土力学课程讲解第4章

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P 解：（1） σ Z = α ⋅ 2 Z
z=2, r=0，1，2，3，4m，α 查表可知，求σz后绘出图 （2）同理，r=0, z=0，1， 2，3，4m，求出σz后绘出图 （3）反算
【例4－3】解答
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二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
1 矩形均布荷载角点下的应力 积分法求矩形荷载面角点下的地 基附加应力。
一、基底压力
1 中心荷载作用下基底压力 2 偏心荷载作用下基底压力
二、基底附加应力
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二、基底附加压力
作用在基础底面的压力与基地处建前土自重应力之差。
p 0 = p − σ ch = p − γ m h
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二、基底附加压力
卸荷应力、变形：卸荷理论涉及岩土介质的本构关系、 卸荷原理、卸荷过程，分析计算方法等，目前在理论 上还很不完善，工程应用不广泛，只在大型工程中由 大的科研机构承担一些探索性的研究。
（3）O点在荷载面边缘外侧 σZ=（αCⅠ﹣αCⅡ＋αCⅢ﹣αCⅣ）po e Ⅳ o h Ⅱ a g d c abcd可看Ⅰ由（ofbg）与Ⅱ （ofah）之差和Ⅲ（oecg） 与Ⅳ（oedh）之差合成
f
b 厦门大学 土木系
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二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
（4）O点在荷载面角点外侧 σZ=（αCⅠ﹣αCⅡ﹣αCⅢ﹢αCⅣ）po e d c 荷载面由Ⅰ（ohce）,Ⅳ （ogaf）两个面积中扣除 Ⅱ（ohbf）和Ⅲ（ogde）
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4.4 地基中的附加应力
在计算竖向荷载σz时，按照式（4-11c） 用 R = r 2 + z 2 代入得到： z3 3 1 3P P ⋅ = ⋅ ⋅ 2 σz = 5 5 2π (r 2 + z 2 ) 2 2π ⎡ 2 ⎤ 2 z ⎛r⎞ ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ 3 1 ⎢⎝ z ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 令： α = 52 2π ( r ) 2 + 1 Z
一、基底压力
双向偏心荷载作用 若荷载对基底两个垂直中 心轴都有偏心，且作用点 落在基底核心范围内，则
pmax⎫ F +G Mx My ± ± ⎬= pmin⎭ l *b Wx Wy
p1 ⎫ F+G Mx My m ± ⎬= p2⎭ l *b W W x y
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4.3 基础底面接触应力
σ
α
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【例4－3】
集中力P=100kN，求 （1）Z=2m的水平面上，水平距离r=0，1，2，3，4m处 各点的附加应力。 （2）r=0竖直线，距地表Z=0，1，2，3，4m处σz值， 并绘出分布图。 （3）取σz=10、5、2、1kpa，反算在地基中z=2m的水 平面上的r的值和在r=0的竖直线上的z值，并绘出四个 σz等值线图
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c σZ=（αCⅠ+αCⅡ）po
二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
（2）O点在荷载面内 σZ=（αCⅠ＋αCⅡ＋αCⅢ＋αCⅣ）po d Ⅳ o Ⅰ a 土力学 Ⅱ b 厦门大学 土木系
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c Ⅲ 若O点在荷载面的中心， 则αCⅠ=αCⅡ=αCⅢ=αCⅣ， σZ=4αCⅠpo
二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
dA A
σ Z = α c ⋅ P0
αc由l/b和z/b查表4-5。 αc——角点应力系数 注意： l/b≥1.0,即b为矩形短边 土力学 厦门大学 土木系
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二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
2 矩形均布荷载任意点下的应力 对于均布矩形荷载下的附加应力计算点不在角点下的 情况，可用角点法求得。 （1）计算点o在荷载面边缘 d Ⅱ o a 土力学 e Ⅰ b αCⅠ和αCⅡ 面积Ⅰ和Ⅱ角点应力系数 厦门大学 土木系
卸载 变形图？ 应力、变形重分布区
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【例4－2】
