数学建模5香烟过滤嘴的作用分解

M （毫克）
M / l1.
2. 点燃处的毒物随烟雾进入空气和沿烟草穿行的数量
1.
3. 未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾穿行的毒物的吸收率
分别是常数 b, .
4. 烟草沿香烟穿行的速度是常数 v, 香烟的燃烧速度 是常数u.且 v
u.
将一支烟吸完后毒物进入人体的总量记为 Q, 常识告
诉我们，量Q 与过滤嘴的吸收率、烟草中毒物的初始含
x, t ，吸入的毒物流量Q 就
T l1 / u.
⑴
下面分4个过程来计算 Q 值。
1.在 t
0 瞬间由烟雾携带的毒物在单位时间内通过 x
处的数量 q
x,0 , 由假设4 v
考察
u, 知在香烟点燃处
x 0 静止不动。
x, x x 所对应的一段 香烟，毒物通过 x和 x x 处的流量分别是 q x 和 q x x , 则根据守恒定律，这两个流量之差等于这
刻 t 时单位时间通过香烟截面 x
q x q x x
x x x l1 l x
毒物密度
w x, t 表示时刻 t 截面 x处单位长度烟草
中的毒物含量。 如果知道了流量函数 q
是x
l 处的流量在吸一支烟时间内的总和。即
Q q x, t dt ,
0 T
w x, t t w x, t b q x, t v t ,
位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，由假设4，则有
令 t
0, 并将⑸、⑹代入得方程
b x ut w abu w ut , t e v v t w x, 0 w . 0
0 x l1 , l1 x l.
⑹
3.确定 w x, t 由于在吸烟过程中，未点燃的烟草不断得吸收烟雾中 的毒物，所以毒物在烟草中的密度w x, t 由初始值 w0 逐渐增加。考察烟草截面 x处在 t 时间内毒物密度的增 量w
x, x t w x, t , 根据守恒定律它等于在单
q 0 aH 0 , H 0 uw0 .
求解微分方程⑵。首先由方程及初始条件
⑶
b dq q x v dx q 0 aH 0 ,
方程的通解为 q x Ce 从而得到方程的解为
b x v
, 再由初始条件得 C aH0 .
q x aH 0 e
记q 一段未点燃的烟草或过滤嘴的毒物的吸收量，由假设2
及4，有
x,0 q x ,
x 是烟雾穿过长度为 x 的这一段香烟所需 v 要的时间，令 0, 则有微分方程：
其中 Baidu Nhomakorabea
bq x 0 x l1 q x q x x , q x l1 x l
此方程为偏微分方程，该方程的解为
but abut a bx w x, t w0 1 e v e v e v a abut w0 v w ut , t a 1 ae
香烟过滤嘴的作用
问题 烟草公司普遍地在香烟尾部装上一截过滤嘴， 但是过滤嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的
关系？在这一段中，我们建立相应的数学模型来具体讨
论这个问题。
分析 吸烟时毒物吸入人体的过程大致为：由于毒物基本上 均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃的烟草大部分化为烟 雾，毒物由烟雾携带一部分直接进入空气，另一部分沿 香烟穿行，在穿行过程中又部分地被未点燃的烟草和过
即方程的解可以表达为
bx v aH e 0 q x x l1 b l aH e v 1 e v , 0
0 x l1 ,
⑷
l1 x l.
2. 在香烟燃烧的任何时刻 t , 求毒物在单位时间内通 过x
l 的数量q l , t .
量有关，因此降低 Q 的含量及降低烟雾在香烟总的穿 行速度都是降低吸入量的有效方法。
模型建立
0 及 x 0 处点燃香烟，为此建立相应 的坐标系统：吸入毒物量 Q由毒物穿过香烟的流量确
设在时刻 t 定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为此定义函 数： 毒物流量
q x, t 表示在时
0 x l 处的毒物量；
b q x q x x q x v dq lim dx x 0 x b q x v
在x
0 x l1
⑵
l1 x l.
0 处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作
根据假设1、3、4，则可得微分方程2的初始条件为
滤嘴吸收而沉淀下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而
沉淀下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到那里的时候又 通过烟雾部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一 直到香烟燃烧到过滤嘴处为止。
在整个过程中，原来分布在烟草中的毒物除了进入空 气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入.
模型假设 1. 烟草和过滤嘴的长度分别是 l , l1，毒素 均匀地分布在烟草中，密度为w0 比例是 : ,
因为在时刻 t 时，香烟燃至 x
ut 处，记此时点燃的
烟草在单位时间放出的毒物量为 H
仿1可得
H t uw ut , t .
t ,则
⑸
b x ut aH t e v q x, t b l1 ut x l1 v v aH t e e ,
对于方程及初始条件
b x v
,
0 x l .
q
dq dx v q x bl1 v q l aH e , 0 1
同样可得方程的解为
q x aH 0 e
x l1 b l1 v v
e
,
l1 x l .