆时，可以通过求解逆矩阵来得到方程组的解。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种解决线性方程组的方法，它通过求解系数矩阵的行列式与各个未知数所对应的代数余子式，进而求得方程组的解。
二、线性方程组的应用1. 物理学中的力的平衡问题在物理学中，力的平衡问题常常可以转化为线性方程组。
通过建立各个力的平衡方程，可以求解出力的大小和方向。
2. 经济学中的投资与收益问题在经济学中，投资与收益之间常常存在线性关系。
通过建立线性方程组，可以计算出各项投资对应的预期收益，帮助做出合理的投资决策。
3. 工程学中的电路分析问题在电路分析中，线性方程组可以用于求解电路中的电流和电压。
通过建立各个元器件的电流-电压关系方程，可以求解出电路中各点的电流和电压数值。
4. 计算机科学中的图像处理问题在图像处理中，线性方程组可以应用于图像的滤波和重建等问题。
通过建立线性方程组，可以对图像进行处理和改善，实现各种图像特效。
结语线性方程组是数学中重要的内容之一，它的解法和应用涉及到各个领域。
通过掌握线性方程组的解法，我们可以解决许多实际问题，提升问题求解的能力。
希望本文能对你对线性方程组的理解和应用有所帮助。
线性方程组的应用
线性方程组的应用线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、工程学等。
它是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程都是变量的一次函数，并且满足线性性质。
线性方程组的解对于解决实际问题具有重要的意义。
本文将探讨线性方程组在不同领域中的应用。
第一节：物理学中的应用在物理学中，线性方程组被广泛应用于描述各种物理系统的行为。
例如，运动方程可以表示为一个线性方程组，其中每个方程描述一个物体在不同维度上的运动状态。
通过解这个线性方程组，可以得到物体的位置、速度和加速度等信息。
第二节：经济学中的应用线性方程组在经济学中有着重要的应用。
经济学家经常使用线性方程组来建立经济模型，预测市场供求关系、价格变动等。
线性方程组还可以用于优化经济资源的分配，解决供应链管理、生产计划等问题。
第三节：工程学中的应用在工程学中，线性方程组的应用尤其重要。
工程师们利用线性方程组来描绘和解决各种实际工程问题。
例如，在电路设计中，可以通过线性方程组来计算电流、电压和电阻之间的关系。
在结构力学中，可以使用线性方程组分析建筑物承受的力和应力等。
第四节：计算机科学中的应用线性方程组在计算机科学领域也有广泛的应用。
矩阵运算和线性方程组求解是计算机图形学中常用的技术，用于实现三维模型变换、光照计算、碰撞检测等功能。
此外，在机器学习和数据分析中，线性方程组被广泛用于回归分析、分类问题等。
结论：线性方程组是数学中重要的工具之一，其应用范围广泛，不仅在理论研究中有着重要地位，也在各个实际领域中发挥着重要作用。
从物理学、经济学到工程学和计算机科学，线性方程组的应用贯穿各个领域。
通过解线性方程组，我们可以获得有关变量之间关系的重要信息，从而解决实际问题，为各行各业的发展做出贡献。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中最基本的代数方程组之一，它包含了一组线性方程，并且求解这些方程能使所有方程都成立。
线性方程组求解的重要性不言而喻，它在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际应用中的具体案例。
一、线性方程组的求解方法：在解线性方程组之前，首先需要了解什么是线性方程组。
线性方程组是形如以下形式的方程组：```a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m```其中a_ij为方程组的系数，x_i为未知变量，b_i为常数项，m为方程的数量，n为未知变量的数量。
线性方程组的求解方法有多种，常见的有高斯消元法、克拉默法则和矩阵求逆法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法，它的思想是通过行变换将系数矩阵化为上三角形矩阵，然后再通过回代求解未知变量。
具体步骤如下：- 将方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵A与常数项向量b合并为[A|b]；- 选取一个主元，通常选择系数矩阵的第一列第一个非零元素作为主元，并通过行交换将主元移到第一行第一列位置；- 通过消元操作，将主元下方的元素置零，使得系数矩阵变换为上三角形矩阵；- 通过回代，求解未知变量的值。
