弯曲应力计算
弯曲应力计算 (1)
第7章弯曲应力引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
弯曲正应力纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
弯曲应力
式中：Mn为作用在管道上的扭矩；Wn为管道抗扭截面模量。
作用于Am
式中：V为作用在管道上的剪切力，Q为剪切系数。
管道基本应力可分为环向应力(Sh)，径向应力(Sr)，轴向应力(Sl)和剪切应力(τ)。
环向应力(Sh)的方向垂直于半径指向圆周方向，所以也叫周向应力，它是由管道的内压引起。对于薄壁管，环向应力计算公式为：
Sh =P*D/(2T)
式中：P为管道设计压力；D为管道外径；T为管道壁厚。
径向应力(Sr)的方向沿管道半径方向，垂直于管道表面。内压引起的径向应力在管道内表面为-P，在管道外表面为0。计算公式如下：
Sr =P(Ri2 - Ri2 Ro2/R2)/ (Ro2 - Ri2 )
式中：Ri为管道内壁半径；Ro为管道外壁半径；R为管道轴线到所在点的距离。
轴向应力(Sl)的方向平行于管道轴线，它是由弯矩、压力或作用于管道轴向的力引起。弯矩引起的轴向力在管道截面上沿线性分布，管道最外端受最大轴向拉应力，最内端受最大轴向压应力。弯矩引起的最大轴向力计算公式为：
Sl =Mb*R/I
压力引起的轴向力计算公式为：
Sl =P*D/(4T)
作用于管道轴向的力引起的轴向应力计算公式为：
Sl =FAX/Am
上述式中：Mb为作用于管道上的弯矩；I为管道横截面的惯性矩；FAX为管道轴向力；Am为管壁横截面积。
剪应力是扭矩或作用于管道的剪切力引起。扭矩引起的剪切力计算公式为：
弯曲应力公式
弯曲应力公式
弯曲应力公式是用于计算材料在受到弯曲力作用时所产生的应力的公式。
弯曲应力是指材料在弯曲变形时内部产生的应力。
在工程实践中，了解材料的弯曲应力是设计和评估结构和构件强度的重要基础。
根据弯曲应力公式，弯曲应力可以通过以下公式计算：
σ = (M * c) / I
其中，σ是弯曲应力，M是作用于材料的弯曲力矩，c是截面和材料最远点之间的距离（也称为材料的离心距），而I是截面的惯性矩。
弯曲应力公式反映了弯曲力和材料断面之间的关系。
公式中的离心距和惯性矩可以描述结构材料的几何特性和材料的物理特性。
弯曲应力正比于弯曲力矩并反比于截面的惯性矩。
这意味着对于相同的弯曲力矩，当截面的惯性矩越大时，材料的弯曲应力越小。
弯曲应力的计算对于工程设计和工程结构的安全性至关重要。
通过了解材料的弯曲应力，工程师可以确定材料是否足够强大，以承受特定的弯曲力矩。
此外，在材料设计中，可以通过调整截面形状、尺寸和材料的选择来减小或优化弯曲应力。
总结而言，弯曲应力公式是工程实践中用于计算弯曲应力的重要工具。
它通过考虑弯曲力矩、离心距和截面的惯性矩等因素，为工程师提供了评估结构和构件强度的基础，并为设计和优化工程材料提供了指导。
弯曲应力及强度计算
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
弯曲应力计算
梁的简化
简支梁
一端为活动铰链支座，另 一端为固定铰链支座
外伸梁
一端或两端伸出支 座之外的简支梁
悬臂梁
一端为固定端，另一 端为自由端的梁
弯曲梁的内力
梁在外力作用下，内部将产生内力。为求出梁截面m-n上的内力，假想沿 m-n截面将梁截为两段，去一段为研究对象。在这段梁上作用的外力有F， 支座反力为FAy，截面上的内力应与这些外力相平衡。由静力学平衡方程 F 0 判断截面上作用沿截面的力FQ，截面上还应该有一个力偶矩M，以满足平 衡方程 M 0
弯曲的概念
弯曲变形是指杆的轴线 由直线变成曲线，以弯 曲变形为主的杆件称为 梁。 梁的受力特点是在轴线 平面内受到力偶矩或垂 直于轴线方向的外力的 作用。
弯曲变形
平面弯曲
如果梁上所有的外
力都作用于梁的纵 向对称平面内，则 变形后的轴线将在 纵向对称平面内完 成一条平面曲线。 这种弯曲称为平面 弯曲。
M
得
0
Hale Waihona Puke 0，M F（x - a） - FAyx 0
M FAyx - F（x - a） 0
同一截面上的弯矩M与M'转向是相反 的。
梁内力的正负号规定
从梁的变形角度
剪力：顺时针为正，逆时针为负 弯矩：上凹为正，下凹为负
梁内力的正负号规定
