材料力学 第五章 弯曲应力幻灯片
合集下载
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学第五章 弯曲应力
x
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
材料力学第5章弯曲应力
3 R2
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
材料力学弯曲应力课件
材料力学弯曲应力课件曲在工程中的应用。
这是一个厂房，这是一个大梁，这个吊车可以在这个大梁上运动。
对于这样一个问题，我们可以把它简化成一个简支梁，这个吊车的移动呢可以处理成一个移动荷载。
那么对于这个移动荷载而言，它所导致的应力如何计算行车移动时，它的应力如何变化这就是本章的内容之一。
我们再看看这个图片，这是我们拍摄的汽车的下部分，大家注意一些这个部分，这是就是汽车的板簧，它的模型就是这个样子，可以看成好几个钢板的组合，那么，为什么要设计成这个样子呢它有什么优点呢这也是本章要解决的问题。
这是一个运动员，撑杆跳，对吧。
大家常常见到，利用这个杆的助力，人可以跳的更高。
我们可以处理成这样一个模型。
她在跳高的过程中，杆就发生了弯曲。
那么，这个时候，跳杆横截面上的应力和杆曲率半径有什么关系这个杆在什么情况下才满足强度要求大家看看这个场面，对于这个场面，我们截面几何性质那章提到过，都是薄壁杆件，那么薄壁杆件有弯曲正应力和弯曲切应力，专门有一小节来讲解它的弯曲切应力，看看这些切应力有什么特点如何避免薄壁杆件的强度失效这也是本章的问题这个大家都熟悉，著名的比萨斜塔。
对于这个结构，初步计算，我们可以简化成这样一个均质圆筒，那么它有哪些变形效应它的危险截面、危险点在哪儿如何计算其应力这也是本章可以解决的问题。
因此，本章所涉及的问题是比较广的。
基本内容那么本章到底需要同学们掌握哪些内容呢1、熟练张博横截面上弯曲正应力和弯曲切应力的分布规律，并能正确熟练的进行梁的强度分析。
2、熟悉提高梁强度的主要措施。
、正确理解薄壁杆件横截面上弯曲切应力的分布规律，了解弯曲中心的概念。
4、熟悉掌握梁在组合变形中的应力的计算方法。
第一、第四条是很重要的。
这是以后大家经常需要处理的问题。
基本概念平面弯曲首先我们来看弯曲正应力。
在这章具体内容介绍之前呢，我们先介绍一些概念。
关于梁弯曲的基本概念。
梁的平面弯曲。
什么是梁的平面弯曲呢这是一个悬臂梁，截面是矩形截面，那么这个横截面就有一个中心对称轴，整个梁就存在一个对称面，如果我们的所有的外荷载都作用在这个平面之内，比如外荷载是这样的，那么发生变形后，梁的轴线仍然在这个平面内，像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。
《材料力学》教学课件—第5章 弯曲应力
M C 901 601 0.5 60kN m
x 90kN
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832 105 m4
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
K
MC IZ
yK
60 103
(180 2
30)
103
5.832 105
61.73MPa
23
2. C 截面最大正应力
q=60kN/m
Wz
bh2 Wz = 6
1 2 hh2 63
h3 9
M max
[ ]
11.25 103 10 106
1125106 m3
h 3 91125106 0.216m 取 : h 216 mm b 2 h 144 mm
3
40
y2=139 y1=61
例5-3 外伸梁荷载与几何尺寸如图所示，已知材料的许用应力
IZ
• 纯弯曲或细长梁的横力弯曲 • 横截面惯性积 IYZ=0 • 弹性变形阶段
19
梁理论发展进程
Galileo Galilei 1564-1642
近代科学之父
20
梁理论发展进程
Jacob Bernoulli 1654-1705
Galileo Galilei 1564-1642
E. Mariotte 1620-1684
A
1m
FAY
C
l = 3m
Fs 90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
B
x
FBY
x 90kN
x
180
120
30
K
z
y
C 截面弯矩
M C 60kN m
材料力学 第五章 弯曲应力课件
力状态。
sx
sx
s x E x
（三）静力学关系：
Ey
ydA
......(2)
N sdA
x A
Ey
A
dA
E
ESz
A
0
S z 0 z (中性)轴过形心
9
M
M
1
y
(sdA) z
A
Eyz
A
Ey2
dA
E
A
yzdA
EI yz
1
第五章
§5–1 引言
弯曲应力
§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
§5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
2
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力FS 内力 剪应力t
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
120 y
z
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
60kNm
12
M1 Mmax
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面：
tmax
FS Af
; Af —腹板的面积。
t min t max
材料力学课件ppt-5弯曲应力-PPT课件-PPT精品文档
x
x
6 61 .710 Pa61 .7MPa （压应力）
28
目录
§5-2
q=60kN/m
横力弯曲正应力
120
180
2. C 截面最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M 60 kN m C
z y
FBY
C 截面惯性矩
5 4 I 5 . 832 10 m Z
FS 90kN
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力 －－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力 －－横力弯曲
4
目录
5
目录
二、 纯弯曲时梁的正应力
（一）实验观察现象：
6
目录
7
目录
8
目录
（二）提出假设：
平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为 平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。
9
目录
假设： 纵向纤维之间没有正压力
3 4 W D ( 1 ) z 32
目录
20
§5-2
横力弯曲
横力弯曲正应力
21
目录
§5-2
横力弯曲正应力