高斯消元法是一种直观易懂且常用的线性方程组求解方法，但它在处理大规模方程组时计算量较大。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种基于线性方程组的行列式表示的求解方法。
根据克拉默法则，只需求解方程组的每个未知变量对应的行列式即可。
具体步骤如下：- 计算系数矩阵的行列式，即Δ；- 依次计算将系数矩阵的第i列替换为常数项向量所得的行列式，即Δi；- 未知变量xi的值等于Δi除以Δ。
克拉默法则适用于小规模的线性方程组，但在大规模方程组中计算量较大。
线性方程组应用
线性方程组应用线性方程组是现代数学中的一个基本概念，被广泛应用于各个领域。
线性方程组的解可以提供问题的解决方案，因此对于很多实际问题，线性方程组的应用显得尤为重要。
本文将介绍线性方程组的应用在不同领域中的一些案例，以展示它的实际用途。
一、工程领域在工程领域，线性方程组的应用非常广泛。
例如，在电力系统中，我们需要通过建立线性方程组来解决电流、电压和电阻的关系。
通过这些方程组，我们可以计算出电路中各个节点的电压和电流，从而确保电路的正常运行。
此外，在控制理论中，线性方程组也被用于描述系统的动力学行为，通过求解线性方程组可以设计出稳定的控制系统。
二、经济学线性方程组在经济学中有着广泛的应用。
例如，在市场定价中，我们可以通过构建线性方程组来确定供需关系，从而计算出平衡价格和数量。
另外，线性方程组还被用于建立投资组合模型，在给定多种不同的投资选项和预期收益率的情况下，通过求解线性方程组可以确定最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目标。
三、物理学物理学是一个需要运用数学工具解决实际问题的学科，线性方程组在物理学中也有广泛应用。
例如，在力学中，我们可以通过建立质点受力平衡的线性方程组来求解质点的运动状态。
此外，在波动和光学等领域，通过线性方程组可以描述电磁场和波动传播的过程，从而揭示出光学现象的本质。
四、计算机科学计算机科学是一个需要运用数学原理解决问题的学科，线性方程组在计算机科学领域也有着广泛的应用。
在计算机图形学中，我们可以通过线性方程组来解决三维几何变换的问题，如旋转、缩放和平移等。
另外，在机器学习中，线性方程组也被用于训练和优化模型，通过求解线性方程组可以确定模型的参数，使其最优地拟合实际数据。
综上所述，线性方程组在各个领域中都有着广泛的应用。
它不仅是数学研究的基础，还在实际问题的求解中发挥着重要的作用。
通过建立和求解线性方程组，我们可以得到问题的解决方案，推动科学技术的进步和社会的发展。
线性方程组的解法与应用知识点总结
线性方程组的解法与应用知识点总结线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
解决线性方程组的问题需要掌握一系列的解法和相关知识点。
本文将对线性方程组的解法和应用进行总结，并给出一些例子来说明其实际应用。
一、解线性方程组的基本方法1. 列主元消元法：列主元消元法是解决线性方程组最常用的方法之一。
其基本思想是通过将方程组化为阶梯型或最简形，进而求解方程组的解。
2. 高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是解决线性方程组的另一种常用方法。
它与列主元消元法不同，是以行出发进行消元，最终将方程组化为最简形。
3. 矩阵方法：矩阵方法是一种便捷的解线性方程组的方法。
通过将线性方程组的系数矩阵进行相应运算，可以得到方程组的解。
二、线性方程组的应用1. 工程问题中的线性方程组：在线性方程组的解法中，工程问题是其中的重要应用之一。
例如，在电路分析中，可以通过列主元消元法或矩阵方法解决多个电路元件之间的关系，进而求解未知电流或电压。
2. 经济模型中的线性方程组：经济学中的模型通常涉及到多个未知数之间的关系，而这些关系可以用线性方程组来表示。
通过解决线性方程组，可以得到经济模型的平衡解，以便进行相关的经济分析。
3. 自然科学中的线性方程组：自然科学中的许多问题都可以通过线性方程组的方法求解。
例如，在化学反应中，可以通过解线性方程组来确定各个物质的摩尔浓度；在物理学中，可以通过线性方程组来描述多个物体之间的相互作用。
4. 数据分析中的线性方程组：在数据分析中，线性方程组也有着广泛的应用。
