第五章 弯曲应力1

max
3F 2bh
2bh F2 10KN 3
( y)
QSZ 胶 bIZ
*
SZΒιβλιοθήκη Baidu
*
h b yc 25 104 mm3 3
F3
I Z b 胶 SZ
*
3.83KN
F1 3.75KN
D 3 Wz 3 (1- 0.84 ) 2.75Wz1 32
max 2 m
当
D12
4
2 2a1 时, a1
2 D1
Wz 4
bh 4a 1.67Wz1 6 6
2
3 1
max 1.5 m
2a1
z
a1
当
D12
4
2 2 2a2 0.8 1.6a2 时, a2 1.05D1
1、横截面上的剪应力方向平行于剪力Q 假设 2、剪应力沿截面宽度均匀分布 (矩中性轴等距离处，剪应力相等。)
研究方法：分离体平衡 在梁上取微段如图
Q ---- 横截面上的剪力
IZ
----整个截面对中性轴的惯性矩
SZ*---- 截面上距中性轴为Y的横线以外的部分 对中性轴的静矩 b ----- 距中性轴为y处的截面宽度
截面的曲率半径。
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
M1 Mmax
x 1
60kNm
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
（1）1——1截面上1、2两点的正应力；
bh3 120 1803 Iz 1012 5.832 10 5 m 4 12 12
IZ WZ ymax
wz抗弯截面模量
横力弯曲时的正应力
Stress in shearing bending
如图悬臂梁，自由 端受集中力作用。
从内力图来看是典 型的横力弯曲。
在横力弯曲的情况下，横截面上存在剪应力，故横截 面不能保持为平面，产生翘曲，这时除因弯矩产生的 正应力，还将产生附加正应力。但是对于细长梁（横 截面h远小于跨度L的梁）来说，附加正应力非常微小 ，可以忽略不计.
{
Q M
横力弯曲 CD
{
M
Q图
纯弯曲
M图
2、研究方法 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面
例如： P1
剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
1、变形前在矩形梁表面
画相互垂直的纵向线和 横向线，mm和nn为横 截面，间距为dx.
2、在M的作用下，梁
能充分发挥作用，将这些材料移置到离中性轴较远处，
则可使它们得到充分利用，形成"合理截面"。
2、根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，
qL 2
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
qL 3600 3 5400N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
求最大应力并校核强度
max
qL 2
M max 6 M max 6 4050 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [ ]
（3）全梁的最大正应力；
1
2
120
180 30
max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
(4)求1—1截面的曲率半径。
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M1 Mmax
§5–3
梁横截面上的剪应力
矩形截面梁
32
max
4Q 1.33 m 3A
D z
当
D12
4
a 2时, a R; ( D1 / 2)
a a
Wz 2
bh2 ( R) 3 1.18 z 1 W 6 6
max 1.5 m
当
D12
4

[ D 2 (0.8 D)2 ]
4
时, D 1.67D1
B截面处M值为负,所以中性轴以上受拉,以下受压.
C截面处M值为正,所以中性轴以上受压,以下受拉.
例2 受均布载荷作用的简支梁如
图所示，试求：
（1）1——1截面上1、2两点的 正应力； 180 30 （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
1
2 z
120 y
（4）已知E=200GPa，求1—1
开始发生纯弯曲变形， 注意观察纵向线和横向 线的变形情况. 3、变形后，纵向线弯 曲成为弧线，横向线仍 保持为直线，且垂直与 弯曲了的弧线
a A
P
P
B
a
纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变形 称为纯弯曲。如AB段。 x
Q
x M
§5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 纵向对称面 中性层 一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性轴 （一）变形几何规律：
1.梁的纯弯曲实验 a b M a b c c 横向线(a b、c d）变形 d M
后仍为直线，但有转动；
纵向线变为曲线，且上缩 下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。
d
基本假设
1、平面假设： 横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线 偏转一个角度。
假想梁由若干的纵向纤维构成，在变形时 凹入一侧纤维缩短，凸出一侧纤维伸长
2、假设纵向纤维之间无挤压应力
横截面上只有正应力
两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维 不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
变形几何关系
距中性层为y处纵向纤维的变形
( + y )d d y d
2. 物理关系
画危面应力分布图，找危险点
A 2 t
MC y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
A3t
MB y1 4 52 27.2MPa 8 Iz 76310
A1 G
A4c
y1
y2
MB y2 4 88 46.2MPa 8 Iz 76310
铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
相应比值时，要校核剪应力。
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
例 矩形(bh=0.12m0.18m）截
A B 面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪 应力之比,并校核梁的强度。 解：画内力图求危面内力 x
1
2 z
180 30
120 y
M1 y 1 2 Iz 60 60 105 61.7MPa 5.832
Wz I z / y max I z / 0.09 6.48 104 m 3
M1 Mmax
（2）此截面上的最大正应力；
1max
M1 60 104 92.6MPa Wz 6.48