1.弯矩图 为了全面了解梁的各截面上的弯矩变化的情况，以便从中找到危险截面，需画出 表示梁各截面弯矩的弯矩图。事实上，当梁上仅有集中力和集中力偶作用时，某截面上 的弯矩是该截面到集中载荷（力或者力偶）的作用点间距离的一次函数。 作弯矩图的步骤： （1）求出梁的支座反力； （2）求出各集中力（包括外力和约束反力）、集中力偶作用点（称为控制点）处截面 上的弯矩值； （3）取横坐标x平行于梁的轴线，表示梁的截面位置，纵坐标M表示各截面的弯矩，将 各控制点画在坐标平面上，然后连接各点。 作图时按照习惯将正值弯矩画在x轴的上方，负值弯矩在x轴的下方，并在弯矩图上标注 出各控制点的弯矩值。
理论力学10弯曲的应力分析和强度计算
解 绘制弯矩图，得 M B = 10kN ⋅ m M C = 7.5kN ⋅ m
Q = Q(x)
--剪力方程
M = M (x)
--弯矩方程
梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
14
例2
如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
l−a
a
RA =
RB = P
火车轮轴简化为外伸梁
8
弯曲的应力分析和强度计算
二、剪力与弯矩
截面法求内力
∑F y =0 RA − P − Q = 01
∑M c = 0 M + P ( x − a ) − RA x =
01
Q = RA − P1
剪力
M = RA x − P ( x − a ) 弯矩1
9
弯曲的应力分析和强度计算
剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针 转动时为正，反之为负。
横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。
34
弯曲的应力分析和强度计算
} 1 M
=
ρ EI xz
σ =E y ρ
M
σ=y
IZ
--纯弯曲梁横截面正应力计算公式
横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。
σ max M
=
σ max M
=
ymax
WZ
IZIZ WZ =
弯曲截面系数
ymax 35
σa
−
σb
⊕
σc
−
弯曲正应力计算公式
弯曲正应力计算公式：轻松掌握计算方法
弯曲正应力是弯曲时产生的沿截面垂直于中性轴的应力。
它是构
件在受弯曲载荷时所承受的最大应力之一，对于构件的设计和选型非
常重要。
那么，如何计算弯曲正应力呢？以下是详细的计算公式和步骤。
1. 确定计算截面
在弯曲计算中，首先需要确定计算截面。
计算截面是指在弯曲处
所选取的截面，其位置和大小对于弯曲正应力的计算结果直接影响。
2. 计算截面惯性矩
在确定计算截面后，需要计算截面惯性矩。
惯性矩是表征固体物
理特性的物理量，对于计算弯曲正应力有着关键的作用。
3. 计算截面的模量
截面的模量是指材料在受力下的弹性变形和反应的能力。
根据材
料的弹性模量，可以计算出截面的模量。
4. 计算弯曲正应力
弯曲正应力的计算公式为：σ=b*y/I，其中b为截面宽度，y为截面距离中性轴的距离，I为截面的惯性矩。
通过计算得到的弯曲正应力，就是构件在受到弯曲作用下所承受的应力。
总之，掌握了弯曲正应力的计算公式和步骤，可以快速、准确地
计算出构件的弯曲正应力，从而为构件的设计和选型提供重要的依据。
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
弯曲与剪切变形的计算
弯曲与剪切变形的计算弯曲和剪切变形是材料力学中非常重要的概念。
在许多工程领域中，了解和计算弯曲和剪切变形对于设计和分析结构的性能至关重要。
本文将介绍弯曲和剪切变形的计算方法，并探讨它们的应用。
一、弯曲变形的计算弯曲是指材料在受力作用下沿弯曲轴线产生的变形。
弯曲变形的计算可以通过弯曲应变和弯曲应力来实现。
1. 弯曲应变的计算弯曲应变是材料在弯曲变形中的应变量。
假设材料长度为L，弯曲后的曲率半径为R，那么弯曲应变可以通过以下公式计算：ε = ρ / R其中，ε表示弯曲应变，ρ表示材料上某点的位置与原始中心线的偏移量，R表示弯曲后的曲率半径。
2. 弯曲应力的计算弯曲应力是材料在弯曲变形中的应力量。
弯曲应力可以通过以下公式计算：σ = M / S其中，σ表示弯曲应力，M表示弯矩，S表示抵抗弯曲变形的截面形状。
二、剪切变形的计算剪切变形是指材料在受力作用下平面内的切变变形。
剪切变形的计算同样可以通过剪切应变和剪切应力来实现。
1. 剪切应变的计算剪切应变是材料在剪切变形中的应变量。
剪切应变可以通过以下公式计算：γ = δ / h其中，γ表示剪切应变，δ表示平面内相邻点的位移，h表示两点间的距离。
2. 剪切应力的计算剪切应力是材料在剪切变形中的应力量。
