压电元件导纳圆的测量

压电元件导纳圆的测量

一、实验目的

1、测量压电元件的导纳，即测量阻抗，可提供该元件与所在电路之间的阻抗匹配数据；

2、通过测量压电元件的或压电换能器的导纳圆可以得到其发射效率；

3、学习利用示波器测量交流阻抗的方法。

二、实验原理

1、压电效应

对某些电介质晶体施加机械应力时，晶体因内部正负电荷中心发生相对位移而产生极化，导致晶体两端面上出现符号相反的束缚电荷，其电荷密度与应力成正比。这种没有电场作用，由机械应力的作用而使电介质晶体产生极化并形成晶体表面电荷的现象称为压电效应。当机械应力由压应力变成拉应力时，电荷符号也改变。

与以上情况相反，将具有压电效应的电介质晶体置于电场中，电场的作用引起电介质内部正负电荷中心产生相对位移，而这一位移又导致介质晶体发生形变，晶体的这种由外加电场产生形变的现象称为逆压电效应。晶体形变的大小与外加电场的强度成正比，当电场反向时，形变也改变符号。 2、压电元件的等效电路

图1所示为压电元件振动时的等效电路。压电元件在静态时若忽略电损耗则可看作一纯电容0C ，当压电元件振动并辐射能量时，还存在一与0C 并联的动态阻抗，它是由于元件振动时的弹性与惯性及振动元件周围介质对振动部分的反作用而产生的。动态阻抗可以用串联的电感1L 、电容1C 及电阻1R 来代表。在元件的机械品质因素较高时，在某共振频率附近1L 、1C 可以认为为基本为常数。1R 的大小和机械损耗及辐射的机械能多少有关。

图1 压电元件的等效电路

下面我们用交流电路的复数符号法来进行研究。

电路的总阻抗Z ＝U/I ，电路的总导纳

()0101

01I I I I I Y y y U U U U

+=

==+=+ （1） 000y j C jb ω== （2）

式中0b 称为静态电纳，ω为U 的角频率。

111111

1

11

I y g jb U R j L j C ωω=

=

=+++

（3）

1g 为动态电导，1b 为动态电纳。由式（3）可得

1

12

21111R g R L C ωω=

⎛⎫+- ⎪

⎝

⎭ （4）

1112

211111L C b R L C ωωωω⎛⎫

-- ⎪

⎝⎭=⎛⎫+- ⎪

⎝

⎭ （5） 将式（2）、（4）、（5）代入式（1）得

1110

2222111111111L C R Y j C R L R L C C ωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-⎢⎥

⎪⎢⎥⎝⎭=+-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

(6) 现在分析一下动态导纳1y 和总导纳随频率变化的情况。由式（4）和（5）二式化简得

1

122

211

121

R g b R R g =

⋅+ 221

111

0g g b R -

+= （7） 将上式配方可得到方程

2

2

2

11111122g b R R ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（8）

如果取横坐标表示电导1g ，纵坐标表示电纳1jb ，当U 的频率改变时，式（8）代表圆心1O 在()112,0R ，半径为112R 的一个圆，如图2所示。即1Y 的相矢终端为一个圆，如图中的ABDE 。由式（8）可知，当1b ＝0时，方程的解只有1g 或

111g R =，而压电元件在共振频率振动时总要有损耗或辐射能量，即10g ≠，所以只有111g R =存在。此时式（4）要求

11

1

0L C ωω-

=

即s ωω==因此图上()11,0R 点的频率即是s ω，称为串联共振频率或机

械共振频率。

图2 导纳圆图

当压电元件品质因素m Q （参看式（12））较高时，1y 相矢终端旋转一周时，圆上各点的频率变化相对共振频率s ω并不大，故可近似认为0y 保持一常数：00s y j C ω≈。

于是将1y 的ABDE 圆沿纵轴上移0s C ω，便得到该电压元件总导纳Y 的相矢终端随频率变化的轨迹圆（图上以O 为圆心的轨迹圆），即所谓的导纳圆。 如果能通过实验测量导纳圆图，即可求得等效电路上各元件的数值。H 点的频率即为机械共振频率。

11

R D = （9）

D 为导纳圆直径，过圆心O 作平行于电纳轴的直线交圆于1F 、2F ，

设其频率为1f 、2f 。由这两点的坐标值1g 、1b 及2g 、2b 可得

1

121

R L ωω=

- （10）

12

121

1

1

1

s C L L ωωω=

=

（11） 0s

AC

C ω≈

，AC 为图上AC 长度对应的1b 值。

还可求得机械品质因素

1

111s

m s Q R C R ωω=

=

=

（12）

三、测量电路

测量线路如图3。E 为函数信号发生器，P 为被测压电元件，R 为无感电阻，取值尽量小一些。用示波器测得U 、U I ，及U 与U 1间的相位差ϕ，即可求得压电元件的总阻抗或总导纳。

总导纳 Y g j b

=+ 总导纳Y 的模 1

U I Y U U R =

= 总电导 12cos cos U g Y UR T πτ

ϕ== （13）

总电纳 12sin sin U b Y UR T

πτ

ϕ==

上式中T 为信号的周期（用数字频率计测得频率后算出），τ为U 1与U 在示波器上的时间差。导纳、电导、电纳的单位均为S 。

图3 测量线路

在压电元件的某一共振频率附近改变信号频率，测得若干组g 、b ，即可得到测量的导纳圆。

由于测量时，电路中加入了采样小电阻R ，于是图1压电元件的等效电路参量可替换为1L 、1C 、()1R R +和)011C R R +，因此式（9）和（10）和0C 将修正为

11R R D +=