第五章 弯曲应力

第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。

Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。

Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。

中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。

中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。

(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。

Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。

2. 横截面上的最大正应力，为maxmax zMy I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。

3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。

2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。

横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。

Ⅴ、梁的正应力强度条件拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。

当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。

可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。

2)对于[][]t c σσ<的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使[][],max ,max t t c c y y σσσσ==拉压，使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。

3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。

二、梁的切应力梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。

横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。

Ⅰ、矩形截面梁假设切应力τ的方向平行于剪力s F ，其大小沿宽度b 均匀分布(图b )，由图a 中带阴影线部分微段的平衡条件，得xs z zF S bI τ= (5-6) 式中，s F 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度，312z bh I =，x z S 为横截面上距中性轴为y的横向线以下(或以上)的部分面积2h b y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对中性轴z 的静面矩，其值为2224xz b h S y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可见切应力沿横截面高度h 按抛物线规律变化，2y h =±处，0τ=，0y =(中性轴处)时，max ττ=，其值为max 3322s sF F bh Aτ==(5-7) Ⅱ、工字形截面梁1. 腹板上的切应力切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b )的平衡条件，得xs z zF S dI τ= (5-8) 式中，s F 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，z I 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，x z S 为距中性轴z 为y 的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩()211222x z h S b h d y δδδ⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，在腹板和翼缘交界处min τ，在中性轴处max τ，其值为,max max s z zF S dI τ=(5-9)式中，,max z S 为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min τ时，x z S 为下(或上)翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。

型钢时,max z z I S 为型钢表中的x x I S 。

腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。

2. 翼缘上的切应力翼缘上的水平切应力沿其厚度δ均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得1xs z F S I τδ= (5-10)式中，δ为翼缘的厚度，s F 和z I 的意义和(5-8)式相同，x z S 为距翼缘端部为η的部分翼缘面积()ηδ对中性轴z 的静面矩，22x z h S δηδ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，022h δη⎡⎤⎛⎫≤≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可见1τ沿翼缘宽度按线性规律变化(图5-2，d)。

3. 切应力流根据剪力s F 的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设s F 的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。

根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。

Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。

Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁图5-4a 所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为 max 43sF Aτ=⋅(5-11) 式中，24A d π=。

图5-4，b 所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为max 2sF Aτ= (5-12) 式中，02A R πδ=。

Ⅴ、切应力强度条件对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力max F 所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即max τ所在的点为纯剪切应力状态，剪切强[],max ,maxmax s z zF S bI ττ=≤ (5-13)式中，,max z S 为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b 为横截面在中性轴处的宽度，z I 为横截面对中性轴电惯性矩。

梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。

三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心Ⅰ、非对称截面梁平面弯曲的条件梁的横截面没有纵向对称轴时，只要荷载作用在梁的形心主惯性平面xy 内(横向力沿形心主轴)，或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴)，荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a )或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b )。

梁产生平面弯曲。

当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c )。

Ⅱ、开口薄壁截面的弯曲中心A1. 弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A 表示。

当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。

若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。

图5-6a,b 中，弯心A 和形心C 重合；图5-6c 中，弯心A 位于对称轴z 上；图5-6d,e 中，弯心A 位于两狭长矩形中心线的交点处。

3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。

例5-1 一铸铁梁如图a 所示，已知材料拉伸时的强度极限为.150MPa b t σ=，压缩时的强度极限为630MPa σ=。

试求梁的安全因数。

解：梁的弯矩图如图b 所示。

以横截面的下底边为参考轴，形心C 的y 坐标1y 为()()1201604021201016053.3mm 16040210160y ⨯⨯+⨯⨯⨯==⨯+⨯220053.3146.7mm y =-=横截面对形轴z 的惯性矩为()()3322160401016053.32016040212053.3101601212z I ⎡⎤⨯⨯=+-⨯⨯++-⨯⨯⎢⎥⎣⎦6429.01210mm =⨯B 、C 截面上正应力的分布规律如图 c 所示，最大拉应力发生在B 的上边缘或C 截面的下边缘，由于21B c M y M y >，所以最大拉应发生B 截面的上边缘。

由 ,2,max b tB t z tM y I n σσ=≤ 得 664,33215010Pa 29.01210m 3.7810N m 146.710m b t zt B I n M y σ--⨯⨯⨯≤==⨯⋅⨯⨯ 式中，t n 为拉应力达到强度极限时的安全因数。

最大压应力显然发生在C 截面的上边缘， 由 ,2,m a xb cc c z cM y I σση=≤ 得 664,33263010Pa 29.01210m 10.41210N m 146.710m b c zc c I n M y σ--⨯⨯⨯≤==⨯⋅⨯⨯式中，c n 为压应力达到强度极限时的安全因数。

由于n >n ，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为3.7t n n ==例5-2 横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为[σt ]=30MPa ，许用压应力[σc ]=90MPa ，试确定截面尺寸δ值。

解：设形心C 距截面下底边的距离为1y22122681688163y δδδδδδδ⋅+⋅==+于是28221033y δδδ=-=截面对中性轴z 的惯性矩为()()3322224882886816181123123z I δδδδδδδδδδδ⎛⎫⎛⎫=+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 截面的弯矩为max 40kN 1m 40kN m M =⨯=⋅由 ()36m a x,m a x14384010N m 589.3N m33010Pa 181t zM y I δσδδ⨯⋅⨯⋅===≤⨯得 127m m δ=由 ()36m a x,m a x243224010N m 1620.6N m39010Pa 181c oM y I δσδδ⨯⋅⨯⋅===≤⨯得 226m m δ= 由于12δδ>，所以取 27mm δ=。

讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的，即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。

[][]90330c i σσ==，,max 2,max 1221133843c t y y δσδσ===<可知，,max t σ选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定δ即可。