第五章 弯曲应力

第五章 弯曲应力

内容提要

一、梁的正应力

Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲

纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。

Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：

1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；

2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；

3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴

中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。

中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。

中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为

()()1

z

M x x EI ρ=

(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。

Ⅳ、梁的正应力公式

1. 横截面上任一点的正应力为

z

My

I σ=

(5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为

max

max z

My I σ=

(5-3) max

z

z I W y =

(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。

3. 弯曲正应力公式的适用范围：

1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。

2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公

式为近似公式，当梁的跨高比

5l

h

≥时，误差2%≤。 Ⅴ、梁的正应力强度条件

拉、压强度相等的等截面梁

[]max

max z

M W σσ=

≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。

当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为

[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤

Ⅵ、提高梁正应力强度的措施

1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。

2)对于[][]t c σσ<的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使[]

[]

,max ,max t t c c y y σσσσ==

拉压，使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。

3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。

二、梁的切应力

梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。 Ⅰ、矩形截面梁

假设切应力τ的方向平行于剪力s F ，其大小沿宽度b 均匀分布(图b )，由图a 中带阴影线部分微段的平衡条件，得

x

s z z

F S bI τ= (5-6) 式中，s F 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度，3

12

z bh I =，x z S 为横截面上距中性轴为y

的横向线以下(或以上)的部分面积2h b y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对中性轴z 的静面矩，其值为2224x

z b h S y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，

可见切应力沿横截面高度h 按抛物线规律变化，2y h =±处，0τ=，0y =(中性轴处)时，

max ττ=，其值为

max 3322s s

F F bh A

τ=

=

(5-7) Ⅱ、工字形截面梁

1. 腹板上的切应力

切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b )的平衡条件，得

x

s z z

F S dI τ= (5-8) 式中，s F 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，z I 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，x z S 为距中性轴z 为y 的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩

()211222x z h S b h d y δδδ⎡⎤⎛⎫

=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，在

腹板和翼缘交界处min τ，在中性轴处max τ，其值为

,max max s z z

F S dI τ=

(5-9)

式中，,max z S 为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min τ时，x z S 为下(或上)翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。型钢时,max z z I S 为型钢表中的x x I S 。 腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。 2. 翼缘上的切应力

翼缘上的水平切应力沿其厚度δ均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得

1x

s z F S I τδ= (5-10)

式中，δ为翼缘的厚度，s F 和z I 的意义和(5-8)式相同，x z S 为距翼缘端部为η的部分翼缘面

积()ηδ对中性轴z 的静面矩，22x z h S δηδ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，022h δη⎡⎤

⎛⎫≤≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

，可见1τ沿翼缘宽度按线

性规律变化(图5-2，d)。

3. 切应力流

根据剪力s F 的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设s F 的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。

Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力

对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。 Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁

图5-4a 所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为 max 43s

F A

τ=⋅

(5-11) 式中，2

4

A d π

=

。

图5-4，b 所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为

max 2

s

F A

τ= (5-12) 式中，02A R πδ=。 Ⅴ、切应力强度条件

对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力max F 所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即max τ所在的点为纯剪切应力状态，剪切强