关于香烟过滤嘴的作用模型
【戒烟】过滤烟嘴真的有用吗？
【戒烟的方法】过滤烟嘴真的有用吗？关于戒烟，不得不提到一个东西，那就是过滤烟嘴，从百度指数来看，过滤烟嘴嘴每天的平均搜索指数在200区间，且搜索指数跳幅明显，这不仅仅是跟戒烟品牌的宣传同时也跟国家戒烟、控烟的政策有着很大的关系，那么，为什么说戒烟一定要说到过滤烟嘴呢？一：我们来看看过滤烟嘴的发展？过滤嘴是卷烟发展到一定阶段的产物。
过滤嘴最初出现的时候，主要是起装饰作用，几乎没有其他的功能。
随着人们对低害卷烟的最求，过滤嘴逐渐从可有可无的地位，转化为卷烟中不可或缺的一部分，并承担了降焦减害的功能，为了达到降焦减害的功能，过滤嘴正在从普通的单一醋酸纤维过滤嘴，向多重滤嘴，以及多种材料制成的过滤嘴方向发展。
这些新型的过滤嘴正逐渐得到卷烟制造商和消费者的青睐。
2005年，世界卫生组织的烟草控制框架公约生效了，全球的控烟活动增加了，人们的健康意识也大大增强了，过滤嘴的功能已经超出了最初装饰的功能，演变为烟雾粒子减少的机械装置，以减少其中的焦油和尼古丁含量。
焦油指的是卷烟烟雾中包含的微粒。
焦油中包含了4000到5000种化学成分，是烟草不完全燃烧的结果。
除了焦油外，卷烟烟雾中还包含有其他物质，如"蒸汽"、"一氧化碳"等。
卷烟滤嘴能够过滤烟雾成分，不过不是所有的过滤嘴都能去除所有的化学成分。
卷烟过滤嘴能够过滤烟雾中的有害成份：焦油和屁古丁，达到减烟降毒的目的，目前我国卷烟使用的过滤嘴大多为醋酸纤维材质，醋酸纤维的厚度（精细度）决定其过滤效果，为使其达到国家要求，烟草企业也在不断推进醋酸纤维的发展，从最初的厚度1.8登尼尔，达到了现有高级卷烟所使用的5.0登尼尔，但出于成本因素，大量的中低端卷烟还是在使用厚度在1.8到2.0登尼尔的醋酸纤维。
过滤嘴的长度对降低卷烟焦油和尼古丁挥发物方面有着重要作用。
在20年前，过滤嘴通常长为20毫米，而目前，25毫米甚至27毫米和31毫米的过滤嘴都很常见，更多则使用外置滤嘴，长度增加一倍以上。
小鸟烟嘴说明
小鸟烟嘴说明
日本HERB烟嘴设计合理、制作精细。
有一定的吸附降焦的作用。
有兴趣的朋友可以试试。
我现在手上有绿鸟和黄鸟，HERB还有其他的款型。
左边大盒的是绿鸟，右边小盒的黄鸟
绿鸟算HERB的改良型产品了，目前国内烟嘴很多只相当于绿鸟的初代产品。
这个款型的绿鸟号称丝束抓那个添加了维他命绿茶成分，有一定的保健作用。
一盒10只装。
绿鸟也是HERB销量最大的。
市面上有一些山寨货。
购买的时候需要鉴别。
黄鸟的结构就比较精细。
有个绿色的滤焦盘，作用在于快速降低烟气温度，凝结成焦油。
侧面有一个通风孔，可加大进气量，类似烟支滤嘴上的降焦孔。
黄鸟的包装是抽屉式的。
一盒5只装。
但是，有个问题，凡用烟嘴的焦油过滤掉一部分，烟的口味也变淡了。
这个看各人喜好选择了。
塑料过滤烟嘴的原理
塑料过滤烟嘴的原理塑料过滤烟嘴的原理主要涉及到三个方面：过滤烟气中的颗粒物、降低烟气中有害物质的含量以及改善吸烟口感。
下面将详细解释这三个方面的原理。
首先，塑料过滤烟嘴可以过滤烟气中的颗粒物。
烟气中会存在许多微小的颗粒物，例如烟尘、焦油颗粒等。
这些颗粒物对人体呼吸系统非常不利，容易引发咳嗽、哮喘等疾病。
塑料过滤烟嘴通过其内部的一系列层状过滤介质，可以有效地截留这些颗粒物。
具体来说，烟气从烟嘴中通过时，会经过一层细小的网状过滤介质，这层过滤介质能够过滤掉直径大于其孔径的颗粒物。
其次，烟气会通过一层瓶颈状的过渡结构，使烟气流速发生急剧变化，进而导致颗粒物相对于气流产生慢速沉降，并尽可能多地吸附在过滤介质上。
最后，烟气进一步通过一个负载颗粒物的过滤层，这层过滤介质会对烟气中的颗粒物进行更深入的拦截。
综合这些过滤层的作用，塑料过滤烟嘴可以使烟气中的颗粒物含量大大降低，达到净化烟气的效果。
其次，塑料过滤烟嘴可以降低烟气中有害物质的含量。
烟气中会含有大量的有害物质，如焦油、一氧化碳和尼古丁等。
过滤烟嘴的原理主要是通过过滤和吸附作用来达到降低有害物质含量的目标。
具体而言，烟气通过烟嘴时，会依次经过活性炭、多孔陶瓷等吸附介质。
活性炭具有高度的吸附能力，对烟气中的有害物质有很好的吸附作用，使其减少到一定程度。
多孔陶瓷结构可以增加烟气的接触面积，提高吸附效率。
此外，烟嘴内部还可能包含着其他吸附材料，如颗粒状石墨、沸石等，这些材料也能起到降低有害物质含量的作用。
通过这些吸附介质的协同作用，塑料过滤烟嘴可以显著降低烟气中有害物质的含量，使吸烟对人体的危害减少。
最后，塑料过滤烟嘴还可以改善吸烟口感。
多数吸烟者在选择吸烟器具时，会考虑口感是否舒适。
塑料过滤烟嘴在设计时通常采用了特殊的结构与材料，以达到改善口感的效果。
烟气通过过滤烟嘴时，由于材料的特殊性质，可以使烟气中的一些刺激性成分减少，从而使得吸烟口感更加柔和和缓。
此外，烟嘴内部还可以增加一些调节烟气成分的辅助材料，如酸性氧化剂和碳酸铵等。
