第五章 弯曲应力1

Q
+
Qmax 1.5 5400 – x max 1.5 A 0.12 0.18 qL 0.375MPa 0.9MPa [ ] 2
应力之比
max M max 2 A L 16.7 max Wz 3Q h
4
例 T 字形截面的铸铁梁受力如图， 铸铁的[t]=30MPa，[c]=60 MPa，
2bh F2 10KN 3
F3 I Z b 胶 SZ
*
3.83KN
F F1 , F2 , F3 min 3.75KN
思
考:
§5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面
一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
1
2 z
180 30
120 y
M1 y 1 2 Iz 60 60 105 61.7MPa 5.832
Wz I z / y max I z / 0.09 6.48 104 m 3
M1 Mmax
（2）此截面上的最大正应力；
1max
M1 60 104 92.6MPa Wz 6.48
（3）全梁的最大正应力；12来自120180 30
max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
(4)求1—1截面的曲率半径。
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M1 Mmax
§5–3
梁横截面上的剪应力
矩形截面梁
画危面应力分布图，找危险点
A 2 t
MC y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
A3t
MB y1 4 52 27.2MPa 8 Iz 76310
A1 G
A4c
y1
y2
MB y2 4 88 46.2MPa 8 Iz 76310
性轴处。
M Q





带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上
述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 的腹、翼相交处。 M Q


* Qmax S z max b Iz

2、正应力和剪应力强度条件：
max
M max Wz
max
Wz 5 4.57Wz1
max 2.3 m (= Q A ) f
工字形截面与框形截面类似。
选用合理的截面形状
在截面积A相同的条件下，抗弯截面系数W愈大，则梁 的承载能力就愈高材料远离中性轴的截面（如圆环形、 工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面 高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不
需要考虑弯曲剪应力的情况
(1)短梁，载荷靠近 支座，剪力较大.
（2）工字型截面梁， 腹板上切应力较大.
（3）焊接梁的焊缝 ，铆接梁的铆接面或 胶结梁的胶接面.
已知
Q=F
Mmax Fl
max
M max 6Fl 2 WZ bh
F1 3.75KN
y = 0
处切应力最大
其截面形心位于C点，y1=52mm，
y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核 此梁的强度。并说明T字梁怎样放 置更合理？ A1 G y1 解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
MC 2.5kNm 下拉、上压 ( )
y2
A2
M B 4kNm （上拉、下压）
qL 2
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
qL 3600 3 5400N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
求最大应力并校核强度
max
qL 2
M max 6 M max 6 4050 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [ ]
D 3 Wz 3 (1- 0.84 ) 2.75Wz1 32
max 2 m
当
D12
4
2 2a1 时, a1
2 D1
Wz 4
bh 4a 1.67Wz1 6 6
2
3 1
max 1.5 m
2a1
z
a1
当
D12
4
2 2 2a2 0.8 1.6a2 时, a2 1.05D1
max
3F 2bh
2bh F2 10KN 3
( y)
QSZ 胶 bIZ
*
SZ
*
h b yc 25 104 mm3 3
F3
I Z b 胶 SZ
*
3.83KN
F1 3.75KN
铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
相应比值时，要校核剪应力。
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
例 矩形(bh=0.12m0.18m）截
A B 面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪 应力之比,并校核梁的强度。 解：画内力图求危面内力 x
指出:矩形木梁的合理高宽比为
h h 2 时, 强 度 最 大 ; 3 时, 刚 度 最 大 。 b b
其它材料与其它截面形状梁的合理截面
M 强度：正应力： Wz
剪应力：
* QSz bIz
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z
Wz1
D 3
Bending
Stresses
第五章
弯曲应力
§5–1 引言
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力Q 内力 弯矩M 正应力 剪应力
简化为外伸梁如图：
AC BD

dA
E

A
y dA
2

M
M z (dA) y
A
Ey2
A

dA
E

A
y 2dA
EI z

M
EIz
杆的抗弯刚度。
1


M EI z
Ey
My IZ


（四）最大正应力：
My IZ
凹入一侧的受压应力
凸出的一侧受拉应力
max
My max M Iz Wz
Physics relation

Ey
E
Ey


3. 静力学关系
statics relation
S z 0 Z (中性)轴过形心
M
M
z
y
(dA) z
A
Eyz
A

dA
E

A
yzdA
EI yz

EI z
0
(dA) y
A
Ey2
A
开始发生纯弯曲变形， 注意观察纵向线和横向 线的变形情况. 3、变形后，纵向线弯 曲成为弧线，横向线仍 保持为直线，且垂直与 弯曲了的弧线
a A
P
P
B
a
纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变形 称为纯弯曲。如AB段。 x
Q
x M
§5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 纵向对称面 中性层 一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性轴 （一）变形几何规律：
{
Q M
横力弯曲 CD
{
M
Q图
纯弯曲
M图
2、研究方法 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面
例如： P1
剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
1、变形前在矩形梁表面
画相互垂直的纵向线和 横向线，mm和nn为横 截面，间距为dx.
2、在M的作用下，梁
B截面处M值为负,所以中性轴以上受拉,以下受压.
C截面处M值为正,所以中性轴以上受压,以下受拉.
例2 受均布载荷作用的简支梁如
图所示，试求：
（1）1——1截面上1、2两点的 正应力； 180 30 （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
1
2 z
120 y
（4）已知E=200GPa，求1—1
方向：与横截面上剪
力方向相同； 大小：沿截面宽度均 匀分布，沿高度h分布 为抛物线。 最大剪应力为平均剪 应力的1.5倍。
max
3Q 1.5 2A
min max
铅垂剪应力主 要腹板承受
（95~97%）
max
Q Af
max min
; Af —腹板的面积。
截面的曲率半径。
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
M1 Mmax
x 1
60kNm
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
（1）1——1截面上1、2两点的正应力；
bh3 120 1803 Iz 1012 5.832 10 5 m 4 12 12
1.梁的纯弯曲实验 a b M a b c c 横向线(a b、c d）变形 d M