例如，在回归分析中，可以通过解线性方程组来确定自变量与因变量之间的线性关系；在最小二乘法中，可以通过解线性方程组来拟合数据并进行预测。
以上仅仅是线性方程组在实际应用中的一些典型例子，事实上，线性方程组在各个学科中都有着重要的地位，解决实际问题时经常涉及到线性方程组的分析与求解。
总结：通过本文的总结，我们了解了解线性方程组的基本解法和常见应用。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用【正文】线性方程组是数学中重要的概念之一，他应用广泛且在现实生活中有着诸多的应用。
在本文中，我将介绍线性方程组的解法以及其应用。
一、线性方程组的解法线性方程组是由一系列的线性方程组成的方程组，其中每个线性方程的未知数的最高次数均为一次。
解线性方程组的一般步骤如下：1. 检查线性方程组的排列形式，确保其为齐次线性方程组或非齐次线性方程组。
2. 齐次线性方程组的解有两种情况：1）当存在零解时，说明该线性方程组有无穷多个解；2）当不存在零解时，该线性方程组只有唯一零解。
3. 非齐次线性方程组的解有两种情况：1）当非齐次线性方程组的未知数个数小于方程个数时，说明该线性方程组存在无穷多个解；2）当非齐次线性方程组的未知数个数等于方程个数时，该线性方程组只有唯一解。
以上是求解线性方程组的一般步骤，具体的求解方法有代入法、消元法、线性方程组的矩阵表示法等。
二、线性方程组的应用线性方程组作为数学中的重要工具，在实际生活中有着广泛的应用。
下面列举几个典型的应用场景：1. 经济学中的应用线性方程组在经济学中有着诸多应用，例如在供求关系的分析中，经济学家通常会根据一系列的经济指标建立线性方程组，以求解经济模型中的未知变量。
这有助于分析市场的变化趋势，制定合理的经济政策。
2. 工程中的应用在工程领域，线性方程组被广泛应用于电路分析、结构力学等方面。
例如在电路分析中，工程师可以通过建立线性方程组来求解电阻、电流、电压之间的关系，从而优化电路设计。
3. 物理学中的应用线性方程组在物理学中也有着重要的应用。
例如在力学中，可以通过建立线性方程组来求解物体所受到的合力和合力矩，进而分析物体的运动状态和变形情况。
4. 计算机科学中的应用线性方程组在计算机科学领域有着广泛的应用。
例如在计算机图形学中，线性方程组可以用来描述和求解三维空间中的几何变换关系，从而实现图像的旋转、平移等操作。
总结：线性方程组的解法包括齐次线性方程组与非齐次线性方程组，具体求解方法有代入法、消元法、矩阵表示法等。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中一个重要的概念，它在许多科学领域和实际应用中发挥着重要作用。
线性方程组的解法可以通过不同的方法来求解，并且其应用范围非常广泛。
一、线性方程组的定义与形式线性方程组是由线性方程组成的方程集合。
线性方程的一般形式可以表示为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ为已知系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b为已知常数。
二、线性方程组的解法线性方程组的解法有多种方法，常见的有代入法、消元法和矩阵法。
1. 代入法代入法是一种直接求解线性方程组的方法。
这种方法将一个未知数的值代入到另一个方程中，继续求解，直至求出所有未知数的值。
2. 消元法消元法是将线性方程组进行一系列等价变换，使得方程组的形式更加简单，从而容易求解。
常用的消元法有高斯消元法和高斯-约当消元法。
3. 矩阵法矩阵法是将线性方程组用矩阵的形式表示，通过行列式的运算求解未知数的值。
矩阵法可以使用逆矩阵、伴随矩阵和克拉默法则等多种方法进行求解。
三、线性方程组的应用线性方程组的应用非常广泛，涵盖了数学、物理、经济等多个领域。
以下是几个具体的应用案例：1. 电路分析在线性电路分析中，经常需要解决电路中的电流和电压的关系。
通过建立线性方程组，可以求解电路中各个元件的电流、电压值，以及电路的稳定状态。
2. 经济模型在经济学中，经济模型通常可以表示为线性方程组。
通过建立适当的模型，可以求解经济问题中的未知数，如供求关系、生产函数等。
3. 工程优化在工程领域中，线性方程组通常应用于优化问题的求解。
通过建立适当的数学模型，可以求解出工程问题的最优解，如最小二乘法、线性规划等。
4. 数据拟合在线性回归分析中，通过建立线性方程组，可以拟合一组数据，找出数据之间的线性关系。
这一应用广泛用于数据分析、预测等领域。