新型滤嘴知多少
新型滤嘴知多少世界卷烟工业的发展使得卷烟滤嘴趋向高级化，这些滤嘴产品主要用于满足卷烟工业的特殊需要。
卷烟接装嘴可提高吸食安全性，可缓解吸烟与健康的矛盾，减轻吸烟雾的健康损害程度。
按照这样的一条发展路线，世界各国烟草行业更进一步动用最新科技，不断努力开发更有效的卷烟滤嘴，推出了各种新型滤嘴产品，下面介绍几种卷烟滤嘴的最新设计。
生物滤嘴：希腊sekap卷烟厂销售的bf牌卷烟安装了一个所谓的\"生物滤嘴\"，主要万分包括血红素。
科学家称：生物滤嘴卷烟烟气中产生的有害万分比普通卷烟少40倍。
卷烟厂说这种滤嘴对于阴截烟草烟气中的有害物质具有独特的性能。
athens大学生理教授j。
stavridis 在一个发布会上说这种新型滤嘴截留了70%以上的焦油，而卷烟的吃味和香气仍然保持不变。
保健滤嘴：我国研制的市郊卷烟保健滤嘴已获国家专利。
该技术是将芗加入过滤材料中，充分发挥其理化特性，集过滤技术与医疗保健功能于一体。
这项技术与普通卷烟生产线配套可直接生产保健型卷烟，能显著提高各档次卷烟产品质量。
该技术经国际联机检索，处于国内外同类技术领先水平。
ydx--1新型滤嘴：云南银盾卷烟滤嘴棒厂与昆明贵金属研究所大力协作，成功地开发出ydx--1新型滤嘴。
这种滤嘴比一般通用滤嘴多降低焦油2-4mg/支，并能除去烟气中的丙烯醛等有害物，从而减弱了卷烟（特别是低档烟）烟气中的辛辣味，改善了吃味，提高了卷烟质量。
联合效益嘴棒：由菲尔创纳公司研制的联合效益嘴棒是由透气的半贯能开波纺纸包裹醋酸纤维制成的。
它既具有与纤维滤嘴卷烟相同的吸味，又具有较高的焦油截留效率，与普通的醋酸纤维嘴棒相比，在压降相同的条件下，截留性能提高5%--6%，压降越高，则波纹内压力差越大，将有更多的烟气能过波纹内的低压区。
caviflex滤嘴：瑞士的baumgartnerpapiers公司推出了一种含碳滤嘴的新设计--caviflex滤嘴。
iqos结构 -回复
iqos结构-回复IQOS（全称：I Quit Ordinary Smoking）是一种电子烟产品，由瑞士烟草巨头菲利普·莫里斯国际公司于2014年推出。
IQOS是一种烟草加热不燃烧的产品，被认为是一种较为相对无害的替代传统香烟的选择。
本文将一步一步解析IQOS的结构，以便更好地了解这款产品的工作原理。
第一步，我们来看一下IQOS的最基本结构。
IQOS主要由两个主要部分组成：加热器（Holder）和烟草棒（HeatSticks）。
加热器是一个类似于传统香烟过滤嘴的设备，内置加热装置，并且具有电池供电。
它是用户用嘴吸入烟气的部分。
烟草棒是一种类似于香烟的圆柱形烟草制品，而不是传统香烟中的燃烧烟草。
第二步，我们来看一下加热器的具体结构。
加热器由几个主要组件构成。
首先是加热刀（Blade）。
加热刀由陶瓷制成，可以承受高温并快速加热烟草棒。
其次是加热杆（Heating Pin）。
加热杆将热量传递到烟草棒上，从而引发烟草中的化学反应，产生烟气。
最后是空气进出口（AirInlet/Outlet）。
空气通过这些孔流入和流出加热器，形成可吸入的烟气。
第三步，我们来看一下烟草棒的具体结构。
烟草棒由几个主要部分组成。
首先是滤嘴（Filter）。
滤嘴是烟草棒的顶部，类似于一根传统香烟的过滤嘴，起到过滤烟气和降低嘴部接触温度的作用。
其次是烟草棒（Tobacco Stick）。
烟草棒是烟草加热不燃烧技术的核心部分。
它由烟草和其他辅助剂组成，经过特殊的加工工艺制成。
烟草棒的外层经过纸制包装，类似于传统香烟。
第四步，我们来看一下IQOS的工作原理。
当用户将加热器与烟草棒连接并启动后，加热器内的加热刀将开始升温。
当加热刀接触到烟草棒的底部时，烟草棒内的烟草开始受热。
在加热的过程中，烟草中的尼古丁和其他成分被慢慢释放出来，形成可吸入的烟气。
用户可以通过加热器的吸入口吸入这些烟气。
第五步，我们来看一下使用IQOS的注意事项。
烟筒嘴子用途
烟筒嘴子用途烟筒嘴是香烟的一个组成部分，它的主要用途是为抽烟者提供便捷的吸烟方式和改善吸烟体验。
下面将详细介绍烟筒嘴的用途。
首先，烟筒嘴是为了减少直接吸入烟草燃烧产生的有害物质而设计的。
吸烟是一种世界各地都存在的行为，不可否认吸烟有害健康。
烟草中的尼古丁、焦油等有害物质对人体健康是不利的。
而通过使用烟筒嘴，可以通过一定程度上减少尼古丁、焦油的吸入量，从而降低对身体的负面影响。
烟筒嘴的设计能够起到过滤烟雾、冷却烟气的作用，使得抽烟过程中的烟气更加温和，减少了对口腔、喉咙和肺部的刺激。
其次，烟筒嘴还可以改善抽烟体验。
抽烟是一种社交活动，有些人抽烟是为了放松心情，享受抽烟带来的快感。
烟筒嘴作为香烟的一部分，起到了美化、个性化香烟的作用，使得吸烟者更加愿意选择使用烟筒嘴。
烟筒嘴的外观、材质、颜色都有很大的种类选择，可以满足各种吸烟者的需求，使得抽烟过程更加个性化和美观。