My 弯曲正应力公式 IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
M
2 ql /867.5kN m
x 90kN
C max
M C y max IZ 180 10 3 2 5 . 832 10 5
材料力学ppt_闫晓鹏第5章_弯曲应力
例4 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的许 用拉应力[t]=40MPa、许用压应力[c] =100MPa，许 用切应力[] =20MPa 。试校核该梁的强度。
A B 2m C 3m 1m D 157. 5 200 C 30
q 10kN / m
F 20kN
200
解：求支座反力； z
0 : M D 12kN m
(上面受拉) (拉)
M D 6 M D 6 12 103 a 120 MPa 2 2 W bh 6 10
2 2 b a 120 48MPa (拉) 5 5
c 0
例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 30 50kN 20kN
a b
c d M c d
a b
⑵横向线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵向线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
纵向对称面 中性层 中性轴
⒉ 基本假设 ⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； ⑵单向受力假设：纵向纤维之间无正应力，即无挤 压。各纵向纤维仅仅承受轴向的拉应力或者压应力。
max
Fs S z I z b0
*
式中b0为工字型腹板的厚度。
Fs S z* 在腹板上距中性轴为y处的切应力： I z b0
*
1 h0 h h0 h0 1 h h0 h0 S z b b0 y y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2 b0 h02 2 (h h0 ) ( y 2 ) 8 2 4 b 2 FS b 2 b h 2 2 0 0 h h y ( ) ( ) 0 I z b0 8 2 4 h0 2 y FS bh 2 h0 腹板 max b b ( ) 0 I z b0 8 8
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
材料力学课件第五章弯曲应力的分析
A
① 将(2)代入(3)
y
E dA 0
A
Sz =
ydA 0
A
M y
z dA 0 -(4)
A
SZ称为静矩,当通过截 面形心时为0
中性轴通过截面形心
② 将(2)代入(4)
A
zE
ydA
0
A zydA 0
当截面具有对称轴时,自然满足. z, y轴是主惯性轴
M
(中性轴)
z x
y σdA
z
y (对称轴)
139mm
(3)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
• 中性轴: 中性层与横截面的交线, 用Z轴表示。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果正号弯矩如图作用在梁的横截面上，该梁下部将伸 长、上部将缩短
中性层曲率半径
d
M
M
•纤维bb变形前的长度：
m’ n’
y bb o 'o ' d dx
a’
a’
o’ b’
m’
o’ b’
n’
•纤维bb变形后的长度：
))
b 'b ' ( y)d
•纤维bb的应变：
( y )d d y - - - - (1)
d
( 与 y 成正比)
2.物理关系：
假设: 各层纤维之间无挤压作用,各条纤维仅受单 向拉压受力, 应此可以使用简单虎克定律。
根据简单虎克定律： E y - - - - (2)
(中轴性尚未确定, y、未知)
z 形后,横截面仍保持平面,
且仍与纵线正交
材料力学课件第五章 弯曲应力
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
材料力学课件 第五章弯曲应力
1 M = ρ EI z
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。 正应力公式
My y σ=E I zρ
公式适用范围： 1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。 2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。 思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
M B = 2.5kNm M C = −4kNm
9kN
A 2.5kN B
8kN/m
C D 88
80 b
20 z 120 20
I z = 763 × 106 mm 4
M B = 2.5kNm
1m
1m
14.5kN
1m
a
M C = −4kNm
3、确定危险点进行强度计算 C截面a点 C截面b点 B截面a点
[q2 ] = 8Wz [σ ] = 8 × 7.22 × 104 × 10 × 10 −6 = 5.78 kN
m
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对 中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
梁满足强度条件 ☻非对称截面梁可能有两个危险截面、三个危险点
例题：图示20号槽钢受弯曲变形时，测出边缘点A、 B两点间长度的改变量为Δl=27×10-3mm，材料的弹 性模量E=200GPa。试确定两横截面上的弯矩M。
A M 50 B M
问题分析 边缘点
σ max M 单向应力 = Wz
Δl = ε max l AB
σ t max ≤ [σ t ] σ c max ≤ [σ c ]
材料力学课件ppt-5弯曲应力
z
h b
Iz
1 bh3, 12
Wz
1 bh2 6
d
z
Iz
d4,
64
Wz
d3,
32
D
Iz
(D4
64
d4) D4(14)
64
d
z
Wz 32D3(14)
20
目录
§5-2
横力弯曲
横力弯曲正应力
21
目录
§5-2 横力弯曲正应力
横力弯曲正应力公式 弯曲正应力公式 My IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
（3）结论
c,max46.1MPa t,max28.8MPa
27
目录
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
FS 90kN
M ql2/867.5kNm
120
4. C 截面曲率半径ρ
A
1m
FAY
C
l = 3m
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
FS 90kN
x
IZ5.83120 5m 4 1M
EI
M
90kN