总之，线性方程组的解法与应用涵盖了多个学科领域，具有重要的理论与实际价值。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域，例如工程、经济学和物理学等。
在本文中，将介绍线性方程组的解法和其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和基本概念线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是变量的线性组合。
一般形式可表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a、x和b分别表示系数矩阵、变量矩阵和常数矩阵。
基于这个定义，我们可以通过不同的方法来解决线性方程组。
二、线性方程组的解法1. 列主元消元法列主元消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为上三角矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零列主元素，通常为当前行中绝对值最大的元素。
（2）将选中的列主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为上三角矩阵。
2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为行阶梯矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零主元素，通常为当前列中绝对值最大的元素。
（2）将选中的主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为行阶梯矩阵。
3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种求解线性方程组的较为高效的方法。
它通过计算系数矩阵的逆矩阵，将方程组转化为逆矩阵与常数矩阵的乘积，从而得到方程组的解。
然而，该方法要求系数矩阵可逆，即行列式不等于零。
三、线性方程组在实际问题中的应用线性方程组广泛应用于各个领域，主要体现在以下方面：1. 工程领域在线性方程组的求解过程中，常常需要对方程组进行建模。
例如，在工程领域中，可以通过建立线性方程组来描述和解决各种物理力学问题，如结构力学、电路分析和信号处理等。
线性方程组课堂教学的应用案例
线性方程组课堂教学的应用案例
高中线性方程组在教学上有着重要的地位，线性方程组可以用来解
决许多实际问题，也是深入探索数学的理论基础。
下面将介绍利用线
性方程组来教学的一些案例。
1. 拓扑图中的线性方程组应用: 拓扑图是描述网络的图形建模，经常用
于描述物理系统。
比如将在一个特定的拓扑图中，利用线性方程组，
可以解决电路内每条线路的电压、电流等信息。
教师可以以此为例让
学生具体计算，加深学生对线性方程组的理解。
2.木桶问题的求解: 木桶问题是非常常见的数学问题，它可以用线性方
程组来求解。
通常，木桶问题要求每个木桶排出的水量加起来等于原
来的体积，同时两个木桶的排出水量也不能相等。
教师可以制作木桶图，让学生用线性方程组分析，求出解决这个问题的方法。
3. 投资收益问题的求解: 投资收益是一个经常使用线性方程组来求解的
问题。
假设有一家公司有三台机器，要求在一定的期限内获得指定的
收入目标。
它可以用用线性方程组求解如何平均分配投资，同时留下
足够的缓冲，以达到指定的收益。
教师可以利用此例给学生具体介绍，让学生理解线性方程组的应用。
初中数学知识归纳线性方程组的应用
初中数学知识归纳线性方程组的应用初中数学知识归纳：线性方程组的应用线性方程组是初中数学学习中非常重要的内容，它是由若干个线性方程组成的方程组。
在实际问题中，线性方程组有着广泛的应用。
本文将系统地归纳线性方程组在初中数学中的应用，并通过具体例子来理解其解法。
1. 平衡方程平衡方程是线性方程组应用中的常见问题。
例如，在化学反应中，反应物和生成物之间的质量、物质的守恒关系可以用线性方程组来描述。
通过列方程和解方程，可以求解未知物质的质量或物质比例。
例题1：甲、乙两个容器内的水分别为x升和y升。
现从甲容器中转移1升水到乙容器中，使得甲、乙容器内的水量比例为2:3。
求转移后甲、乙容器内的水量。
解析：根据题目要求，可以建立如下方程组：甲容器水量：x - 1乙容器水量：y + 1根据题意，有以下条件：(x - 1) : (y + 1) = 2 : 3解方程组，可求得甲、乙容器内的水量。
2. 推理判断线性方程组在推理判断类问题中也有广泛应用。