同时，烟筒嘴还可以降低烟气对装潢的影响，减少烟褐黄色的沉降和烟垢的产生，保持环境的清洁和美观。
此外，烟筒嘴还有助于减少吸烟者之间的病毒传播和交叉感染风险。
使用烟筒嘴可以避免直接接触香烟的烟嘴，减少在吸烟时病毒、细菌等病原体的传播。
尤其是在公共场所或者多人共享的环境中，使用烟筒嘴可以有效减少交叉感染的风险，有助于保障公共卫生和个人健康。
另外，烟筒嘴还有一定的经济效益。
抽烟是一个长期的行为，呼吸系统的健康与吸烟有密切的关系。
通过使用烟筒嘴减少了尼古丁、焦油等有害物质的吸入，有助于减少抽烟导致的身体健康问题，降低医疗费用和治疗成本。
此外，烟筒嘴可以延长香烟的使用寿命，减少了因烟头燃烧不均匀导致的浪费，有一定的节约效益。
总结起来，烟筒嘴的主要用途是为抽烟者提供便捷的吸烟方式和改善吸烟体验。
通过过滤烟雾、冷却烟气，降低尼古丁、焦油的吸入，减少对身体的伤害；提供美观、个性化的外观，满足吸烟者的需求；减少病毒传播和交叉感染风险；有一定的经济效益，减少医疗费用和烟草浪费。
香烟过滤嘴真的减害吗
本文摘自再生资源回收-变宝网（）香烟过滤嘴真的减害吗自从20世纪50年代，过滤嘴卷烟开始在世界上大部分市场崭露头角，它就被广大烟民所喜爱。
众所周知，尼古丁是香烟中对人体最有害的物质之一，而过滤嘴的作用，就是减少人吸进去和散发出来的尼古丁，因为在尼古丁透过过滤嘴的时候会有一部分有毒气体存留在过滤嘴里。
但这个造福广大烟民的过滤嘴，实际上也存在很多问题，特别是在吸食过程中存在严重的卫生隐患，成为各种传染性疾病的传播源。
为此，有专家提醒经常抽烟的人要注意过滤嘴的使用卫生。
传统的过滤嘴卷烟包装方法存在一个误区，手指直接接触的香烟海绵头，使其成为细菌、污物的载体；几乎所有的人都没意识到吸烟前也应当像吃饭前一样洗手；交往中递烟成为交叉感染各种传染疾病的过程。
据调查推算，在吸烟人群中，一生中所患的各种感染性疾病，40%左右与抽吸过滤嘴香烟有关。
中国香烟年均消费量达92亿多支，估计接触钱币后吸烟的人约占1/3。
各种面值的流通货币大肠杆菌的检出率为87.86%、变形杆菌为46.5%，每张纸币带菌2.7万-8.2万个，每张纸币平均带菌90万个。
自从引进卷烟过滤嘴50多年来，醋酸纤维这种材料就占据了显著的位置。
一般来说，市面上的香烟过滤嘴都是由化学物质醋酸纤维做成的。
然而，当人们手握香烟时，容易把过滤嘴里的纤维瓣弄碎，继而在吸食香烟时，把纤维吸进肺里。
“长期下去，纤维沉积在肺里，对肺部会有一定的伤害”。
美国纽约州布法罗城一家癌症研究所的约翰·波利博士通过显微镜意外地发现，在吸烟的癌症患者被手术切除的肺叶病理组织切片上，有一种闪光的细微杆状体，此乃来自卷烟过滤嘴中沾染了致癌物质的纤维。
这是广大烟民意想不到的事情。
香烟燃烧时产生的烟雾中含有几百种对人体有害的化学成分，特别是焦油、亚硝胺等40多种致癌物质，这已是尽人皆知的常识。
为了不失去市场，烟草制造商想出妙招，给卷烟装上一段过滤嘴，说是这样可阻断有害化学物质吸入体内。
传染病模型—微分方程模型的应用
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
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s
1
ln s s0
0
忽略i 0
群体免疫
ln s0 ln s
s0 s
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s
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i0
s
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t), s(t), r(t) 的两个方程
1
s
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s
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烟嘴过滤原理
烟嘴过滤原理烟嘴是一种用于吸烟的工具，它在吸烟过程中起到了过滤烟雾的作用。
烟嘴的过滤原理是通过一系列的物理和化学过程来减少烟草烟气中的有害物质，使得吸入的烟雾更加清洁和健康。
下面我们将详细介绍烟嘴的过滤原理。
首先，烟嘴内部通常会设置有各种过滤材料，比如活性炭、陶瓷、滤棉等。
这些过滤材料能够吸附烟草烟气中的有害物质，如尼古丁、焦油和一氧化碳等。
其中，活性炭是一种非常有效的吸附剂，它的大表面积和微孔结构可以更好地吸附有害物质。
其次，烟嘴内部还会设置有空气进出口，这样可以使得烟草烟气在经过过滤材料的同时，与外界空气进行混合和稀释。
这样一来，烟草烟气中的浓度会降低，吸入的烟雾也就更加清洁和健康。