dA
E

A
y dA
2

M
M z (dA) y
A
Ey2
A

dA
E

A
y 2dA
EI z

M
EIz
杆的抗弯刚度。
1


M EI z
Ey
My IZ


（四）最大正应力：
My IZ
凹入一侧的受压应力
凸出的一侧受拉应力
max
My max M Iz Wz
方向：与横截面上剪
力方向相同； 大小：沿截面宽度均 匀分布，沿高度h分布 为抛物线。 最大剪应力为平均剪 应力的1.5倍。
max
3Q 1.5 2A
min max
铅垂剪应力主 要腹板承受
（95~97%）
max
Q Af
max min
; Af —腹板的面积。
Wz 5 4.57Wz1
max 2.3 m (= Q A ) f
工字形截面与框形截面类似。
选用合理的截面形状
在截面积A相同的条件下，抗弯截面系数W愈大，则梁 的承载能力就愈高材料远离中性轴的截面（如圆环形、 工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面 高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不
弯曲正应力强度条件:
一简支木梁受力如图所示，荷载F = 5 kN，距离a = 0.7 m， 材料的许用弯曲正应力 =10MPa，横截面为h/b = 3的矩 形。试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。
b F A C D a y F B z
a
h
O
答案
例1:铸铁梁 试校核梁的强度.
解：求支反力，做内力图
其截面形心位于C点，y1=52mm，
y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核 此梁的强度。并说明T字梁怎样放 置更合理？ A1 G y1 解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
MC 2.5kNm 下拉、上压 ( )
y2
A2
M B 4kNm （上拉、下压）
指出:矩形木梁的合理高宽比为
h h 2 时, 强 度 最 大 ; 3 时, 刚 度 最 大 。 b b
其它材料与其它截面形状梁的合理截面
M 强度：正应力： Wz
剪应力：
* QSz bIz
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z
Wz1
D 3
校核强度
A2
A3 y2
t max 28.2 t
c max 46.2 c
G
y1 A4
T字头在上面合理。
二、梁的合理截面 （一）矩形木梁的合理高宽比 h
R
北宋李诫于1100年著« 营造法式 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b =
1.5
)
b
英(T.Young)于1807年著« 自然哲学与机械技术讲义 » 一书中
需要考虑弯曲剪应力的情况
(1)短梁，载荷靠近 支座，剪力较大.
（2）工字型截面梁， 腹板上切应力较大.
（3）焊接梁的焊缝 ，铆接梁的铆接面或 胶结梁的胶接面.
已知
Q=F
Mmax Fl
max
M max 6Fl 2 WZ bh
F1 3.75KN
y = 0
处切应力最大
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
校核强度： 、校核强度：
max [ ]; max [ ]
M max 设计截面尺寸： Wz [ ]
设计载荷： M max Wz [ ]; [ P] f (M max ) 4、需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。
性轴处。
M Q





带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上
述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 的腹、翼相交处。 M Q


* Qmax S z max b Iz

2、正应力和剪应力强度条件：
max
M max Wz
max
Physics relation

Ey
E
Ey


3. 静力学关系
statics relation
S z 0 Z (中性)轴过形心
M
M
z
y
(dA) z
A
Eyz
A

dA
E

A
yzdA
EI yz

EI z
0
(dA) y
A
Ey2
A
2bh F2 10KN 3
F3 I Z b 胶 SZ
*
3.83KN
F F1 , F2 , F3 min 3.75KN
思
考:
§5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面
一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
Bending
Stresses
第五章
弯曲应力
§5–1 引言
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力Q 内力 弯矩M 正应力 剪应力
简化为外伸梁如图：
AC BD
Q
+
Qmax 1.5 5400 – x max 1.5 A 0.12 0.18 qL 0.375MPa 0.9MPa [ ] 2
应力之比
max M max 2 A L 16.7 max Wz 3Q h
4
例 T 字形截面的铸铁梁受力如图， 铸铁的[t]=30MPa，[c]=60 MPa，