柱下单独基础底面尺寸为3×2m2，柱传给基础的竖向 力F=1000kn，弯矩M=180kn.m。粘土层 γ=18kN/m3，细 砂层 γsat=18kN/m3，试计算p，pmax，pmin，p0。
F M 室外设计地面 0.9m 1.1m 粘土 2m 细砂 3m 室内设计地面 0.6m
f o
a Ⅳ g
b h 厦门大学 土木系
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【例4－4】
以角点法计算下图所示矩形基础甲的基底中心点垂线 下不同深度处的地基附加应力的分布，并考虑两相邻 基础乙的影响。（相相邻柱距为6m，荷载同基础甲）
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【例4－4】解答
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【例4－4】解答
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一、单层土的自重应力
2 侧向自重应力 σcz沿任意水平面上均匀无限分布，通过地基任意垂直 截面都是荷载对称面，在这个面上不会发生侧向变形 和剪切变形。故侧向应变为0。即εx=εy=0。 1 ∵εx=εy=0 ε x = E [σ x − μ (σ y + σ z )] = 0
1 ε y = E [σ y − μ (σ x + σ z )] = 0
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【例4－2】解答
F=1000kn， A=3×2=6m2， G=γG×A×d d=1/2×(2+2.6)=2.3m G=20×6×2.3-6×1.1×10=210kN P=(F+G)/A=201.7kpa Pmax=p+6M/bl2=201.7+6×180/(2×32)=261.7kpa Pmin=p-6M/bl2=201.7-6×180/(2×32)=141.7kpa p0= p-σcd=201.7-[18×0.9+(19-10)×1.1]=175.6kpa
4.4 地基中的附加应力
关于布辛纳斯克解的讨论： 当p等于零时，所有应力分量和位移分量均为零； 当R等于零时，所有的应力分量和位移分量均趋向 无穷大，也就是说解答在原点处具有奇异性。因 此，Boussinesq解不适用于计算力的作用点附近邻 域的应力分布和位移分布。 如果x=0，y=0，那么所计算的M点就在z轴线上。
K0 =
μ
1－μ
μ σ x = σ y = 1− μ σ z = K 0σ z
静止侧压力系数。K0<1。 厦门大学 土木系
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二、成层土自重应力
设地面下深度Z范围内各层土的厚度自上而下分别是 h1，h2…hi，…hn，计算出高度为Z的土柱体重的总和。
σ c = ∑ γ i hi
i =1
n
1 不同容重的土求各层土的性质分层计算 2 同一层土若有地下水存在，地下水位面为分层界面 3 地下水位以下，有不透水层，则层面以下的自重应 力应按上覆土层的水土总重计算。 土力学 厦门大学 土木系
[
]
P 则有： σ Z = α ⋅ 2 Z
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4.4 P 1 σ = ∑α = 地基中的附加应力（4-15） ∑α P Z Z
n n z i =1 i i 2 2 i =1 i i
• （2）等代荷载法 当荷载分布不规则或作用 面形状不规则时，可将作 地基中某点M与局部荷载距离比荷载作用面尺寸大很多 用面划分成若干个形状规 的时候，可用集中力P代替局部荷载，直接使用前面的 则的单元面，用各单元面 上的分布荷载近似地作用 计算公式进行计算。 在单元面的形心上的集中 力来代替，如图4-15所 P 示，此时式（4-15）仍然 ⋅ 2 Z = 成立。 Z 这种方法就是 图4-15 等代法计算垂直应力 等代荷载法。
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二、成层土自重应力
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二、成层土自重应力
第 一 层 土
土
第 二 层
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4.3 基础底面接触应力
一、基底压力
1 中心荷载作用下基底压力 2 偏心荷载作用下基底压力
二、基底附加应力
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一、基底压力
基底压力：基础底面传递给地基表面的压力，也称基 底接触压力。 1 中心荷载下的基底压力 中心荷载下的基础，受荷载合力通过基底形心。基底 压力假定为均匀分布。 基底平均压力：
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第4章 土中应力
4.1 4.2 4.3 4.4 概述 土中自重应力 基础底面接触应力 地基中的附加应力
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4.4 地基中的附加应力