另外，烟嘴还会通过一些物理过滤手段来减少烟草烟气中的有害物质。
比如，一些烟嘴内部会设置有微小的过滤孔，这些过滤孔可以让烟草烟气在通过时产生湍流，从而使得烟雾中的颗粒物更容易被过滤掉。
总的来说，烟嘴的过滤原理是通过吸附、稀释和物理过滤等手段来减少烟草烟气中的有害物质。
这样一来，吸入的烟雾就更加清洁和健康，对身体的危害也会减少。
因此，选择一个好的烟嘴对于吸烟者来说是非常重要的。
在使用烟嘴的过程中，我们也要注意定期清洁和更换烟嘴，这样才能保证其过滤效果。
另外，戒烟或者减少吸烟的行为也是非常值得鼓励的，毕竟吸烟对身体的危害是无法忽视的。
总的来说，烟嘴的过滤原理是通过吸附、稀释和物理过滤等手段来减少烟草烟气中的有害物质，使得吸入的烟雾更加清洁和健康。
因此，在吸烟过程中，选择一个好的烟嘴是非常重要的。
同时，我们也要注意定期清洁和更换烟嘴，以及尽量减少吸烟的行为，保护自己和身边的人的健康。
滤嘴及卷烟的制作方法
滤嘴及卷烟的制作方法卷烟是一种常见的烟草制品，它可以带来独特的滋味和香气，帮助人们缓解压力和放松身心。
在制作过程中，烟草和滤嘴是两个重要的组成部分。
下面将介绍一下滤嘴和卷烟的制作方法。
一、滤嘴的制作滤嘴的作用是过滤烟草中的有害物质，减少对吸烟者的危害。
下面是滤嘴制作的步骤：1.准备材料。
滤嘴的制作材料包括滤纸、活性炭、胶水、纤维素等。
滤纸是滤嘴的主体材料，它能有效地过滤有害物质。
活性炭是一种能吸附有害物质的材料，可以加入到滤嘴中提高过滤效果。
胶水是用来粘合滤纸和活性炭的。
纤维素是一种增加滤嘴机械强度的材料。
2.裁剪滤纸。
将滤纸按照一定的尺寸裁剪成长方形。
3.添加活性炭。
将一定量的活性炭粉末均匀地撒在滤纸上。
4.粘合滤纸和活性炭。
将滤纸和活性炭叠在一起，用胶水将它们粘合在一起。
注意不要使用过多的胶水，以免影响滤嘴的质量。
5.加强滤嘴强度。
为了加强滤嘴的机械强度，可以在滤嘴的两端分别涂上一层纤维素。
6.卷成滤嘴。
用手将滤纸和活性炭卷起来，制成滤嘴。
二、卷烟的制作卷烟的制作过程主要包括研磨烟草、制作香料、混合烟草和香料、填充和卷制等步骤。
下面是卷烟的制作方法：1.烟草的研磨。
将干燥的烟草放入烟草磨中，研磨成细小的碎末。
2.制作香料。
在一个容器中加入砂糖、香草、果汁等物质，搅拌均匀后加入少量的水。
3.混合烟草和香料。
将研磨好的烟草和制作好的香料混合在一起，保持均匀的混合。
4.填充烟卷。
将混合好的烟草装入卷烟机中，压实后进行填充。
5.卷制。
将填充好的烟草轻轻地捏起来，并用卷烟纸包裹住烟草和滤嘴。
用指甲夹夹住烟卷的两端，使其紧密粘合。
到这里，手工制作卷烟的工作就完成了，你可以根据自己的口味选择不同的烟草、香料以及滤嘴，享受到最好的吸烟体验。
总结滤嘴和卷烟的制作都需要一定的技巧和经验，而且要求对材料的选择和处理非常严格。
如果你想尝试手工制作卷烟，需要认真学习制作流程，并且遵循正确的制作方法，才能制作出高质量的烟草制品。
数学模型第三版)课后习题答案
《数学模型》作业解答）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车第一章作业解答第 3 页 共 57 页获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-TML , [v ]=1-LT,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++030032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数.16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.第一章作业解答第 5 页 共 57 页量纲矩阵为A=)()()()()()()()(12001101000110k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴g lt =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mgkl =π ∴)(2/12/1mgkl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1gm l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l m m '='时， 就有 ll l g g l t t '=⋅'='. 