05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式(供参考)

05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。

1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 ................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)

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* 问题的提出

在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。 如，梁

弯曲强度条件：[]σσ≤=W

M max max

；剪切强度条件：[]τρτρ≤⋅=

b I S F z Q *

max

,max 刚度条件：挠度

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡≤l y l y max ；转角[]ϕϕ≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，

即得。

显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。

杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。

其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。

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下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。

一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。

力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在）。

变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。

物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。

故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。

1 梁的弯曲 3

1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力

公式推导

1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。 考察一端固定，一端受弯矩M 作用的梁（纯弯曲）。根据“平截面假设”，其变形图示如下：

图1-1 在平截面假设下，

（1）同一横截面上各点（z ，y ）应变ε沿y 线性分布； （2）应变ε与梁高方向的y 值成正比，比例常数c x 仅与横截面位置有关； （3）中性轴z 上各点（y=0）的应变ε为零。

(a) 弯曲前平面图

(b) 弯曲后平面图

(c) 弯曲前立体图

(d) 弯曲后立体图

从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴Z ）转过一个角度（如图1-1、1-2中的d φ），横截面仍然保持为平面，

公式（1）表明：各纵向纤维（x 方向）的单位长度伸长量εx （线应变、正应变）可表

示为()dx

yd y ϕ

ε=

x ，同一截面各点（y 坐标不同）对应的纵向纤维原长dx 是一样的，但伸长量yd υ不同，随y 线性变化。对于对应的纵向纤维，故各条纵向纤维的单位长度伸长量εx (y)是不一样大的。主题字母ε表示物理量为应变，下标x 表示该量ε的方向，圆括号(y)内的y 表示εx 的自变量是y ，即εx (y)表示x 方向的纵向纤维线应变，它随y 值变化。

应变εx 沿y

方向线性分布，沿z 方向不变。在y=0，即中性轴z 轴上各点的应变为零。正弯曲作用的梁段上，中性层（为xz 坐标面）以下的纵向纤维伸长，中性层以上的纵向纤维缩短。

1.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。

()2 εσE =

图1-2 在平截面假设下同一横截面上各点（z ，y ）应变ε沿y 线性分布，y=0各点为零