剪切应力可以通过以下公式计算：τ = F / A其中，τ表示剪切应力，F表示应力面上的剪切力，A表示应力面的面积。
三、弯曲和剪切变形的应用1. 结构设计通过计算弯曲和剪切变形，可以评估结构在受力下的变形程度，从而进行结构设计的优化。
例如，在桥梁设计中，计算桥梁的弯曲和剪切变形可以确保结构的安全性和稳定性。
2. 材料选择了解材料在弯曲和剪切变形下的性能可以帮助工程师选择适合特定应用的材料。
不同材料的弯曲和剪切性能可能会有所不同，因此需要根据应用需求进行合适的选择。
3. 结构分析通过计算弯曲和剪切变形，可以对结构进行全面的分析。
这有助于理解和预测结构在受力下的行为，为结构的维护和优化提供依据。
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
圆管的弯曲应力计算
圆管的弯曲应力计算是一个涉及到力学和材料科学的问题。
弯曲应力是应力的一种，用于描述圆管表面上的弯曲引起的应力。
在计算弯曲应力时，需要考虑圆管的材料特性、弯曲程度（如弯曲半径、弯曲角度等）、以及弯曲处的截面特性等因素。
首先，我们需要了解圆管在弯曲时的应力分布。
弯曲时，圆管内部的应力分布是不均匀的，最大应力发生在弯曲外侧的局部区域，而内侧的应力较小。
这是因为弯曲时，圆管外侧会受到拉伸应力的作用，而内侧则会受到压缩应力的作用。
这种应力分布会导致圆管发生变形和损坏，因此需要对其进行计算和评估。
接下来，我们需要根据圆管的材料特性选择相应的力学模型。
不同的材料具有不同的力学性能，如弹性模量、屈服应力、抗拉强度等。
这些参数将影响弯曲应力的计算结果。
通常，我们可以使用有限元分析（FEA）方法来计算弯曲应力，这种方法可以模拟圆管的变形和应力分布，并得到精确的结果。
在FEA中，我们需要指定圆管的几何参数和材料属性，并选择适当的单元类型和边界条件。
根据实际情况，我们可以选择不同的弯曲方式，如弯折、弯曲、卷曲等，每种方式都对应着不同的应力分布和变形模式。
同时，我们还需要考虑弯曲半径、弯曲角度、以及弯曲处的截面特性等因素对弯曲应力的影响。
最后，我们可以通过计算得到圆管的弯曲应力值。
一般来说，弯曲应力应小于圆管的屈服应力和抗拉强度，否则圆管会发生变形或损坏。
在实际情况中，我们需要根据圆管的用途和工作环境来选择合适的材料和规格，并进行相应的力学性能测试和评估。
总之，圆管的弯曲应力计算是一个涉及到力学、材料科学和有限元分析的问题。
通过合理的计算和评估，我们可以得到圆管在弯曲时的应力分布和变形情况，从而保证圆管的性能和使用安全。
在实际应用中，我们还需要考虑其他因素，如圆管的加工工艺、使用环境、维护保养等，以确保圆管的使用寿命和可靠性。
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
圆棒四点弯曲应力计算公式
圆棒四点弯曲应力计算公式引言。
在工程领域中，圆棒的四点弯曲应力计算是一个重要的问题。
四点弯曲测试是一种用来评估材料在弯曲载荷下的性能的方法。
通过对圆棒进行四点弯曲测试，可以得到材料在弯曲载荷下的弹性模量、屈服应力和断裂应力等重要参数。
本文将介绍圆棒四点弯曲应力计算的公式及其推导过程。
四点弯曲测试原理。
四点弯曲测试是一种在材料力学实验中常用的测试方法，它通过在材料上施加弯曲载荷来评估材料的弯曲性能。
在四点弯曲测试中，材料样品被放置在两个支撑点之间，然后在两个支撑点之间施加载荷，使材料产生弯曲。
通过在材料上测量弯曲时产生的应变和应力，可以得到材料的弯曲性能参数。
圆棒四点弯曲应力计算公式。
在进行圆棒四点弯曲测试时，需要计算材料在弯曲载荷下的应力。
对于圆棒的四点弯曲应力计算，可以使用以下公式：\[ \sigma = \frac{3F L}{2\pi R^3} \]其中，σ表示圆棒在弯曲载荷下的应力，F表示施加在圆棒上的载荷，L表示圆棒的长度，R表示圆棒的半径。
推导过程。
下面我们来推导一下圆棒四点弯曲应力计算公式的推导过程。
首先，根据弯曲理论，圆棒在弯曲载荷下的应力可以表示为：\[ \sigma = \frac{M}{S} \]其中，M表示在弯曲载荷下产生的弯矩，S表示圆棒在弯曲截面上的抵抗矩。
根据弯曲理论，圆棒在四点弯曲载荷下产生的弯矩可以表示为：\[ M = \frac{3F L}{2} \]其中，F表示施加在圆棒上的载荷，L表示圆棒的长度。
而圆棒在四点弯曲截面上的抵抗矩可以表示为：\[ S = \frac{\pi R^3}{2} \]其中，R表示圆棒的半径。
将上述两个公式代入圆棒在弯曲载荷下的应力公式中，可以得到圆棒四点弯曲应力计算公式：\[ \sigma = \frac{3F L}{2\pi R^3} \]结论。