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rT c T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，第一章作业解答第 7 页 共 57 页r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆i Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kT T r k r c 2)(2⋅-= 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c T c dT dC 2)(221-+-=. 0=dTdC令, 得)(221r k r c kc T -=*易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TTt <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β第一章作业解答第 9 页 共 57 页)(2)8322(22022bp a T T t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(max 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100k k T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k )(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.925002+-=TdT dC第一章作业解答第 11 页 共 57 页直线l ：20x+30y=c 在可行域内平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 max S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.2ll1x1l2x易知：当l 过l 1与l2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得第一章作业解答第 13 页 共 57 页⎩⎨⎧==2020y x .max S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s （2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0.01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ .0)(lim.0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s,1,10 dtdit s s σσσ从而则若 ()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得第一章作业解答第 15 页 共 57 页()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即 第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(),0t f ()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te VkD k k e e k k V D k t C kt t k kt 3种情况下的血药浓度曲线如下：第一章作业解答第 17 页 共 57 页第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e e ba vaw Q v bl a vl β()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈ ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A ab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ第一章作业解答第 19 页 共 57 页⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点；第一章作业解答第 21 页 共 57 页②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dt dx ．∴0x 不稳定； ③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h 即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =， 但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；Ex()x f第一章作业解答第 23 页 共 57 页② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β第一章作业解答第 25 页 共 57 页（1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 212,1<⇔<∴αβλ 即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101 ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-= 则 ,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得第一章作业解答第 27 页 共 57 页,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质： （1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：第一章作业解答第 29 页 共 57∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C 易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又 对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()T nk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.32154→→→→13542→→→→42135→→→→→→→41325→等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011110100000010110001010A令()Te 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()T Ae S 3,2,1,2,21==， ()()()TAS S 5,4,2,3,412==， ()()()T AS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()T S 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0= 数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层第一章作业解答第 31 页 共 57 页2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=nm n m D 21112 当mn2较小，1 n 时，有()m n m n n m n m D 41181211122--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≈E D -=1 ， mnE 4≈② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为n q ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 ()1122--+=⋅+⋅n n n n npq q m npq m q m 于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npq q m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ）∴此时传送带效率公式为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=--1111112222'n n n n m m n m n m n n p q q m m D ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()()2112211111mn n m n m n --+--≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴ ()()26211'm n n D ---≈当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈ ④ 两种办法的比较：第一章作业解答第 33 页 共 57 页由上知：m n E 4≈，226'mn E ≈ ∴ m n E E 32/'=，当n m 时，132 mn， ∴ E E '． 所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为⎩⎨⎧≤--+=n r n nr r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章。
