弯曲应力计算

第7章弯曲应力

7.1 引言

前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。

在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，

F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力

Q

有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。

7.2 弯曲正应力

7.2.1 纯弯曲梁的正应力

由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。

在梁的各横截面上只

有弯矩，而剪力为零的弯

曲，称为纯弯曲。如果在

梁的各横截面上，同时存

在着剪力和弯矩两种内

力，这种弯曲称为横力弯

曲或剪切弯曲。例如在图

7-1所示的简支梁中，BC

段为纯弯曲，AB段和CD

段为横力弯曲。

分析纯弯曲梁横截面

上正应力的方法、步骤与

分析圆轴扭转时横截面上

切应力一样，需要综合考

虑问题的变形方面、物理

方面和静力学方面。图7-1

变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截

面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。

梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：

(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。

(2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。

根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。

考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为

θy ρb'b')d (+=

式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有

θρO'O'OO bb d ===

由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变

ρ

y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)

上式表明，线应变ε 随y 按线性规律变化。

物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由虎

克定律，得

ρ

y E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而σ=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等（图7-5）。

静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径ρ和中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。在整个横截面上，各微面积上的微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足0=∑x F ，0=∑y M ，0=∑z M 三个平衡方程。

由于所讨论的梁横截面上设有轴力，0=N F ，故由0=∑x F ，得

0d ⎰

==A N A σF (c) 将式(b)代人式(c)，得

0d d d ====⎰⎰⎰z A A A S ρE A y ρ

E A ρy E A σ 式中，E/ρ 恒不为零，故必有静矩0d ⎰==A z A y S ，由第5章知道，只有当z 轴通过

截面形心时，静矩S z 才等于零。由此可得结论：中性轴z 通过横截面的形心。这样就完全确定了中性轴在横截面上的位置。

由于所讨论的梁横截面上没有内力偶M y ，因此由0=∑y M ,得

0d ⎰

==A y A z σM (d) 将式(b)代人式(d)，得

0d d ===⎰⎰A yz A I ρ

E A yz ρE A z σ 上式中，由于y 轴为对称轴，故0=yz I ，平衡方程

0=∑z M 自然满足。 纯弯曲时各横截面上的弯矩M 均相等。因此，由0=∑z M ，得

⎰=

A A y σM d (e)

将式(b)代人式(e)，得 z A A I ρ

E A y ρE A ρy yE M ===

⎰⎰d d 2 (f) 由式(f)得 z

EI M ρ=1 （7-1） 式中，ρ1为中性层的曲率，EI z 为抗弯刚度，弯矩相同时，梁的抗弯刚度愈大，梁的曲率越小。最后，将式(7-1)代入式(b)，导出横截面上的弯曲正应力公式为

z

I My σ= （7-2） 式中，M 为横截面上的弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩，y 为横截面上待求应力的y 坐标。应用此公式时，也可将M 、y 均代入绝对值，σ是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。

以上分析中，虽然把梁的横截面画成矩形，但在导出公式的过程中，并没有使用矩形的几何性质。所以，只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内，式(7-1)和式(7-2)就适用。

由式(7-2)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。用y max 表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为