第五章+弯曲应力

弯曲应力 (Stresses in Beams)
推导弯曲正应力计算公式的方法总结
（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数） 横力弯曲
（2）“实验—观察—假设” ：梁弯曲假设
（3） 外力 内力 应力法 变形几何关系 物理关系 静力学关系 应力合成内力
（4）三关系法 （5）数学方法 积分
弯曲应力 (Stresses in Beams)
M
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m
弯曲应力 (Stresses in Beams)
M iz dM z yσdA M（3） A A
弯曲应力 (Stresses in Beams)
将应力表达式代入（1）式，得
FN E dA 0
A
y
E

A
ydA 0
S z ydA 0
A
中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入（2）式，得
M iy zE dA 0
关于中性层的历史
1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；
英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象，
但没有涉及中性轴的位置问题； 法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论：中性轴 过截面形心。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
二、变形几何关系
弯曲应力 (Stresses in Beams)
F
A C a
D
三、纯弯曲和横力弯曲 ·纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而
无剪力的弯曲（横截面上只有正应力
F
B
a
而无切应力的弯曲）。
F
+ +
Fa
F
·横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正 应力又有切应力的弯曲）。 +
弯曲应力 (Stresses in Beams)
§5-2 纯弯曲时的正应力
思考题1：观察建筑用预制板特征，并给出合理解释。
P
＊为什么开孔？
＊孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？
＊为什么加钢筋？ ＊施工中如何安放？
弯曲应力 (Stresses in Beams)
思考题2：解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
为降低重量，可在中性轴附近开孔。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
Chapter5 Stresses in beams
弯曲应力 (Stresses in Beams)
回顾与比较
内力
应力公式及分布规律 均匀分布
F A
T 线形分布 IP
M
FA
y
存在何种应力？ 应力如何分布？
FS
弯曲应力 (Stresses in Beams)
伽利略 Galilei
σ max
M ymax Iz
I 引用记号 W z —抗弯截面系数 ymax M σmax 则公式改写为 W
弯曲应力 (Stresses in Beams)
（1）当中性轴为对称轴时
Iz πd / 64 πd 实心圆截面 W d /2 d /2 32
4
3
d z
y
b
矩形截面
Iz bh3 / 12 bh2 W h/ 2 h/ 2 6 d α D
h
z y D d
3 π D 空心圆截面 W (1 4 ) 32
z y
弯曲应力 (Stresses in Beams)
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 ytmax 直接代入公式 My σ Iz σc max
yc max
deformation geometric relationship physical relationship
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
FS 90kN

M

x 90kN

ql 2 / 8 67.5kN m
x
92.55 106 Pa 92.55MPa

弯曲应力 (Stresses in Beams) q=60kN/m
180 120
4. 全梁最大正应力
30
A
FAY
B
1m
最大弯矩
C
l = 3m
x
K
z y
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
弯曲应力 (Stresses in Beams)
3.推论 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性层
横截面对称轴
·中性轴⊥横截面对称轴 ·梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动
了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
观察变形 提出假设
变形的分布规律
Distribution regularity of stress
应力的分布规律
static relationship
Establish the formula
建立公式
弯曲应力 (Stresses in Beams)
一、实验
1.变形现象 纵向线： 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 横向线： 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度，
弯曲应力 (Stresses in Beams)
三、物理关系
Hooke’s Law 所以 σ E
σ Eε
y
? ?
பைடு நூலகம்
M
O
z
x

y
·应力分布规律：
的距离成正比.
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
待解决问题： 中性轴的位置 中性层的曲率半径
?
弯曲应力 (Stresses in Beams)
四、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量. M
O
Mz
z
内力与外力相平衡可得
y
dA
x σdA
FN
σ dA 0 FN A dFN A
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσdA 0 （2）
dFN σdA
dM y z dA dM z y dA
思考题3：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最 有效利用材料？ 二 其 凡 分 广 梁 为 ， 之 厚 分 李 。 为 大 诫 ” 三 小 《 分 ， 营 ， 各 随 造 以 b 法 式 》 意为矩形梁木的高:宽=3:2 “ 试用弯曲正应力条件证明:从圆木锯出的矩形截面梁,上述尺寸 比例接近最佳比值.
(1564-1642)
此结论是否正确？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力
§5-4 梁的切应力及强度条件
§5-5 提高梁强度的主要措施
弯曲应力 (Stresses in Beams)
§5-1 引言
一、弯曲构件横截面上的应力
内力 剪力FS 弯矩M 切应力 正应力
弯曲应力 (Stresses in Beams)
q=60kN/m x
180
120
5. C 截面曲率半径ρ
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
z y
C 截面弯矩
M C 60kN m
FBY
I Z 5.832 105 m4
M EI 1
FS 90kN