通过上述推导过程，我们得到了圆棒四点弯曲应力计算公式。
这个公式可以用来计算圆棒在四点弯曲载荷下的应力，是工程领域中非常重要的一个公式。
弯曲应力计算
在下列情况下， 在下列情况下，还要考虑切应力强度条件 （1）梁跨度较小，或支座附近有较大载荷 ）梁跨度较小， （2）T形、工字形等薄壁截面梁 ） 形 （3）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶 ）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、 合面等进行剪切强度计算
24
切应力计算较复杂， 切应力计算较复杂，不同截面形状有不同的公 式 其中较重要的—— 其中较重要的 矩形截面计算公式， 矩形截面计算公式，切应力分布规律
矩形梁截面上的切应力分布
* Sz τ (y) = Q I zb
* S* = A • y* z c
b 右截面
h 1 h = ( − y )b• ( + y ) 2 2 2 b h2 = ( − y2 ) 2 4
h y a y
z a1
A*
bh Iz = 12
3
3Q 4y2 τ (y) = (1− 2 ) 2bh h
翼板
t
H
h
b z y
腹板为矩形截面时
腹板
S = ∑A • y
* z *
* c
A*
B y
2
H h h 1 H h = B( − ) + ( − ) 2 2 2 2 2 2
h b h 1 h B 2 2 +b( − y ) y + ( − y ) = ( H −h ) + ( − y2 ) 2 2 4 2 2 8
τmax
4Q = 3A
τmax
Q =2 A
7
小论文 —— 推导一种截面的切应力公式
z
z
τm ax
沿翼板宽度方向
实心圆截面
空心圆环
8
弯曲切应力的强度条件
应力应变计算公式
应力应变计算公式
应力和应变是材料力学中的重要参数，用于描述材料受力后的变形状态。
以下是常见的应力应变计算公式：
1. 应力计算公式：σ = F/A
其中，σ表示应力，F表示受力大小，A表示受力面积。
2. 应变计算公式：ε = ΔL/L
其中，ε表示应变，ΔL表示长度变化量，L表示原始长度。
3. 餐盘弯曲应力计算公式：σ = (M*y)/I
其中，σ表示应力，M表示弯曲力矩，y表示离中心距离，I表示截面惯性矩。
4. 钢筋拉伸应变计算公式：ε = ΔL/L0
其中，ε表示应变，ΔL表示长度变化量，L0表示原始长度。
5. 拉伸抗力计算公式：F = σ*A
其中，F表示受力大小，σ表示应力，A表示受力面积。
以上是常见的应力应变计算公式，可以根据实际情况选择合适的公式进行计算。
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齿轮弯曲应力计算公式
齿轮弯曲应力计算公式齿轮弯曲应力计算公式弯曲应力概述齿轮在工作时会受到弯曲应力的作用，因此需要对其进行弯曲应力的计算。
弯曲应力是指齿轮在受到外载荷作用时，齿轮齿面上产生的弯曲变形所引起的应力。
弯曲应力计算公式齿轮弯曲应力的计算需要考虑齿轮的几何参数以及受力情况，下面是常用的齿轮弯曲应力计算公式：1.弯曲应力（sigma）的计算公式：sigma = (F * l) / (b * h^2)其中，sigma为弯曲应力，F为外载荷，l为齿轮的长度，b为齿轮的宽度，h为齿轮的模数。
2.弯曲应力（sigma）的修正计算公式：sigma = (F * l) / (b * h^2) * K其中，K为修正系数，由齿轮和齿轮轴的材料性质决定。
3.弯曲应力（sigma）的安全系数计算公式：安全系数 = 弯曲应力极限 / 弯曲应力其中，弯曲应力极限为齿轮材料的弯曲应力极限值。
弯曲应力计算公式举例假设有一台齿轮传动装置，齿轮的模数为2mm，宽度为20mm，长度为100mm。
外载荷为500N，齿轮材料的弯曲应力极限为200MPa。
现在需要计算齿轮的弯曲应力以及安全系数。
1.计算弯曲应力：sigma = (F * l) / (b * h^2)= (500 * 100) / (20 * 2^2)= 125MPa根据计算得到的公式，齿轮的弯曲应力为125MPa。
2.计算安全系数：安全系数 = 弯曲应力极限 / 弯曲应力= 200MPa / 125MPa=通过计算得到的公式，齿轮的安全系数为，表示齿轮的弯曲应力远小于材料的弯曲应力极限，具有较高的安全性。
以上是对齿轮弯曲应力计算公式的列举和举例说明，根据实际情况，可以根据公式进行齿轮的弯曲应力计算，从而评估其结构的合理性和安全性。
当然，还有一些其他的弯曲应力计算公式可以应用于不同的齿轮情况或者特定的应用场景。
