香烟过滤嘴问题论文

《香烟过滤嘴问题》论文

新疆教育学院数学学院 2011级数学教育定向专科班 20110310468

张静

2014/4/2

香烟过滤嘴的作用问题

摘要：为了求解过滤嘴的作用及使用的材料和过滤嘴的长度的关系，我们建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及他们之间的数量表达式。通过分析比较，我们得出过滤嘴可一定程度上阻碍烟毒进入人体。 关键词：过滤嘴 毒物量 毒物吸收率

1）问题的提出

普遍认为香烟过滤嘴的作用可使吸烟者对尼古丁和烟焦油等毒物的吸收率减少，肺癌死亡率下降。这有何根据呢？

本节从定量的角度介绍一个模型，描述烟雾通过香烟的过程，分析人体吸入毒物的数量与哪些因素相关，说明过滤嘴的作用与使用的材料和过滤嘴的长度之间的关系。

2）模型机理

假设毒物均匀地分布在香烟中，吸烟时点燃处的烟草化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分0q 直接进入空气，另一部分q 沿着香烟穿行。在穿行过程中，q 又有一部分被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的部分进入人体。q q :0的数量比例随吸烟的方式、环境等多种因素的变化而不同。烟雾沿香烟穿行的速度v 随着吸烟动作变化也不断地变化。为了建立模型，我们希望避开这个复杂的过程。为此，设想吸烟者是架机器，吸烟的动作、方式及外部环境在整个吸烟过程中不变，于是可以认为毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例q q :0、烟雾穿行的速度v 、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。香烟燃烧速度u 与v 相比，可认为燃点处于静止状态。下面用数学语言来描述。

3）模型假设

1．点燃处毒物随烟雾进入空气部分0q 和沿香烟穿行部分q 的数量比例是)10( ,:)1(:0<<-=a a a q q ；

2．烟雾沿着香烟穿行的速度v 和香烟燃烧速度u 都是常数。且u v >>；

3．未点燃的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别为常数b 和β；

4．香烟总长为l ，烟草部分长1l ，则过滤嘴长为1l l -。整支香烟所含毒物

总量M 均匀分布在长1l 的烟草当中。于是毒物的平均密度

10l M w =；

5．坐标系如图3-19所示。设0=t 时刻，在0=x 处点燃香烟，则在

u

l T 1=时整支香烟燃尽。

图3-19 0)0(=x 香烟点燃状态

4）模型建立

首先定义几个基本函数：

毒物流量),(t x q ：在燃烧过程中的时刻)0( ≥t t ，单位时间内通过香烟截面)0( l x x ≤≤处的毒物量。

烟草毒物密度),(t x w ：在燃烧过程中的时刻)0( ≥t t ，截面)0( 1l x x ≤≤处单位长度烟草中的毒物含量。

烟雾毒物密度),(t x ρ：在燃烧过程中的时刻)0( ≥t t ，截面)0( 1l x x ≤≤处单位长度烟雾内毒物的含量。则),(),(t x v t x q ρ⋅=。

下面分三个阶段进行建模讨论

1． 确定0 =t 瞬间，单位时间内通过x 处的毒物量)0,(x q 。

由假设2中关于u v >>的假定，可以认为燃点0=x 静止不动。

为简单起见，记)()0,(x q x q =，)()0,(x x ρ=ρ。在] ,[x x x ∆+这一段香烟中，毒物通过x 和x x ∆+的流量之差为)()(x x q x q ∆+-，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未燃烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，即

⎰∆+ρx

x x dx x b )(或⎰∆+βρx x x dx x )(。

因此我们有

⎪⎩⎪⎨⎧≤<ρβ≤≤ρ=∆+-⎰⎰∆+∆+x x 1x x 1 ,)(0 ,)()()(x x l x l dx x l x dx x b x x q x q ，

即

⎪⎩⎪⎨⎧≤<ρβ≤≤ρ=∆+ρ-ρ⎰⎰∆+∆+x x 1x x 1 ,)(0 ,)())()((x x l x l dx x l x dx x b x x x v 。

假设)(x ρ可导，令0→∆x ，将上式两边分别求导：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<ρβ-≤≤ρ-=ρl x l x v l x x v b dx d 11 )(0 )(。

再设燃点0=x 处在单位时间内放出的毒物量为H 。由假设1知aH q =)0(，从而

v aH =)0(ρ。这时，我们构成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=v aH

x v b dx d )0()(ρρρ，

解之，得

)0( )ex p()(1l x v bx v aH x ≤≤-=ρ。

根据)(x ρ在1l 处的连续性，可知

)exp()(11v bl v aH l -=

ρ，

因而构成

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=)exp()()(11v bl v aH l x v dx d ρρβρ， 解得

)( )(exp )(11l x l v x l b v aH x ≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=

ββρ，

即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)( )(exp )0( exp )(111l x l v x l b v aH l x v bx v aH x ββρ。

当l x =时，

))(ex p()()(1v l l b H a l v l q ββρ--⋅⋅==。

2．确定香烟在燃烧过程中任意0>t 时刻，单位时间内通过l x =处的毒物流量),(t l q 。

由假设2知u 为常数，则t 时刻香烟燃至ut x =处。这时，将第1步中的)(x q 、)(x ρ、H 分别改记为),(t x q 、),(t x ρ、)(t H ，其中)(t H 表示t 时刻点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量。根据与第1步完全类似的推导，只需将第1步中的)(x ρ的表达式中的x 、1l 和H 分别替换为ut x -、ut l -1和)(t H ，即得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)( )(exp )()0( )(exp )(),(111l x l v x but l b v t aH l x v ut x b v t aH t x ββρ。

由上式直接得出

)ex p(

)(11v but l l bl t H a t l q +---⋅⋅=）（）（，β。

下面首先确定)(t H ：