循环使用细烟过滤嘴的原理
循环使用细烟过滤嘴的原理循环使用细烟过滤嘴的原理是通过将使用过的烟嘴进行清洁和处理，以达到多次使用的目的。
这一过程主要包括以下几个步骤：烟蒂回收、清洁处理、再次使用。
首先，烟蒂回收是循环使用细烟过滤嘴的第一步。
烟蒂回收指的是将已经吸完的烟蒂进行回收收集。
一般来说，这一步骤可以通过将烟蒂放入专门的回收盒或者垃圾袋中进行。
在公共场所，一些设有烟蒂回收桶的区域通常设置在吸烟区附近，以便吸烟者方便回收烟蒂。
第二，清洁处理是循环使用细烟过滤嘴的关键步骤之一。
清洁处理是指将回收的烟蒂进行清洗、消毒等处理，以去除污垢、异味和杂质。
常见的清洁方法包括水洗、蒸汽清洁、消毒等。
水洗时，可以将烟蒂放入温水中浸泡，利用清水冲洗或刷洗烟嘴表面，去除烟渍和污垢。
蒸汽清洁则是将烟蒂放入专业的清洗设备中，利用高温蒸汽对烟蒂进行清洁和消毒处理。
消毒的目的是为了杀菌和除味，常用的方法包括过氧化氢消毒、烧烤消毒等。
第三，再次使用是循环使用细烟过滤嘴的最后一步。
经过清洁和处理后的烟嘴即可再次用于吸烟。
循环使用的烟嘴经过清洁处理后，除去了烟渍、异味和污垢，不会对吸烟体验产生明显的影响。
吸烟者可以将烟嘴重新装入烟盒中，使用过程中继续享受过滤烟嘴所带来的烟气净化和过滤效果。
循环使用细烟过滤嘴的原理有以下几个方面的好处：1. 环保：循环使用细烟过滤嘴可以减少烟嘴的浪费和消耗，降低烟蒂对环境的污染。
通过回收和清洁处理后再次使用烟嘴，可以减少废弃物的产生，对环境起到一定的保护作用。
2. 经济：循环使用细烟过滤嘴可以节省吸烟者的经济支出。
传统的烟嘴一般只能使用一次，而使用过滤烟嘴后的烟嘴可以通过清洁处理再次使用，降低了购买烟嘴的频率和数量，从而节省了一定的开支。
3. 健康：循环使用细烟过滤嘴可以帮助减少吸入烟雾中的有害物质。
过滤烟嘴在烟气通过时，能够滤除一部分尼古丁、焦油和其他有害物质，减少对身体的危害。
通过清洁和再次使用过滤嘴，可以保持过滤效果的持久性，让吸烟者在一定程度上减少对有害物质的直接接触。
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2010年——2011年第二学期 合肥学院数理系
数学建模实验报告书
课程名称： 数学建模 模型名称： 关于香烟过滤嘴的作用模型专业班级： 08数学（2）班 姓 名： 方 超 学 0807022019 关于香烟过滤嘴的作用模型 08数学(2)班 方超 0807022019
摘要：本文通过建立吸烟过程的数学模型，分析机器人在一定的环境下吸入的
毒物量与哪些因素相关，及它们之间的数量表达式的问题.通过比较在有过滤嘴和无过滤嘴的情况下吸入的毒物量，提出降低吸入香烟毒物量的一些措施. 关键词：香烟 烟雾 毒物流量 毒物密度 吸入毒物量 正文 1 问题复述 假设一个机器人在典型的吸烟环境下吸烟，“他”的吸烟动作方式及外部环境在整个过程中不变. 比较在有过滤嘴和无过滤嘴两种情况下，全部吸完与只吸一部分时进入机器人体内的毒物量. 2 模型假设及符号说明
2.1 烟草和烟嘴的长度分别是180lmm和220lmm，香烟总长12lll，
毒物M(mg)均匀分布在烟草中，密度为01/wMl. 2.2 点燃处毒物随烟雾进入空气和香烟穿行的数量比例是':aa，其中0.3a且'1aa.
2.3未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾穿行的毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别是常数0.02b和0.08. 2.4 烟雾沿香烟穿行的速度是常数50/vmms，香烟的燃烧速度是u，且vu?.
2.5 一支烟吸完后毒物进入人体的总量（不考虑从空气中的烟雾中吸入的）记作
Q.
3 模型定性分析、建立、求解与结果分析 3.1 定性分析
3.1.1 提高过滤嘴吸收率、增加过滤嘴长度2l、减少烟草中毒物初始含量M，
显然可以降低吸收毒物量Q. 3.1.2 当毒物随烟雾沿香烟穿行的比例a和烟雾速度v减小时预料Q也会降低. 3.1.3 假设条件涉及到其他因素，如烟草对毒物的吸收率b、香烟燃烧的速度u，
对Q的影响就不容易作出估计了.
3.2模型建立 设0t时在0x处点燃，坐标系如图1所示.吸入毒物量Q由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为研究这些关系，定义两个基本的函数：
3.2.1毒物流量 (,)qxt表示t单位时间内通过香烟截面x处(0)xl的毒物流量； 3.2.2毒物密度 (,)wxt表示时刻t截面x处单位长度烟草中的毒物含量
1(0)xl.由假设1，0(,)wxtw.
