江苏省高考数学真题分类汇编数列

五、数列
（一）填空题
1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
按照以上排列的规律，第n行（n》3）从左向右的第3个数为______________ .
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n —1行共有正整数1 + 2 + •••+（n
2 2
n — n n — n
—1 ）个，即-一n个，因此第n行第3个数是全体正整数中第-一n+ 3个，即为
2 2
n2- n 6
2
2、（2009江苏卷14）设咕,是公比为q的等比数列，|q|・1，令b n二a n • 1（n =1,2,川）,
若数列:b n ?有连续四项在集合「-53,-23,19,37,82?中，则6q = .
【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。

等比数列的通项。

「a n ?有连续四项在集合:-54, -24,18,36,81，四项-24,36, -54,81成等比数列，公比为
3
q 二匕，6q= -9
3、（2010江苏卷8）函数y=x2（x>0）的图像在点（a k,a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a1=16，贝U a1+$+a5= __________
［解析］考查函数的切线方程、数列的通项。

a
在点（a k,a k2）处的切线方程为：y-a k2 = 2a k（x-a k）,当y = 0时，解得x k,
2
a
所以a k1打，a1 a3 a5=16 4“21。

4、（2011江苏卷13）设1 =印_a2-川_a7，其中a1 ,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，
a2,a4,a6成公差为1的等差数列，贝U q的最小值是 ___________ .
【解析】由题意：1 =印込a2乞q込a2• 1乞q2込a2• 2岂q3,
a2^a2 1,a2 1 ^q2^a2 2
q3-a2,2-3，而‘為2-1印# ^2 a21 a2 的最小值分别为1,2,3；q min=3-3
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题•
5、( 2012江苏卷6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，_3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______ .
【解析】组成满足条件的数列为：1,-3,9. 一27,81,—243,729,—2187,6561,—19683.从中随机
取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为
3
5.
【点评】本题主要考查古典概型•在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本
事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特另U注
意.
1
6、 (2013江苏卷14) 14 •在正项等比数列{a n}中，35 , a6 a^3，则满足
2
c•…』n …an的最大正整数n的值为__________________ 。

答案：14 . 12
(二)解答题
1、( 2008江苏卷19) . (I)设31,32,|||HI,a n是各项均不为零的等差数列(nK4),且公差d = 0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：
①当n =4时，求a1的数值；②求n的所有可能值；
d
(H)求证：对于一个给定的正整数n(n >4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
0,^,1川||,0，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

(I)①当n=4时，a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

若删去a2,则a32=a a4，即(印吃d ^a 1(a 化简得c +4d=0，得旦=-4
d
若删去a3，则a2^a1 a4，即(a1d)2 = a (q - 3d)化简得a, -d =0，得卑=1
d
综上，得旦--4或旦=1。

d d
②当n=5时，a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5，否则出现连续三项。

若删去a s，则ai a5 =a2 d ,即ai(a1 4d) ^(a1 d) (a1 3d) 化简得3d = 0，因为d =0，所以a3不能删去；
当n A 6时，不存在这样的等差数列。

事实上，在数列 &月2, a 3,|)| ,a n_2,a n 」，a n 中，
由于不能删去首项或末项，若删去
a 2，则必有a 1 a n = a 3 -a n 2，这与d = 0矛盾；同样若删
去am 也有a a n 二a 3，这与d =0矛盾；若删去 &3,川，中任意一个，则必有 印a n 二a ? a .二，这与
d =0矛盾。

