弯曲应力的推导 1

截面对z轴(中性轴) 的惯性矩
dA
y(对称轴)
E Iz M
y E (*)
可得挠曲线的曲率方程：
E Iz M
M EI z
1
y E
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为
My Iz 横截面上最大正应力为
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
m m1 m m1
FN1
M
'
p n p1 n1
M+dM y
p n p1 dx n1

'
q q1 σ dA
z
y

y1
dx
y F N2
M M pn : FN1 A1 dA A1 y1dA Iz Iz

A1
y1dA
M dM p1n1 : FN2 Iz
A1 y1dA
pp1 : dFs bdx
弯曲应力的推导
纯弯曲 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的切应力
纯弯曲
横力 F 弯曲 a F (+)
Fs 图
纯弯曲
F
横力 弯曲
纯弯曲——梁弯曲变形时，
横截面上只有弯矩而无剪 力（ M 0, Fs 0 ）。 纯弯曲时，横截面上有正 应力而无切应力 横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又
梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于 变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
由现象2
中性轴
中 性 层
凹边缩短，凸边伸长
中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长 又不缩短的层面。 中性轴——中性层与横截面的交线。
理论分析
纯弯曲时的正应力
P
（1）变形几何关系
S z * y1dA
* A
h/ 2 y 1
τmax
2 2
b h y bdy ( y ) 2 4
1
2 FS S z FS h ( y2 ) I zb 2Iz 4
*
可见,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化.
max
FS h2 FS h2 3 FS 3 2 bh 8 I z 8 bh 12
d z
Iz

64
d 4,
Wz

32
d 3,
D
d z
Iz

64
(D d )
4 4

64
D4 (1 4 )
Wz

32
d ( ) D
D3 (1 4 )
横力弯曲时的正应力
纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁。
My Iz
前提： 细长梁，即梁的跨高比L/h>5时，其误差 不大；
' '
M dM M X 0, I A1 y1dA I z z
m m1 F N1 p n q y q1
' y d A bdx 0 A1 1
z
y1
dM 1 ( ) dx I z b
'
A1 y1dA
p1
dx n1
σ dA
y F N2
dM Fs , dx
A
d
o
m n a y
dx

a
a
o
o
a
b m
b n
o
y——任意纵向纤维至中性层的距离 ——中性层的曲率半径 P——曲率中心
b m
b n
m
n
a
o
b m
a
纵向纤维bb:
变形前 变形后
y
dx
o
b n
bb oo d bb ( y)d
所以纵向纤维bb的应变为:
P
d
a a

o o
b n
yd bb ( y )d d y d d bb
b m

1
y

横截面上距中性 轴为y处的轴向变 形规律。

C , y.
（2）物理关系--应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律

y

y E E 对一定材料， E=常数；对一定截面， 常数.
弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
m y A x P n m1 m q(x) h b m1 O
Fs
z y
m
B x n1 p n dx p1 n1 y
q1
dx
x
关于切应力的分布作两点假设： 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2、切应力沿截面宽度均匀分布
( // Fs )
讨论部分梁的平衡
I yz 0
Y轴是截面的对称轴 所以 I yz 0
截面对y、z轴的惯性积

M dA dA x
z(中性轴) M

y(对称轴)
考虑平衡条件
M M M M z A (dA) y
z

dA dA x
z(中性轴) M

A E
y
2
E 2 A y dA M
Iz
y
横截面上某点处的应 力与此点距中性轴的 距离y成比例。
中性轴
当y 0时, 0；
当 y ymax 时, max .
z
M
（3）静力平衡关系
y E (*)

M dA dA x
z(中性轴) M
由
F 0得 dA =0
x
A

将(*)式代入，得
y(对称轴)
二、圆形截面梁
Fs
max
4 Fs 3 R 2
三、工字型截面梁
B b0 h h 0 z y
F
s
y
Fs b0 h0
抗弯截面模量
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放： z h b b
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
平放：
h
z´
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
1
y1dA S z ,
* z
*
,
'
Fs S I zb
FS S I zb
* z
y
*
z
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
A
S
* z
距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩
切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 S * z 与y之间的关系确定

Sz 0
A
E
y

dA 0
E

A
ydA 0
Sz
E

Sz 0
截面对z轴的静矩
因此z轴通过截面形心，即 中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。
考虑平衡条件
M
A
y
0
y E (*)
M y (dA) z 0
E
A
yz

dA
E

A
yzdA 0
I yz
有一模量为E 1 的矩形截面悬臂梁AB ， A 端固定， B 端自 由。梁长为L ，截面高度为h1 ，宽度为b 。梁上表面粘着模量 为E2 = 2E1 的增强材料层，该层高度h2 = 0.1h1 ，长度和宽 度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为Δ。在B端作 用垂直向下的载荷 FP 。不考虑各部分的自重。 （1）求组合截面中性轴的位置。 （2）求使梁B 端下表面刚好接触D 台面所需的力 FP 。 （3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力。 （4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。
F
L
a
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fa
-F
(-)
(+)
M-图
有剪力（ M 0, Fs 0 ）。
等直梁纯弯曲梁正应力分析
前提: (a)小变形,在弹性变形范围内
(b)满足对称弯曲条件 (c)纯弯曲 (d)纵向纤维间无挤压
实验观察:
1.横向线保持为直线；纵 向线与横向线依然垂直。 2.凹边缩短，凸边伸长
由现象1
横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。