例如，在逻辑推理中，可以通过列出线性方程组并解方程，判断物体的重量、长度等属性。
例题2：有一个箱子，里边装着的全是铅球和钢球。
在不知道两种球的重量的情况下，如何判断箱子里有多少个钢球？解析：假设铅球的重量为x，钢球的重量为y。
根据题目要求，可以列出方程组：x + y = 100（球的总数为100）2x + 5y = 215（球的总重量为215）解方程组，可求得箱子中钢球的个数。
3. 几何问题线性方程组也可以用于解决一些初中几何问题。
例如，在平面几何中，两条直线的交点坐标可以通过解线性方程组来求解。
例题3：已知直线L1过点A(3, 1)，斜率为2；直线L2经过点B(2, 5)，斜率为-1。
求直线L1和L2的交点坐标。
解析：设直线L1的方程为y = 2x + b1，直线L2的方程为y = -x + b2。
代入点A和B的坐标，可以得到方程组：1 =2 *3 + b15 = -1 * 2 + b2解方程组，可求得交点的坐标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性方程组的应用线性方程组是线性代数的主要研究对象之一，它的理论严谨、发展完善、处理问题方法独特，可应用于解决各个领域的实际问题。
在代数理论中，借助于方程组可以判断向量组的线性相关，可以求矩阵的特征向量等；在几何、物理、化学、经济、生物、食品等许多方面，方程组也有着广泛的应用。
应用一．线性方程组在空间解析几何中的应用1.1．线性方程组表示平面，判断平面的位置关系在空间解析几何中，任一平面可以用三元一次方程01111=+++D z C y B x A 表示，下面用方程组解的判定来判别两个平面的位置关系。
设两个平面Ⅱ1：01111=+++D z C y B x AⅡ2：02222=+++D z C y B x A则Ⅱ1，Ⅱ2间的相互关系有下面三种情形：(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22221111222111D C B A D C B A R C B A C B A R ，即方程组 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ 的系数矩阵的秩不等于其增广矩阵的秩，方程组无解，故Ⅱ1，Ⅱ2没有公共点，Ⅱ1，Ⅱ2平行且不重合。
(2)当122221*********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A D C B A R C B A C B A R 时，方程组 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩有无穷解，且Ⅱ1，Ⅱ2重合。
(3)当222221*********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A D C B A R C B A C B A R 时，方程组 1111222200A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ 有无穷多解，但Ⅱ1，Ⅱ2不重合，相交于一条直线。
例.1 判断平面Ⅱ1：082=+-+z y xⅡ2: 072=-++z y x的位置关系。
解: 271128121112121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=R R 所以，平面Ⅱ1，Ⅱ2相交于一条直线L 。
1.2 三维空间应用举例线性方程组可以应用于三维空间中，先将所考虑的问题化为一线性方程组，再利用计算机进行求解，此种方法有进一步的推广。
例：考虑3维空间中由不等式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤++≥++≥≥≥123246326000321321321x x x x x x x x x 决定的区域。
若将不等号换成等号，它们就是空间中的5个平面。
每三个平面成一组，求这三个平面的交点的坐标，可找到多少个点？对每一个点判断是否所有不等式都成立？若都成立，此点就是一个顶点，有多少个顶点？分析问题由于所给条件是一些不等式，对其进行求解有一些困难。
我们考虑将上述不等式中的不等号换成等号。
为了统一起见，将最后一个不等式作如下等价变形：1232412324321321-≥---⇔≤++x x x x x x一共要求解10次方程组。
当方程个数较多时，用人工方式显然效率十分低下而且准确率难以保证。
