由传递函数转换成状态空间模型(1)

X^^n X I

a

n ^x 2

-a 1

x n

U

由传递函数转换成状态空间模型一一方法多！!!

SISo 线性定常系统

高阶微分方程化为状态空间表达式

SISO

y(n )+a 1y (2)+a2y (2)+…+a n y =b 0u(m )+b 1u (m ^1)+…+b m u

(n ^m )

b °s m b,s m

b m

S n

yS2 a 2

s n ^

■ a n

外部描述

W 实现问题：有了内部结构一-模拟系统

内部描述

X = Ax +bu y =cx + du

实现冋题解决有多种方法，方法不同时结果不同

直接分解法 因为

Y(S) Z(S) _ Z(S) Y(S) U(S) Z(S) U(S) Z(S)

n

~~1

ds m b 1s m

' •… bmQ S

S a I S

亠

亠

a n 」s a n

:Y(s) =(b °s m

+b 1s m

'+…+b m^s + b m )Z(s) IU(S) = (s n +a 1

s n ' *八 +a n jS + a n

)Z(s)

对上式取拉氏反变换，则

jy = b 0Z (m

)+b 1

z (m4

∙) +…+b m'Z + b m Z

<

(n

)

丄

(n

4) IB ・■I

U=Z +a 1

z

+ +a n 4z+a n

z

X 2 = X 3

G(S) = SlSo

按下列规律选择状态变量,

即设X 1 二乙X 2 =乙

,X n

Z)

,于是有

X i

X；

式中，|心为n -1阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只

要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，C阵的形式可以任意, 则称之为能控标准型。

则输出方程

y =b°X n b i X n」b mi X2 b m X i

写成矩阵形式

S I

X2

y

= [

b

m

b

m」b i b0 ]'

X n」

-X n 一分析A,b,c阵的构成与传递函数系数的关系。

在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A、b、C矩阵的所有元素。

例：已知SISo系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型

Y(S) _ 3 8s

3 2

U (S) S 3s 2s 4

解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即

写成矩阵形式

XnA

.Xn J J- a n

"x；l - 0 Ir X J「0]

X2

—a1 一x3 一r」

"0

1—

4

Ir x J

JJ

■xj-x j

b0] X2 =[3 0]

| n Λ

|__a3

X2

X2

若选择状态变量X- Ix 1

X 2…Xnl r

满足下列条件（如何考虑？）

X nJL = y+a ιy — b o u

x n ∕ = Y + a ι

y + a 2

y - b 0

U - b I U

■ an’

y -b o u "”') -b i u (m

')-」"-b m 」u

a *y _

b o u (m 」)_ b ιu "m

^) - - b m U

考虑式

y(n )+a 1y (n ')+a 2y (n ')+■■" +a n y =b 0u(m )+b ∣u (m ')+…+b m u

(n X m )

设系统的输出y = X n ,依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带 入第三式；依次类推，便得到

X L = -a n X n b m U X^X^a nJ X n

b m 」U

X n r X n 4 PX n

b °U

写成矩阵形式

f

Xi 1

一0 0

-an I 'X i 1

^bm ^

X 2

一

a

n J

X 2

b

mJ

- =

I 2

- + - U

Xn 4

一

a

2

X n-I

b i

I

X n I

_a i _ -X n _

b 0

^X L 〕

X 2 y=[0 0 …0 1]-

X n^

〕X

n J

式中，InJ 为n -1阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的 A 阵和C 阵具有上式 的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型

从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵

A 是互为转置，能控标准

型输入阵b 和能观标准型输出阵C 互为转置，这种互为转置的关系被称为 对偶关 系。将在第

六章进一步讨论。

X 2 =yg )+a ιy2 +… X L H y (

Z ■ ai y (n ^)

"

X

n

」=X n _2

-a 2

X n

b 1

u