(或者说：当n 》6时，无论删去哪一项，剩余的项中必 有连续的三项)
综上所述，n=4。

(2)假设对于某个正整数
n ,存在一个公差为
d 的n 项等差数列b|,b 2,.….b n ，其中
b x .「b y d ,b z d ( 0 _X ：：： y ：：： z _ n _1 )为任意三项成等比数列，则 b 2y d ^b x1 b z1，即 (b +yd)2 = (b + xd)，(b + zd),化简得(y 2 —xz)d 2 =(x + z —2y)bd
(*)
由b]d =0知，y 2-xz 与x ，z-2y 同时为0或同时不为0 当y —xz 与x • z —2y 同时为0时，有x
= y = z 与题设矛盾。

b
2
故y 2 -xz 与x - z -2y 同时不为0,所以由(*)得= ——xz -
d x+z-2y
因为0乞x ：：： y ：：： z 乞n -1，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而色为有理数。

d
于是，对于任意的正整数 n(n _4),只要色为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

d
例如n 项数列1, 12 , 1 2 2 ,……,1 (n-1)2满足要求。

2、( 2009江苏卷17)(本小题满分14分) 设订/是公差不为零的等差数列，
S n 为其前n 项和，满足a 22 a 3
^ a 42 a 52, S 7 = 7。

(1) 求数列f a n ?的通项公式及前n 项和& ；
(2) 试求所有的正整数 m ，使得3m 3m 1为数列 订昇中的项。

a
m 2
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。

满 分14分。

(1
)设公差为d ，则£ - a 5 = ai - af ，由性质得- 3d
⑻'a 3) = d ⑻ a 3)，因
7汇6
为 d = 0，所以 a 4 a 3 0，即 2a 1 5^ 0,又由 5=7得 7a 1 d = 7 ,
解
得
印- -5
,
d
_2 —「.：「；門邛匸二丁：「7 丄.j 「C i 「一
a
m 2
⑵
(方法一) a m a m 1 =（2m -7）（2m -5），设？m _3 二
t ,
a
2m
- 3
则
arA 1 二（t -4）（t -2）
所以t 为8的约数
因为十是奇数，所LiU可取的值为土L
当= 1, m二2时，t + --6=3 ■ 2 5-7 = 3,是数列也沖的项m
t
当i=-E m=l时，£ + * —6=T—数列辺｝中的最小项是—5,不符合.所農满足条件的正整数即=2B
（方法二）因为（am
2一
4）（
编2_2）二a m .2 -6 •丄为数列；,aj中的项，3m 2 a m 2 a m 2
8
故_为整数，又由（1）知：a m.2为奇数，所以a m.2=2m-3hT,即m =1,2
a
m+2
经检验，符合题意的正整数只有m=2。

w.w.w.zxxk.c.o.m
3、（2009江苏卷23）（本题满分10分）
对于正整数n >2,用T n表示关于x的一元二次方程x22ax ^0有实数根的有序数组
（a,b）的组数，其中a,b 〈1,2,ll）,n（a和b可以相等）；对于随机选取的a,b 讣2,川,n? （a和b可以相等），记巳为关于x的一元二次方程x22ax 5=0有实数根的概率。

1
（1 ）求T n2和P n2 ；（2）求证：对任意正整数n >2,有P n 1 一.
【解析】［必做题］本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。

满分分。

（1）解;因为方梅J + 2c« + A 0有实数SL所比3 -九'事0』卩占呈讥当n £氐W J时*有又&匸1 ,2严｝，披总冇b W $*此时・a ^fn1- m + 1种取法上有d种取法’所以共冇（J -n +1）FI3
组宵序散组5川〕満足条件；
3）当I a fl - 1时’満罡1电b富『的A有J个•故共宿
I1 +22 +31 + - + -I）1 =叫5广罟—1）组有序数组山,町満足
务件.
由⑴罚）翊6 5 —+】心也匕」譽二耳*迴匕年込』.
“““ G - 411 + 3rr + I
（2）证明:找们貝皤证期:对于随机选取的叭6匚丨1 .九…"匚方杜d *2曲+6=0无实数根的覆率$ -巴C占.若方程? + 2^ + A = 0无实数根，则/fl
d = 4rt;- 4b < 0,IU / € k商山毎n知n c “扁一因此.満足.血‘ < 矗的有序数组（血町的组
数小于乐.从而*方觀J + 2«x + * = 0无实数段的悵事1 ■巴u吗J 士所匚> I -p-・
w.w.w.zxxk.c.o.m
4、（2010江苏卷19）（本小题满分16分）
10
设各项均为正数的数列 a 的前n 项和为S n ,已知2a 2 = a a 3,数列' S n 是公差为d 的等差数列。