ql2 /867.5kNm
C
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
横向线 各横向线仍保持为直线，
相对转过了一个角度,
θ
仍与变形后的纵向弧线垂直
(Stresses in Beams)
2.提出假设 ( Assumptions ） （a）平面假设：变形前为平面的横截面
变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
dx
dx
d?
图（a）
OO
zb
O y
x
b
y
图（b）
O'
b' z
y
O'
x
b'
图（c）
b?b?? (? ? y)d?
?
?
(?
?
y)d? ? ?d?
?d?
?
y
?
bb ? dx ? OO ? O' O' ? ? d?
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比 .
(Stresses in Beams) 三、物理关系 (Physical relationship)
(Stresses in Beams)
伽利略 Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
(Stresses in Beams) 观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
(Stresses in Beams) 你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
建立公式
(Stresses in Beams) 1、实验（ Experiment ）
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams)
（1）变形现象（Deformation phenomenon )
纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长
stresses in transverse bending ) §5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses
in beams and strength condition) §5-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
dF N = ? dA 才能合成弯矩.
内力 剪力FS 弯矩M
切应力? 正应力?
所以，在梁的横截面上一般既有正应力 ，
又有切应力.
mM
m FS
m?
ms)
二、分析方法 (Analysis method)
平面弯曲时横截面 ? 纯弯曲梁(横截面上只有M而无F S的情况)
Hooke's Law σ ? Eε M
z
所以
σ
?
E
y
?
?
? 应力分布规律：
O
x
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
的距离成正比.
待解决问题
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径?
(Stresses in Beams) 四、静力关系 (Static relationship ）
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
(Stresses in Beams)
§5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation ， 变
将应力表达式代入（1）式，得
? FN ?
E
A
?ydA
?
0
E
?
?A
yd A
?
0
? Sz ?
ydA ? 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入（2）式，得
? M y ?
zE ydA ? 0
A?
? ? E
?
yzdA ? 0
A
I yz ?
yzdA ? 0
A
中性轴为主惯性轴,自然满足
将应力表达式代入(3)式，得
Chapter5 Stresses in beams
(Stresses in Beams)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5-1 引言 ( Introduction) §5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams ) §5-3 横力弯曲时的正应力(Normal
? M z ?
yE ydA ? M
A?
? E
平面弯曲时横截面
? ?
横力弯曲(横截面上既有F S又有M的情况)
F
F
三、纯弯曲 （Pure bending)
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
B
D
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪 力等于零，而弯矩为常量，所以该段
+
F Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
(Stresses in Beams)
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维 —中性层
中性轴
中性轴 ⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams)
二、变形几何关系 （ Deformation geometric relation ）
(Stresses in Beams)
§5-1 引言 (Introduction)
一、弯曲构件横截面上的应力
(Stresses in flexural members)
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力F S. 只有与切应力有关的切向内力元素
dF S = ? dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素
then propose the hypothesis
形
几
何
关
Distribution regularity
系
of deformation
物
理
关
Distribution regularity
系
of stress
静
力
关
Establish the formula
系
观察变形， 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
M
内力与外力相平衡可得
Mz
z
O dA
x
y
σd A
FN
? ? FN ?
AdFN ?
σdA ? 0
A
（1）
? ? M y ?
d
A
M
y
?
zσdA ? 0 （2）
A
? ? Mz ?
AdMz ?
yσdA ? M（3）
A
My
y
dFN? σdA
dM y ? z ? dA dMz ? y ? dA
(Stresses in Beams)