相似三角形模型分析大全

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第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识

(一)A字型、反A字型(斜A字型)

B

(平行)

B

(不平行)

(二)8字型、反8字型

B

C

B

C

(蝴蝶型)(平行)(不平行)

(三)母子型

B

(四)一线三等角型:

三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景

(五)一线三直角型:

(六)双垂型:

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型:由A 字型旋转得到。

8字型拓展

C

B E

D

A

共享性

G

A

B

E

F

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E . 求证:OE OA OC ⋅=2

例2:已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠.

求证:(1)DA DE DB ⋅=2

; (2)DAC DCE ∠=∠.

A

C

D

E

B

例3:已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F .

求证:EG EF BE ⋅=2

相关练习:

1、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ⋅=2

2、已知:AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ,EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证:(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2

=NC ·NB

3、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F 。 求证:EB ·DF=AE ·DB

4.在∆ABC 中,AB=AC ,高AD 与BE 交于H ,EF BC ⊥,垂足为F ,延长AD 到G ,使DG=EF ,M 是AH 的中点。

求证:∠=︒GBM 90

G

M

F E

H

D

C

B

A

5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边

AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.

(1)求证:AE=2PE;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;

(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.

D E (第25题图)

双垂型

1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高

2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,

DE=62,求:点B到直线AC的距离。

C

共享型相似三角形

120,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=

边长.

D

2、已知:如图,在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠DAE =45°.

求证:(1)△ABE ∽△ACD ; (2)CD BE BC ⋅=22.

C A

一线三等角型相似三角形

例1:如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF =60° (1)求证:△BDE ∽△CFD (2)当BD =1,FC =3时,求BE

例2:(1)在ABC ∆中,5==AC AB ,8=BC ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持ABC APQ ∠=∠.

①若点P 在线段CB 上(如图),且6=BP ,求线段CQ 的长;

②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;

A

B

C

备用图

C

A

D

B E

F

A

B

C

P

Q

A

B

C

备用图

(2)正方形ABCD 的边长为5(如下图),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时,求出线段BP 的长.

例3:已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.

(1)如图8,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A . ①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长.

A

B

C D

A

B

C

D

A

B

C

D

C

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