由此考虑用计算机求解。
用Matlab 6.1对该问题进行求解求解程序A=[1,0,0;0,1,0;0,0,1;6,2,3;-4,-2,-3];%系数矩阵B=[0;0;0;6;-12]; %常数项矩阵General_Solution =[]; %未经判断的解矩阵Vector_Solution =[]; %产生每组解的方程序号和解所不满足的不等式序号矩阵 None_Solution=[]; %无解方程组的方程序号矩阵Valid_Solution=[]; %经过判断有效的解矩阵t=1;l=1;Solve_equations; %方程求解r=1;for(s=1:t-1)if(sum(Vector_Solution(size(A,2)+1:size(A,1),s))==0)%判断解的有效性 Valid_Solution(:,r)=General_Solution(:,s);%储存有效解r=r+1;endendGeneral_SolutionVector_SolutionNone_SolutionValid_Solution其中Solve_Equations的程序如下：for(i=1:size(A,1)-2)for(j=i+1:size(A,1)-1)for(k=j+1:size(A,1))if(rank(A([i,j,k],:))==size(A,2)) %判断是否满秩General_Solution(:,t)=inv(A([i,j,k],:))*B([i,j,k],:);%求解方程Vector_Solution(:,t)=[i;j;k;zeros(size(A,1)-size(A,2),1)];%记录方程序号r=size(A,2)+1;for(s=1:size(A,1))if(s~=i&s~=j&s~=k)%寻找另外的不等式序号if(A(s,:)*General_Solution(:,t)<B(s))%判断是否满足不等式Vector_Solution(r,t)=s;%记录不满足的不等式序号r=r+1;endendendt=t+1;elseNone_Solution(:,l)=[i;j;k];%记录无解方程组的方程序号l=l+1;endendendend应用二线性方程组在经济生产中的应用在经济生产中，线性方程组的应用主要是解决投入产出问题，即经济系统内部各部门间生产和分配的线性关系。
2.1 经济生产应用举例例1：某城三个经济部门：煤炭，电力，建材。
煤炭业每生产1元产品消费电力0.2元，消费建材0.1元；电力业每生产1元产品消费煤炭0.6元，消费电力0 .05元，消费建材0 .05元；建材业每生产1元产品消费煤炭0 .45元，消费电力0.1元，消费建材0.1元。
假设今年该城的煤炭部门收到外部订单10万元，电力部门收到外部订单20万元，建材部门收到外部订单30万元。
那么今年该城这三个部门应该如何安排生产？我们把该城的三个经济部门作为一个系统。
首先把每生产一个单位产品要消费的系统内部东西的数量称为内部消费系数。
如表1：表1内部消费系统表消费部门生产部门煤炭电力建材煤炭0 0.6 0.45电力0.2 0.05 0.1建材0.1 0.05 0.1资料来源：赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1996:213-225设生产量安排为：煤炭1x 万元，电力2x 万元，建材3x 万元。
那么所有生产消费情况可列如表2：表2 全部生产消费量表（单位：万元）消 费 部 门生产部门 生产量 煤炭 电力 建材 外部订单煤炭 1x 01x 0.62x 0.453x 10电力 2x 0.21x 0.052x 0.13x 20建材 3x 0.11x 0.052x 0.13x 30当然是既满足所有外部内部需要而产品又无积压为好，这就是所谓的产销平衡原则。
因此⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=301.005.01.0201.005.02.01045.06.00321332223211x x x x x x x x x x x x解得:⎪⎩⎪⎨⎧===)(86.40)(86.35)(91.49321万元万元万元x x x2.2 产品利润应用举例在经济管理中经常要涉及到使用或分配劳动力、原材料和资金等，而使得费用最小或利润最大，线性规划是帮助我们解决这类问题的一个常用方法。
例2.：某企业生产甲、乙两种产品，要用三种不同的原料。