(1)求数列 乩[的通项公式(用n,d 表示)；
(2)设c 为实数，对满足m • n =3k 且m = n 的任意正整数 m,n, k ，不等式S m - S n . cS ,
9
都成立。

求证：c 的最大值为9。

2
【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等 式等有关知识，考查探索、
分析及论证的能力。

满分 16分。

(1)
由题意知：d 0， /S^ S 1 (n-Dd-c (n-1)d
2a - a 1 a^ = 3a ? = S 3 = 3(S 2 - S 1) = S 3， 3[(. aj d) - a 』=a ' 2d),
化简，得：-2 a d d 2 = 0,冃=d,a = d 2, S n = d (n 「1)d 二 nd,S n = n 2d 2， 当 n 一2 时，4
=S n -S nA -n 2d 2 -(n - 1)2d 2 =(2n — 1)d 2
故所求耳=(2n -1)d 2 (2) (方法一)
S m ■ S n cS k 二 m 2d 2 n 2d 2 c k 2d 2 二 m 2 n 2 c k 2
又 m n =3k 且m = n ， 2(m n ) (m n) =9k
2 k 2
2
— 9
9 故c ，即c 的最大值为。

2
2
(方法二)由.51-d 及£=，芬-(n - 1)d ，得 d 0，S n =n 2d 2。

于是，对满足题设的 m, n,k ， m = n ,有
S m
$ =(亦『屮.竺产宀*讦专$。

所以c 的最大值血-号。

9
3 3
另一方面，任取实数a。

设k 为偶数，令m k 1,n kT ，则m,n,k 符合条件, 2 2 2
且 S m S n =(m 2 n 2)d 2 =d 2[(3k 1)2 (?k -1)2] =[d 2(9k 2 4)。

2 2 2
2 2
2 1 2 2
于是，只要 9k 4 <2ak ，即当 k ：. ----------------- 时，S m - S n
d 2ak 二 aS k 。

J 2a —9
2
，适合n = 1情形。

2 2
m n k c 2 恒成立。

k 2
(m n)
9 9 9
所以满足条件的C，从而C max ,因此C的最大值为。

2 2 2
5、(2011江苏卷20)设M部分为正整数组成的集合，数列{a n}的首项耳=1，前n项和为
S n,已知对任意整数k M当整数n • k时,S n ,k- S n上=2(S n S k)都成立
(1 )设M -{1}, a^2,求a5的值；(2)设M ={3,令，求数列{a n}的通项公式
【解析】本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：(1)由题设知，当n _2时,&勺-S n」=2(& 0),
即(S
n 卅一S n ) - (S n - S n」)=2S ,
a n十-a n =2a-^ =2,又a2 = 2,故当n _ 2时,a n = a2 2(n - 2) = 2n - 2.所以a5的值为8。