一、竖向集中力下地基附加应力 二、矩形面积受竖向均布荷载地基的附 加应力 三、矩形面积受三角形分布的竖向荷载 地基的附加应力 四、条形面积受竖向均布荷载下的地基 附加应力
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第4章 土中应力
4.1 4.2 4.3 4.4 概述 土中自重应力 基础底面接触应力 地基中的附加应力
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4.2 土中自重应力
一、单层土的自重应力
1 竖向自重应力 2 侧向自重应力
二、成层土的自重应力
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一、单层土的自重应力
1 竖向自重应力 假设天然地面是一无限 大水平面。土的天然容 重为γ，则地面下任意深 度z处a－a水平面上的竖 向自重应力，取作用在 该水平面上单位面积土 柱体自重, σcz=γZ 土力学 厦门大学 土木系
第4章 土中应力
第4章 土中应力
4.1 4.2 4.3 4.4 概述 土中自重应力 基础底面接触应力 地基中的附加应力
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4.1 概述
土中应力按起因可分为两种：自重应力和附加应力。 自重应力指土体受到自重作用而产生的应力。可分为 两种：一种是成土年代久的土的自重应力，已经完成 固结，不引起土体变形。另一种是填土，尚未完成固 结，会引起土体变形。 附加应力指土体受外荷载及地下水渗流、地震等作用 下附加产生的应力增量，它是引起土体变形或地基变 形的主要原因，导致土体强度破坏和失稳的重要原因。 土力学 厦门大学 土木系
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三、矩形面积受三角形分布的竖 向荷载地基的附加应力
框架结构柱基受偏心荷载时，基 础底面接触压力呈梯形分布。可 用此法计算地基中的附加应力。 矩形长边l，短边b，荷载沿短边 b方向呈三角形分布（沿长边l的 荷载分布不变），荷载最大值为 po, 取荷载零值边的角点1为坐 标原点。
F +G p= A
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G——基础自重及基础上回填土重的总重G=γGdA d——从设计地面或室内外平均设计地面算起。
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一、基底压力
pmax ⎫ F + G 6e 2 偏心荷载基底压力 (1 ± ) ⎬= 当荷载偏心时，将荷载 pmin ⎭ lb l 分解为中心荷载和力矩 两部分产生应力叠加。 e < l 基底压力呈梯形分布 6 l pmax⎫ F + G M e= 6 基底压力呈三角形分布 = ± ⎬ l pmin ⎭ lb W e> 6 基底发生应力重分布 偏心过大不安全且不经 纯弯部分 轴向压缩部 的应力 分的应力 济，设计应避免大偏心。
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4.3 基础底面接触应力 一、基底压力 图（a）e<l/6
pmax ⎫ F + G 6e (1 ± ) ⎬= pmin ⎭ lb l
图（b）e=l/6
pmax
2( F + G ) = lb
图（c）e>l/6源自p max2( F + G ) = 3bk
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二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
均布矩形荷载下地基中附加应力σZ的分布规律如下 （1）σZ不仅发生荷载面积之下，而且分布在荷载面积 以外相当大范围之下，此即地基附加应力的扩散分布。 （2）在离基础底面不同深度Z处各个水平面上，以基 底中心点下轴线处的σZ为最大，随者距离中轴线愈远 愈小。 （3）在荷载分布范围内任意点沿垂线的σZ值，随深度 愈向下愈小。
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4.4 地基中的附加应力
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M（x,y,z）点处的6个应力分量和3个位移分量的解为：
4-11a 4-11b 4-11c 4-12a 4-12b 4-12c 4-13a 4-13b 4-13c
4.4 地基中的附加应力
上式中R=0时结果均为无限大，说明上式不适用集中力的作用 25 点处。竖向应力和位移公式最为常用。 土木系 土力学 厦门大学
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一、竖向集中力下地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷重在土中引起的附加于原 有应力之上的应力。 计算方法——假定地基土是各向同性的、均质的线性 变形体，且在深度和水平方向上都是无限延伸的，即 地基看成是均质的线性变形半空间。
一、竖向集中力下的地基附加应力
1 布辛奈斯克解 布辛奈斯克解出弹性半空间表面上作用一个竖向集中 力时半空间内任意点处的应力和位移的弹性力学解答。 土力学 厦门大学 土木系