x 90kN
x

EI z 梁的抗弯刚度。
σE
y

得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
My σ Iz
·M为梁横截面上的弯矩；
·y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
·Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
弯曲应力 (Stresses in Beams)
★公式讨论：
（1）应用公式时，一般将 M以绝对值代入. 根据梁变形的情况 直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力 为拉应力( 为正号),凹入边的应力为压应力（ 为负号）. （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
仍与变形后的纵向弧线垂直.
弯曲应力 (Stresses in Beams)
2.提出假设 （a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面
且垂直于变形后的梁轴线；
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设。
（b）单向受力假设：梁是由许多纵向纤维组成的，纵向纤维 不相互挤压，只受单向拉压.
dx
dx
O
d
O
x O y b
z b 图（a）
y
O’
z b’ y
O’
x b’
图（b）
图（c）
bb ( y )d
( y )d d y d bb dx OO O' O' d
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
·应变分布规律：
h d
弯曲应力 (Stresses in Beams)
§5-3 横力弯曲时的正应力
一、横力弯曲 （工程中常见的平面弯曲）
1、横力弯曲特点：
＊梁的横截面上既有正应力又有切应力； ＊切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的
纵截面的挤压应力，平面假设和单向受力假设都不成立. 2、纯弯曲正应力公式推广 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面 高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于 横力弯曲近似成立。
m
M
·只有与切应力有关的切向内力元素
dFS = dA 才能合成剪力； dFN = dA 才能合成弯矩.
m FS m
·只有与正应力有关的法向内力元素
m m
FS
M
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
m
弯曲应力 (Stresses in Beams)
二、分析方法
从纯弯曲入手 推广 横力弯曲
A
y
E

A
yzdA 0
I yz A yzdA 0
自然满足 将应力表达式代入(3)式，得
M iz yE dA M
A
y
E
1

y dA M A
2
E

Iz M
M E Iz
弯曲应力 (Stresses in Beams)
M EI Z
代入
1
——弯曲变形计算的基本公式
max
M max 67.5kN m
I z 5.832 105 m 4
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
FBY
FS 90kN


x 90kN

67.5 103

M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
104.17 106 Pa 104.17 MPa
M
σ t max
z
My t max Iz Myc max Iz
yt max
y
σ c max
σ tmax
弯曲应力 (Stresses in Beams)
◆现代梁分析理论与伽利略结论对比
科学家与时代同步
M
O
z x
伽利略时代钢铁没有出现 但他开辟了理论与实践
计算构件的新途径。
y
是“实验力学”的奠基 人
弯曲应力 (Stresses in Beams)
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为
M ( x) σ W
★公式的应用范围
1.在弹性范围内，小变形； 2.纯弯曲或具有切应力的梁 l / h 5； 3.平面弯曲； 4.直梁或小曲率梁
ρ 5h 。
弯曲应力 (Stresses in Beams)
例：
A
FAY
q=60kN/m
180
120
1.C 截面上K点正应力
30
B
1m
C
l = 3m
x
K
2.C 截面上最大正应力
z 3.全梁上最大正应力 y
4.已知E=200GPa， 求C 截面的曲率半径ρ
FBY
解：1. 求支反力
FS 90kN
FAy 90kN
FBy 90kN

M
2
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m

x 90kN
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12
ql / 8 67.5kN m
x

180 60 103 ( 30) 10 3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 5 61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）
2. C 截面上K点正应力
弯曲应力 (Stresses in Beams) q=60kN/m
180
3. C 截面最大正应力
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
30
C 截面弯矩
z y
Cmax
M C 60kN m
FBY
I Z 5.832 105 m4
M C ymax IZ 60 103 180 10 3 2 5.832 10 5