这些公式可以根据具体的设计要求和齿轮的几何参数选择使用。
以下是一些常见的齿轮弯曲应力计算公式的补充：1.挤压应力计算公式：当齿轮小于标准公称模数时，可以使用以下公式计算挤压应力：sigma_1 = (F * l * b * h) / (m * p * d * b _s)其中，sigma_1为挤压应力，m为模数，p为压力角，d为齿轮的齿顶直径，b_s为齿宽。
如何计算物体的弯曲应力和应变？
如何计算物体的弯曲应力和应变？
要计算物体的弯曲应力和应变，首先需要了解一些基本概念和公式。
以下是一些可能有用的信息：
1. 弯曲应力：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生弯曲。
这种弯曲会导致物体内部产生应力，称为弯曲应力。
弯曲应力的大小取决于外力的大小、物体的截面尺寸和材料性质等因素。
计算弯曲应力的公式为：σ= F/A，其中σ为弯曲应力，F为作用在物体上的外力，A为物体的截面面积。
2. 应变：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生变形。
这种变形会导致物体内部产生应变。
应变的大小取决于外力的大小、物体的尺寸和材料性质等因素。
计算应变的公式为：ε= ΔL/L，其中ε为应变，ΔL为物体的变形量，L为物体原来的长度。
在实际应用中，为了更准确地计算弯曲应力和应变，需要考虑更多的因素，例如物体的形状、材料性质、温度等。
同时，还需要进行实验测试和有限元分析等方法来验证计算结果的准确性。
弯曲许用应力
弯曲许用应力弯曲许用应力引言在工程设计和制造过程中，弯曲是一种常见的载荷形式。
因此，了解材料的弯曲性能以及如何计算和应用弯曲许用应力非常重要。
第一部分：基础知识1. 弯曲的定义弯曲是指将杆件或板件沿着其长度方向施加一个力矩，使其产生一定程度的弯曲变形。
2. 弯曲应力的定义在杆件或板件受到弯曲载荷时，产生的内部应力称为弯曲应力。
它是由于横向剪切力和纵向拉伸或压缩力引起的。
3. 弯矩和截面转动惯量弯矩是指施加在杆件或板件上的力矩，它会导致杆件或板件发生弯曲变形。
截面转动惯量是描述截面抵抗扭转变形能力大小的物理量。
4. 弹性模量和截面形状系数弹性模量是衡量材料刚度的物理量。
截面形状系数是描述截面几何特征对于其受到载荷时所表现出的抗弯曲能力的影响。
第二部分：计算方法1. 弯曲应力的计算公式弯曲应力的计算公式为σ = M*y/I，其中σ为弯曲应力，M为弯矩，y 为截面离中性轴的距离，I为截面转动惯量。
2. 计算弯矩和截面转动惯量的方法对于简单的几何形状，可以使用经验公式或标准表格来计算截面转动惯量。
对于复杂的形状，则需要进行详细的数值分析。
弯矩可以通过施加载荷并测量变形来确定。
3. 计算截面形状系数的方法截面形状系数可以通过比较材料在不同载荷下产生的变形来确定。
通常情况下，将材料置于三点弯曲试验机中，并测量其变形以及所施加载荷大小，即可计算出该材料在该截面上的形状系数。
第三部分：应用实例1. 强度设计在设计工程结构时，需要根据所受载荷和结构要求来确定合适的截面尺寸和材料。
通过计算出所需承受载荷所产生的弯矩和截面转动惯量，可以计算出所需的截面形状系数和最大弯曲应力。
然后，可以选择合适的材料和截面尺寸来满足这些要求。
2. 弯曲疲劳在一些应用中，结构会受到重复的弯曲载荷。
这种情况下，需要考虑材料的疲劳性能。
通过在实验室中进行弯曲疲劳试验，可以确定材料在特定载荷下的寿命。
然后，可以根据这些数据来确定所需的安全系数，并选择合适的材料和截面尺寸。
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第7章弯曲应力7.1 引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
7.2 弯曲正应力7.2.1 纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
(2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。
根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。
即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。
由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。
所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。