图1 0x处点燃的香烟 如果知道了流量函数(,)qxt，吸入毒物量Q就是xl处的流量在吸一支烟时间内的总和.注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，可以得到
0(,),/TQqltdtlu１ Ｔ＝ (1)
3.2.3 分以下4步计算Q a. 求0t瞬间烟雾携带的毒物单位时间内通过x处的数量(,0)qx.由假设4中关于vu?的假定，可以认为香烟点燃处0x静止不动. 为简单起见，记(,0)()qxqx，考察(,)xxx一段香烟（如图1），毒物
通过x和xx＋处的流量分别是()qx和()qxx＋，根据流量守恒定律这两个流量之差应该等于这一段末未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是假设2、4有
11
(), (0)(() ( )(), ()bqxxlxqxqxxqxlxlv
）－＋＝
其中是烟雾穿过x所需时间.令0得到微分方程 11
(), (0) (), ()bqxxlqvxqxlxlv
＝ （2）
在0x处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作0H,根据假设1、3、4可以写出方程（2）的初始条件为 000(0), qaHHuw （3）
求解（2）、（3）式先解出1()(0)qxxl，再利用()qx在1xl处的连续性确定1()(0)qxxl.其结果为
1101()01, (0)(), () bxvblxlvvaHexlqxaHeelxl
（4）
b. 在香烟燃烧过程的任意时刻t，求毒物单位时间内通过xl的数量(,)qlt.
因为在时刻t香烟燃至xut处，记此时点燃的药草单位时间放出的毒物量为()Ht，则
()(,)Htuwutt （5）
根据与第1步完全相同的分析和计算可得
11()1()()1(), (,)(), bxutvblutxlvvaHteutxlqxtaHteelxl
（6）
实际上在（4）式中将坐标原点平移至xut处即可得（6）式.由（5）、（6）式能够直接写出
12()(,)(,)blutlvvqltquwuttee （7）
c. 确定(,)uwutt. 因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断的吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度(,)wxt由初始值0w逐渐增加，考察烟草截面x处x时间内毒物密
度的增量(,)(,)wxttwxt，根据守恒定律它应该等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，按照假设2、4有 (,)(,)(,)qxtwxttwxtbtv
令0t并将（5）、（6）式代入得 ()0(,)(,0)bxutvwabuwuttetvwxw
（8）
方程（8）的解为 0'
0'
(,)1()(,)(1)abutvabutvbxbutvvawxtweeeawwuttaea
‘ （9）
其中'=1aa. d. 计算Q. 将（9）代入（7）式得 120
'(,)()bllbutabutvvvvauwqlteeeaea
（10）
最后将（10）代入（1）式得到 '211/0'0(,)(1)labllu
vv
awv
Qqltdteeab （11）
为便于下面的分析将上式化作 12
'11'abl
lv
veQaMeablv
g （12）
记 1'1, ()rablerrvr
（13）
则（12）式可以写作 2()lvQaMer （14）
（13）、（14）是我们得到的最终结果，表示吸入毒物量Q与21,,,,,,aMlvbl等诸多因素之间的数量关系. 3.3 问题的求解
3.3.1分别计算在有过滤嘴的情况下毒物的吸入量1Q和无过滤嘴的情况下毒物
的吸入量2Q： 21
1
'(1)229.838(mg)2lvablQaMev
21
2
'(1)235.421(mg)2blvablQaMev
2
1
20.976286blvQeQ
分析：在有过滤嘴的情况，由 120.9762861QQ可知：过滤嘴可以吸收部分毒物，降低进入吸烟者人体内毒物量. 3.3.2 当香烟的长度变为100lmm且为过滤嘴的情况下，计算全部吸完毒物的吸入量3Q和只吸到180lmm处毒物的吸入量4Q
'031295.84()ablvawvQemgab
‘
'210
4'
1235.44()blablvvawvQeemgab
11341.2565blablvvblablvvQeeQee
分析：在无过滤嘴的情况，由341.25651QQ可知：吸烟者若能少吸一部分香烟，进入体内下毒物量也会明显减少. 4 模型的应用推广和改进方向 本文所研究的香烟过滤嘴模型对实际生活吸烟具有指导意义：通过延长香烟的长度和增强过滤嘴的吸收毒物的性能和长度能有效地降低毒物进入人体的量.本文的数学模型不足之处是建立在理想环境下，实际吸烟的过程复杂而且因人而异.点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例，与吸烟的方式、环境等多种因素有关；烟雾穿过香烟的速度等因素的影响而有所变化.考虑这些因素将会增强模型的准确性.