从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需要三种原料分别为1，1，0单位；每生产一件产品乙，需要三种原料分别为1，2，1单位；每天原料供应能力分别为6，8，3单位。
又知道，每生产一件产品甲，企业利润收入300元，每生产一件产品乙，企业利润收入为400元，企业应如何安排计划，使一天的总利润最大？解：为了解决这一实际问题，应先建立该问题的数学模型。
将问题中条件列表如表3：设产品甲的日产量为1x 件，设产品乙的日产量为2x 件，显然0,021≥≥x x ，企业一天所获得总利润为S ,则S 是1x 、2x 的线性函数，即：21400300x x S +=表3 利润、原材料供应产品原料 甲 乙 原材料供应A 1 1 6B 1 2 8C 0 1 3利润 300 400这个线性函数称为目标函数。
求目标函数的最大值，记为：21400300m ax x x S +=但在追求目标函数的最大值时，同时要满足问题中的一些限制条件，这些限制条件称为线性规划问题的约束条件，在本例中约束条件为：0,0,3,82,62122121≥≥≤≤+≤+x x x x x x x 。
这样，这个问题的数学模型可写成21400300m ax x x S +=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤+≤+003826..2122121x x x x x x x t s （4.2.1）对约束条件的线性不等式，可以通过适当添加新变量，使其转化为线性等式，则（4.2.1）式可转化为：21400300m ax x x S +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+=++=++5,,2,1,03826..52421321 j x x x x x x x x x t s j 这样线性规划问题就转化为解线性方程组问题。
因此一个线性规划问题归根结底是一个线性方程组的求解问题。
2.3 运输费用应用举例例3现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，需求量、库存量和运价（百元/T ）的数据如下表所示，试问在保证各纺织厂的需要都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使运费达到最小？表4 运输问题数据工 厂 j仓库 i #1 #2 #3 库存量 #1 2 1 3 50#2 2 2 4 30需求量 40 15 25资料来源: 朱凤娟.经济数学（线性代数）[M].北京:中国商业出版社,1998:80-82 解：每个运输方案由各仓库到工厂的运输量确定。
题意即要确定从#i 仓库运到#j 工厂的原棉数量。
故设ij x 表示从#i 仓库运往#j 纺织厂的原棉数量)(t f 表示总运费，则f 可表示为：23222113121142232x x x x x x f +++++=因此各仓库的运出量不能超过它的库存量，故有⎩⎨⎧≤++≤++305232221131211x x x x x x 另外，还要保证各纺织厂的需求都得到满足，故还有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+251540231322122111x x x x x x同时，总运费应该是非负的3,2,1;2,1,0==≥j i x ij因而得本问题的运输模型23222113121142232m in x x x x x x f +++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=+=+=+≤++≤++)3,2,1;2,1(025********..231322122111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x t s ij 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的平衡（指满足∑∑===m i nj j i b a 11）运输模型为：∑∑===m i nj ij ij x c f 11min⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==nj m i x n j b x mi a x t s ij mi j ij nj i ij ,,2,1;,,2,1,0,,3,2,1,,,3,2,1,..11其中，i a 为#i 发点的存量，j b 为#j 收点的需求量,ij c 为从#i 发点到#j 收点的单位运价。