考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。
设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为θy ρb'b')d (+=式中，ρ为中性层的曲率半径。
该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有θρO'O'OO bb d ===由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变ρy θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)上式表明，线应变ε 随y 按线性规律变化。
物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由虎克定律，得ρy E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而σ=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等（图7-5）。
静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径ρ和中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。
在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。
在整个横截面上，各微面积上的微内力构成一个空间平行力系。
由静力学关系可知，应满足0=∑x F ，0=∑y M ，0=∑z M 三个平衡方程。
由于所讨论的梁横截面上设有轴力，0=N F ，故由0=∑x F ，得0d ⎰==A N A σF (c) 将式(b)代人式(c)，得0d d d ====⎰⎰⎰z A A A S ρE A y ρE A ρy E A σ 式中，E/ρ 恒不为零，故必有静矩0d ⎰==A z A y S ，由第5章知道，只有当z 轴通过截面形心时，静矩S z 才等于零。
由此可得结论：中性轴z 通过横截面的形心。
这样就完全确定了中性轴在横截面上的位置。
由于所讨论的梁横截面上没有内力偶M y ，因此由0=∑y M ,得0d ⎰==A y A z σM (d) 将式(b)代人式(d)，得0d d ===⎰⎰A yz A I ρE A yz ρE A z σ 上式中，由于y 轴为对称轴，故0=yz I ，平衡方程0=∑z M 自然满足。
纯弯曲时各横截面上的弯矩M 均相等。
因此，由0=∑z M ，得⎰=A A y σM d (e)将式(b)代人式(e)，得 z A A I ρE A y ρE A ρy yE M ===⎰⎰d d 2 (f) 由式(f)得 zEI M ρ=1 （7-1） 式中，ρ1为中性层的曲率，EI z 为抗弯刚度，弯矩相同时，梁的抗弯刚度愈大，梁的曲率越小。
最后，将式(7-1)代入式(b)，导出横截面上的弯曲正应力公式为zI My σ= （7-2） 式中，M 为横截面上的弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩，y 为横截面上待求应力的y 坐标。
应用此公式时，也可将M 、y 均代入绝对值，σ是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。
以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。
以上分析中，虽然把梁的横截面画成矩形，但在导出公式的过程中，并没有使用矩形的几何性质。
所以，只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内，式(7-1)和式(7-2)就适用。
由式(7-2)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。
用y max 表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为z I My σm ax m ax =上式可改写为 zW M σ=max （7-3） 其中 m axy I W z z = （7-4） 为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为[长度]3。
