数学建模香烟过滤嘴作用

数学建模-----微分方程模型

香烟过滤嘴的作用

问题：

尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多的无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止吸烟，但是仍有不少人不愿抛弃对香烟的嗜好。香烟制造既要满足瘾君子的需要，又要顺应减少吸烟危害潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍地在香烟上安装了过滤嘴。过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系，要从定量的角度回答这些问题就要建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及他们之间的数量表达式。

问题描述与分析：

吸烟时毒物吸入人体的大致过程时这样的：毒物基本上均匀的分布在烟草中，吸烟时点燃处的烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行。在穿行过程中又部分的被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而沉积下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到哪里的时候又通过烟草部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直继续到香烟燃烧到过滤嘴处为止。于是我们看到，原来分布在烟草中的毒物除去了进入空气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入。

实际的及烟过程非常复杂并且因人而异，点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例，与吸烟的方式、环境等多种因素有关；烟雾穿过香烟的速度随着吸烟动作的变化而不断地改变；过滤嘴和烟草对毒物的吸收作用也会随烟雾穿行速度等影响而有所变化。如果要考虑类似于上面这些复杂情况，将使我们寸步难行。为了能建立一个初步的模型，可以设想一个机器人在典型的环境下吸烟，“他”吸烟的动作、方式及外部环境在整个过程中不变，于是可以认为毒物随烟进入空气和沿香烟穿行的数量比例、烟雾穿行的速度、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。

模型假设

基于上述分析，这个模型的假设如下。

1． 烟草和过滤嘴的长度分别是1l 和2l ，香烟总长度l = 1l +

2l ，毒物

M （毫克）均匀分布在烟草中，密度为10

/M l ω=

2． 点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例是a ’:a,a ’+a=1.

3． 未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别是常数b 和β 4． 烟雾沿香烟穿行的速度是常数v ，香烟燃烧速度是常数u ，且v>>u

将一支烟吸完,毒物进入人体的总量（不考虑从空气的烟雾中吸入的）记作Q ，在建立模型以得到Q 的数量表达式之前，让我们先根据常识分析一下Q 应与那些因素有关，采取什么方法可以降低Q 。

首先，提高过滤嘴吸收率β 、增加过滤嘴长度2l 、减少烟草中毒物的初始含量M ，显然可以降低吸入毒物量Q 。其次，当毒物随烟雾沿香烟穿行的比例a 和烟雾速度v 减小时，预料Q 也会降低。至于在假设条件中涉及的其他因素，如烟草对毒物的吸收率b 、烟草长度1l 、香烟燃烧速度u ，对Q 的影响就不容易估计了。

下面通过建摸对这些作定性分析，对提出的问题作出定量的验证和回答。

模型建立

设t=0时在x=0处点燃香烟，坐标系如图1所示。吸入毒物量Q 由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为研究这些关系，定义两个基本函数：

毒物流量 q(x,t)表示时刻t 单位时间内通过香烟截面x 处（0≤x ≤l ）的毒物量。

毒物密度 (,)x t ω 表示时刻t 截面x 处单位长度烟草中的毒物含量（0≤x ≤1l ）。由假设1,0(,0)x ωω=,，

图1 x=0处点燃的香烟

如果知道了流量函数q(x,t),吸入毒物量Q 就是x=l 处的流量在吸一支烟时间内的总和。注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，我们得到

(,),T

Q q l t dt =⎰ 1/T l u = （1）

下面分步计算Q 。

1．求t=0瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过x 处的数量q(x,0)。由假设4中关于v ﹥﹥u 的假定，可以认为香烟点燃处x=0 静止不动。

为简单起见，记 q(x,0) =q(x) ，考察 (x, x+△x ) 一段香烟（图1），毒物通过 x 和 x+△x 处的流量分别是 q(x) 和q(x+△x)，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设2、4有

11(),,()()(),,

bq x o x l q x q x x q x l x l τβτ∆≤≤⎧-+∆=⎨∆≤≤⎩

x v τ∆∆=

其中 △τ 是香烟穿过 △x 所需时间，令 △x →0得到微分方程

11(),0(),b

q x x l dq v dx q x l x l v

β⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩ (2)

在x=0处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作0H ，根据假设1、3、4可以写出方程（2）的初始条件为

000(0),q aH H uw == (3)

求解（2）、（3）式时先解出q(x)(0≤x ≤1l )，再利用q(x)在x=1l 处的连续确定q(x)( 1l ≤x ≤l )，其结果为

10x l ≤≤ （4） 1l x l ≤≤

2、在香烟燃烧过程的任意时刻t ，求毒物单位时间内通过 x=l 的数量q ( l , t).

因为在t 时刻香烟燃至x=ut 处，记此时点燃的烟草单位时间放出的毒物量为H （t ）,则

H （t ）=(,)uw ut t （5） 根据与第1步完全相同的分析和计算可得

11()

1()()

1

(),(,)(),b x ut v

b l ut x l v v aH t e ut x l q x t aH t e e l x l β------

⎧

≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ （6）

实际上在（4）式中将坐标原点平移至x=ut 处即可得到（6）式。由（5）、（6）式能够直接写出

12

()(,)(,)b l ut l

v v

q l t auw ut t e

e

β--

-= （7）

110()

0(),bx

v

bl x l v v aH e q x aH e e β----⎧⎪=⎨⎪⎩