关于香烟过滤嘴的作用模型

2010年——2011年第二学期

合肥学院数理系

数学建模实验报告书

课程名称：数学建模

模型名称：关于香烟过滤嘴的作用模型专业班级：08数学（2）班

姓名：方超学0807022019

关于香烟过滤嘴的作用模型

08数学(2)班 方超 0807022019

摘要：本文通过建立吸烟过程的数学模型，分析机器人在一定的环境下吸入的

毒物量与哪些因素相关，及它们之间的数量表达式的问题.通过比较在有过滤嘴和无过滤嘴的情况下吸入的毒物量，提出降低吸入香烟毒物量的一些措施.

关键词：香烟 烟雾 毒物流量 毒物密度 吸入毒物量

正文

1 问题复述

假设一个机器人在典型的吸烟环境下吸烟，“他”的吸烟动作方式及外部环

境在整个过程中不变. 比较在有过滤嘴和无过滤嘴两种情况下，全部吸完与只吸一部分时进入机器人体内的毒物量.

2 模型假设及符号说明

2.1 烟草和烟嘴的长度分别是180l mm =和220l mm =，香烟总长12l l l =+，

毒物M (mg)均匀分布在烟草中，密度为01/w M l =.

2.2 点燃处毒物随烟雾进入空气和香烟穿行的数量比例是'

:a a ，其中0.3a =且

'1a a +=.

2.3未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾穿行的毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收

的比例）分别是常数0.02b =和0.08β=.

2.4 烟雾沿香烟穿行的速度是常数50/v mm s =，香烟的燃烧速度是u ，且

v u ?. 2.5 一支烟吸完后毒物进入人体的总量（不考虑从空气中的烟雾中吸入的）记作

Q .

3 模型定性分析、建立、求解与结果分析

3.1 定性分析

3.1.1 提高过滤嘴吸收率β、增加过滤嘴长度2l 、减少烟草中毒物初始含量M ，显然可以降低吸收毒物量Q .

3.1.2 当毒物随烟雾沿香烟穿行的比例a 和烟雾速度v 减小时预料Q 也会降低.

3.1.3 假设条件涉及到其他因素，如烟草对毒物的吸收率b 、香烟燃烧的速度u ，对Q 的影响就不容易作出估计了.

3.2模型建立 设0t =时在0x =处点燃，坐标系如图1所示.吸入毒物量Q 由

毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为研究这些关系，定义两个基本的函数：

3.2.1毒物流量 (,)q x t 表示t 单位时间内通过香烟截面x 处(0)x l ≤≤的毒物流量；

3.2.2毒物密度 (,)w x t 表示时刻t 截面x 处单位长度烟草中的毒物含量

1(0)x l ≤≤.由假设1，0(,)w x t w =

.

图1 0x =处点燃的香烟

如果知道了流量函数(,)q x t ，吸入毒物量Q 就是x l =处的流量在吸一支烟时间内的总和.注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，可以得到

(,),/T

Q q l t dt l u =⎰１　Ｔ＝ (1)

3.2.3 分以下4步计算Q

a. 求0t =瞬间烟雾携带的毒物单位时间内通过x 处的数量(,0)q x .由假设4中关于v u ?的假定，可以认为香烟点燃处0x =静止不动.

为简单起见，记(,0)()q x q x =，考察(,)x x x +∆一段香烟（如图1），毒物通过x 和x x ∆＋处的流量分别是()q x 和()q x x ∆＋，根据流量守恒定律这两个流量之差应该等于这一段末未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是假设2、4有

11(), (0)(() ( )(), ()

bq x x l x

q x q x x q x l x l v ττβτ∆≤≤⎧∆∆∆=⎨∆≤≤⎩）－＋＝

其中τ∆是烟雾穿过x ∆所需时间.令0τ∆→得到微分方程

11(), (0) (), ()b

q x x l q v x q x l x l v

β

⎧-≤≤⎪∆⎪⎨∆⎪-≤≤⎪⎩＝ （2） 在0x =处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作0H ,根据假设1、3、4可以写出方程（2）的初始条件为

000(0), q aH H uw == （3）

求解（2）、（3）式先解出1()(0)q x x l ≤≤，再利用()q x 在1x l =处的连续性确定1()(0)q x x l ≤≤.其结果为

1101()

1, (0)(), ()

bx

v

bl x l v v aH e x l q x aH e e l x l β----⎧≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ （4） b. 在香烟燃烧过程的任意时刻t ，求毒物单位时间内通过x l =的数量

(,)q l t .

因为在时刻t 香烟燃至x ut =处，记此时点燃的药草单位时间放出的毒物量为()H t ，则

()(,)H t uw ut t = （5）

根据与第1步完全相同的分析和计算可得

11()

1

()()

1

(), (,)(), b x ut v b l ut x l v v aH t e ut x l q x t aH t e e l x l β------⎧

≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ （6） 实际上在（4）式中将坐标原点平移至x ut =处即可得（6）式.由（5）、（6）式

能够直接写出

12

()(,)(,)b l ut l

v v

q l t quw ut t e

e

β--

-= （7）

c. 确定(,)uw ut t .

因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断的吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度(,)w x t 由初始值0w 逐渐增加，考察烟草截面x 处x ∆时间内毒物密度的增量(,)(,)w x t t w x t ∆+-，根据守恒定律它应该等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，按照假设2、4有