(2)由题设知，当k • M ={3,4},且n • k时,S n k Sn^ = 2S n 2S k
且S n 1 k ' S n •1_k 二2S n 1 2S k，
两式相减得a n 1 k a n 1 _k = 2a n 1 ,即a n 1 k - a n 1」=a n 1 - a n 1 上
所以当n _8时,a n £,a n,, a n,a n .3,a n .6成等差数列，且a^, a^, a n .2, a n .6也成等差数
列
从而当n_8时，2a n = a n 3 • a n；二a n 6 • a n』. (*)
且a n 6 • a n(二a n 2 • a./,所以当n - 8时,2a.二a.吃’a n/,
即a n .2 - a n = a n -a n/.于是当n - 9 时,a n A, a n」, a n 1, a n 3 成等差数列，
从而a n 3 a n^ -a n「az ,故由(*)式知2耳=a n「a.—,即a. 1 - a.二a. - a^.
当n 一9时，设d 二a n -a n 1.
当2乞m乞8时，m，6-8 ,从而由(* )式知2a m = a m■ a m .12,故2a m 7 —a m 1 a m 13 .
从而2(a m 7 -a m6)=a m 1 一a m @m13 一&皿12)，于是a m 1 -a m = 2d - d = d.
因此，a n .1 _a n 二 d 对任意 n A 2都成立，又由 S n ,k - S n ± - 2S k = 2S k (k {3,4})可
知(S n k -S n )-(S n -S n 上)=2S k ,故 9d = 2S 且 16d = 2S 4,
"7
Q
zJ
解得a 4
d,从而a 2
d, a 1 .因此，数列｛a n ｝为等差数列，由q = 1知d = 2. 2 2 2
所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n-1. 6、( 2012江苏卷20)(本小题满分16分)
a + h
已知各项均为正数的两个数列 ｛a n
｝和｛h n
｝满足：a n1
=曰；
2
，n ，N
g 2 +bn 2
(1 )设 b n d
=1
bn
, n^ N ,求证：数列
a
n
(2)设b n1*2 b , n N ,且｛a n ｝是等比数列，求a 1和h 的值.
a n
*隅吏姜二蘇拠叭比前的d 性质*神式舸輙识卫考生分析 煤究尺谴豹推理的陡力.湛分16分*
)71+
(d' 旨碍；从呛f (护 ｛◎)〕是以！为公差的邯畫熬列
'地工和■臥、仏祐.几
从面皿•，青丰产医 (*
mg
设等比数列卫和的茲比为典ifl.>o®g>o.下证“i ・
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若卩1‘列空色圧屁故当2叱"二时，t l -；( x)矛隋； 若 0<^<1 .刚 a, i —>d ?>l * 故当心丄时* °,*]
g
综上，f *1 v 故 a.EtfjtnCN"), fft^k ^72,.
又—朋・L 止・V^N'),驟以血掘公比为匚的尊比矽九若知皿
f b
< I 生 > 是等差数列; X 丿J
牡⑴由録知“裁
所以-
J
所匕数列
心)因为％>0.人>0.所W-d 5
【点评】本题综合考查等差数列的定义、 等比数列的有关知识的灵活运用、 指数幕和根式的
互化.数列通项公式的求解•注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，
本题
是有关数列的综合题； 从近几年的高考命题趋势看， 数列问题仍是高考的热点 、重点问题， 在训练时，要引起足够的重视 •
7、(2013江苏卷19)19.本小题满分16分。

设｛a n ｝是首项为a ，公差为d 的等差数列(d 式0),
n
Q
S n 是其前n 项和。

记b n =
2 n
, n • N ，其中c 为实数。

n c
(1 )右 c=0，且 b|, b ?,匕4 成等比数列，证明：S nk = nS k ( k, n 二 N )；
(2)若｛b n ｝是等差数列，证明：c = 0。

20.本小题满分16分。

设函数 f(x) =1 nx-ax , g(x)=e x —ax ，其中 a 为实数。

(1 )若f(x)在(1,=)上是单调减函数，且 g(x)在(1, •：：)上有最小值，求a 的取值范围;
(2)若g(x)在(-1, •：：)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的结论。