高度为h 、宽度为b 的矩形截面梁，其抗弯截面系数为621223bh h//bh W z == 直径为D 的圆形截面梁的抗弯截面系数为3226434πD D//πD W z == 工程中常用的各种型钢，其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。
当横截面对中性轴不对称时．其最大拉应力及最大压应力将不相等。
用式(7-3)计算最大拉应力时，可在式(7-4)中取y max 等于最大拉应力点至中性轴的距离；计算最大压应力时，在式(7-4)中应取y max 等于最大压应力点至中性轴的距离。
例7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图7-6(a)所示。
已知：弯矩M = l kN.m ，外径D=50mm ，内径d =25mm 。
试求横截面上a 、b 、c 及d 四点的应力,并绘过a 、b 两点的直径线及过c 、d 两点弦线上各点的应力分布图。
解：（1） 求 I z474434444m 1088.2m )10(64)25π(5064)(I --⨯=⨯-=-π=d D z （2） 求σa 点mm 252==D y a )(MPa 8.86Pa 10251088.101373压应力=⨯⨯⨯⨯==--a z a y I M σ b 点mm 5.122==d y b )(MPa 4.43Pa 105.121088.101373拉应力=⨯⨯⨯⨯==--b z b y I M σ c 点mm 7.21)425450()44(21222122=-=-=d D y c )(MPa 3.75Pa 107.211088.101373压应力=⨯⨯⨯⨯==--c z c y I M σ d 点0=d y 0==d zd y I M σ 给定的弯矩为正值，梁凹向上，故a 及c 点是压应力，而b 点是拉应力。
过a 、b 的直 径线及过c 、d 的弦线上的应力分布图如图7-6(b)、(c)所示。
7.2.2 横力弯曲梁的正应力公式（7-2）是纯弯曲情况下以7-2-1提出的两个假设为基础导出的。
工程上最常见的弯曲问题是横力弯曲。
在此情况下，梁的横截面上不仅有弯矩，而且有剪力。
由于剪力的影响，弯曲变形后，梁的横截面将不再保持为平面，即发生所谓的“翘曲”现象，如图7-7（a ）。
但当剪力为常量时，各横截面的翘曲情况完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差异。
图7-7（b ）表示从变形后的横力弯曲梁上截取的微段，由图可见，截面翘曲后，任一层纵向纤维的弧长A ’B ’，与横截面保持平面时该层纤维的弧长完全相等，即A ’B ’=AB 。
所以，对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲正应力公式(7-2)仍然适用。
当梁上作用有分布载荷，横截面上的剪力连续变化时，各横截面的翘曲情况有所不同。
此外，由于分布载荷的作用，使得平行于中性层的各层纤维之间存在挤压应力。
但理论分析结果表明，对于横力弯曲梁，当跨度与高度之比l ／h 大于5时，纯弯曲正应力计算公式(7-2)仍然是适用的，其结果能够满足工程精度要求。
例7-2 槽形截面梁如图7-8(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。
解 绘M 图，得B 、C 两截面的弯矩kN.m 10-=B M ，kN.m 5.7=C M ,如图7-8(b)所示。
求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z 1Oy ，如图7-8(c)所示，得截面形心C 的纵坐标mm 317mm 400250500350200400250250500350=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=y 因y 为对称轴，故 01=z过形心C 取z 轴，截面对z 轴的惯性矩为23z )250317(500350500350121{I -⨯⨯+⨯⨯= 423mm ]})200317(300250400250121[-⨯⨯+⨯⨯- 46mm 101728⨯=B 截面的最大拉应力为MPa 06.1Pa )10(10172810)317500(101043633max =⨯⨯⨯-⨯⨯==--y I M σz B Bt C 截面的最大拉应力为 MPa 38.1Pa )10(10172810317105.743633max =⨯⨯⨯⨯⨯==--y I M σz C Ct可见，梁的最大拉应力发生在C 截面的下部边缘线上。