公差为d 的等差数列(d = 0), S!是其前n 项和
S (1 )••• c = 0 • b n -
n
•••左边=右边.••原式成立
19•证明：••• ｛a .｝是首项为
••• b, b 2, b 4成等比数列
• b 22 二 db 4 • (a - -d)
2
11 11
•一 ad d 2 = 0
• d(a d) = 0
4
n(n
一D d na . n(^1)2a
d - na
2a
2
3 =a(a d)
2
• a
2
•左边=S nk =(nk)
2
a 二 n 2k 2
a
2
右边=n S k
二 n 2k 2a
【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幕和根式的
d1 , • b n二b (n - 1)d1带入b n
(2)••• ｛b n｝是等差数
列.••设公差为
由③式得: 当b,, b 2, b 4成等比数列，b ；二bb 4,
由此：S n = n 2a , S nk =(nk)2a = n 2k 2a , n 2S k =n 2k 2a .
故：S i k = n S k
2
(n -1)d 2a n n 2 c
n 2 c 若｛bj 是等差数列，则b n 二An • Bn 型.
观察（探）式后一项，分子幕低于分母幕, (n - 1)d 2a
b| (n - 1)d 1 = nS n n 2 c (d 1 」d) n 3 (b-i 2 1 2 -d 1 - a d)n • cd 1 n = c(d^b 1) 对 2 •恒成立 d 1 •••山 cd j =0 c(d i -b i ) =0 由①式得: d 1
-0
故有: 2 n 2 c =0，即 c (n 「1)d 2a =0，而 (n - 1)d 2a 经检验，当 c = 0时｛b n ｝是等差数
列.
法二：证: (1)若 c =0,则
a n (n -1)d , S n n[( n - 1)d 2a] , (n _ 1)d +2a
b n =
即: a +一 i =a a + —— .2丿 i ：
3d ' 2 ,得：d _2ad ，又 …，故 d (n -1)d 2a f
(n -1)d 2a 2_ n 2 c
8、 (2013江苏卷23)卷n附加题
9、23.本小题满分10分。

设数列& }：, - 2 - 2, 3.3-, 3 - ,- ,4 ,4 (-4k-k,,( ) k1,即当
a n(-1)kJ k，记5=6 a2川a n n N ，
对于L N :定义集合P^'.n S n是a.的整数倍，n • N，且1 _ n _ I?
(1)求集合R1中元素的个数；(2)求集合P2000中元素的个数。

23.本题主要考察集合. 数列的概念与运算. 计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。

(1)解：由数列"a n，的定义得：a1 = 1 , a2 - -2 , a3〜-2 , a4 = 3, a^ = 3, a^ = 3,
a? - -4, a$ - -4, a? - -4 , a® - -4, a^ = 5
二Si =1 , S2 - -1, S3 - -3 , S4 = 0, S5 = 3, S6 = 6 , S7 = 2 , S8 ■ -2 , S9 - -6,
S10 - -10 , S11 - -5
二集合Pn中元素的个数为5
(2)证明：用数学归纳法先证S i(2i ° = -i (2i 1)
事实上，
① 当i =1时，S i(2i °= S^ -1 *(2 1) - -3 故原式成立
② 假设当i = m时，等式成立，即S m(2m 1)= -m・(2m ■ 1)故原式成立
则：i = m • 1,时，
2 2 2 2 S(m 1)[2(m 1)1} =S(m 1)(2m 3} = S m(2m 1)(2m 1)
-(2m 2) - -m(2m 1) (2m 1) - (2m 2) --(2m2 5m 3) = -(m 1)(2m 3)
综合①②得：S i(2i巧=一i(2i 1)于是
S(i 1)[2i 1}二S i(2i 1} (2i 1)2二-i(2i 1) (2i 1)2二(2i 1)(i 1) 而a(i半)(2i 斗}舟=2i +1( j
=1,2，…,2H~1)，所以S i(2i4i)^ = S(2i屮)+ j (2i +1)是
a(
i 1)(2i 1} j (j = 1,2, ,2i' 1)的倍数
(k -1)k k(k 1)
cn兰
2 2
二3 = 1 • a1, S4 = 0 * a4,S5 = 1 ・ a5, S e = 2 • a6,
由上可知:S i(2i 1｝是(2i 1)的倍数
又S(i 1)[2i 1} =(i 1)(2i 1)不是2i 2 的倍数，
而a(i 1)(2i 1} - _(2i 2)(j =1,2^ ，2i 2)
所以S(i 1)(2i 1) j 二S(i 1)(2i 1) - j (2i 2)=⑵1)(i 1) _ j (2i 2)不(j = 1,2，…，2i 2)的倍数
a
(i 1)(2i 1} j
故当I =i(2i /)时，集合R中元素的个数为1 (2i -1) = i2
于是当I =i(2i +1) +j (1兰j兰2i +1)时，集合R中元素的个数为i2十j
又2000 =31 (2 31 1) 47
故集合R2000中元素的个数为312*47=1008。