实验数据处理方法第三部分统计学方法

J ：雅可比行列式
Vij (ˆ) (ˆi i )(ˆj j )L (ˆ | )dˆ
此式与上式等价。
3. 在给定的样本下，可认为 L (x | ) 是 的概率分布函数
Vij (ˆ)
(i ˆi )( j ˆj )L ( x | )d L (x | )d
分母为归一化因子。 Q L (x | )dx 1，而 L (x | )d 1
(Maximum Likelyhood Method)
12.3 ML估计式的特性
12.3 ML估计式的特性
1. 参数变换不变性
设 ˆ 是参数的ML估计值， ( ) 是θ的函数。如果用 ( ) 作为
参量来求LF的极大值，则所得θ的估计值亦为 ˆ
L
L
Q
|
ˆ
0
|
ˆ
如果
|
ˆ百度文库
0
，则有
L
L
| ˆ 0 | ˆ( )
n!
n!
n i 1
f (xi | )
广义似然函数， = ( )
优点：n对θ增加了附加的限制 条件：ν必须能够精确确定
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
2. 数据分类情况下的似然函数
对实验数据进行分间隔处理，（如作成直方图）然后用ML方法对分类 后的数据进行处理。
优点：减小了数据量，使得对L 的计算速度加快 缺点：由于将原 L 简化为少量的几个“平均”pdf的乘积，使得
2. 本底事例：相空间本底、粒子误判本底、其它衰变道本底等
fback (m, ) ~
f
ps
(m,
)
mm a x
1
mm in
1
Nb
bi
Pi
(
x)
i 1
fps(m,)：相空间函数
Pi(x)：i阶Legendre多项式
x 1 m mmin mmax mmin
bi：未知参数
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
k ：第k个窄共振峰事例数/总事例数
：Namp个相干共振峰事例数/总事例数
BES分析软件BWFIT程序中使用的p.d.f
（二）构造似然函数
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
设对某物理系统进行了n次测量，x1、x2、…xn
n
ln L ( x | ) ln f ( xi | ) i 1
根据需要可对 L (x | ) 进行变化：
n
ln
i 1
f (xi , ) 0
极大值条件： 2 ln L(x |)
2
0
ˆ
如果有k个位置参数， = {1, 2, …, k} k阶似然方程
ln L(x | )
j
j
n
ln
i1
f (xi , ) 0
估计值： ˆ {ˆ1,ˆ2, ,ˆk}
j 1,2, , k
12.1 最大似然原理
2. 用CERN程序MINUIT求解函数f ln L 的极小值，得
θ的估计式 及ˆ 其误差
例：估计粒子的平均寿命
探测K0粒子的产生和衰变。假定探测器无限大，则K0粒子在
t时刻衰变的p.d.f
f (t | ) 1 et /
0t
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
τ：粒子的平均寿命，为未知参数。K0的飞行时间ti
实验数据处理方法
第三部分：统计学方法
第十二章 最大似然法
(Maximum Likelihood method)
第十二章 最大似然法
(Maximum Likelihood Method)
点估计的方法之一，是参数估计中常用的方法，具有以下的特点：
1. 在一定的条件下，ML估计式满足一致性、无偏性、有效 性等要求；
（1）如果较小
2 BW (m m0 )2 2 4
实验结果包含质量分辨率和探测效率的影响， ~ ，故 必须对理论公式进行修正
BW 2 BW 2(m)R(m, m)dm
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
其中：
(m)：效率函数，因(m)随m的变化较小，故(m)~常数 R(m,m´)：分辨率函数，真值为m时，获得测量值m´的概率
2
V (ˆ) (1 b )2
(
2 ln d
2
)
ˆ
ˆ
如果ˆ 是θ的无偏估计， b(θ）= 0
V (ˆ) 1
(
2 ln
L
2
)
ˆ
（三）大样本的ML估计式的方差
样本容量 n 时，ML估计值服从正态分布N(θ,MVB)
(Maximum Likelyhood Method)
12.4 ML估计式的方差
12.3 ML估计式的方差
对ML估计值的误差的估计依赖于p.d.f的性质和样本的大小，不同
的方法适用于不同的样本；大样本公式，小样本公式。
统计误差：如果p.d.f是纯理论公式，即没有对实验条件进行修正，
则由ML得到的误差为统计误差。
12.1 最大似然原理
12.1 最大似然原理
(一) 似然函数的定义
p.d.f：f(x|) 测量量：x = {x1, x2, …, xn }
n
L(x | ) f (xi | ) i 1
L(x | )d x 1
(二) 最大似然原理
未知参数的最佳估计值ˆ 应满足如下的条件：
i. ii.
对ˆ 位于于给定的的允一许组取测值量范值围，；ˆ使L取极大值：
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
（一）构造概率密度函数
物理系统的特性：某些量的理论概率分布函数 实验的条件：分辨率、探测效率
ML方法中所需的p.d.f
例：不变质量谱分析：e+e-J/K+K-
• 通过测量K+K-的动量，可得到K+K-的不变质量 分布，对该分布进行统计分析，可得到衰变过程 中产生的共振态的信息；
L(x |ˆ) L(x | )
12.1 最大似然原理
(三)估计值 ˆ的求法
似然方程：
L(x | )
n i 1
f (xi , ) 0
极大值条件： 2L(x |) 2
ˆ
0
因为lnL是L的单调上升函数，lnL和L具有相同的极大值点， 所以，LlnL， 求和运算比乘积运算容易处理
似然方程： ln L(x |)
如果θ的有效估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。
0 ln L = A( )[t b( )]
充分必要条件
6. 渐近正态性（Asympototic normality）
在样本容量很大时，θ的ML估计值满足渐近正态分布，其平均值
为θ的真值θ0，方差为最小方差限（MVB）。
第十二章 最大似然法
参数估计的精度下降。
设将x的变化范围分成了N个间隔
ni ：第i个间隔内的事例数
N
ni n
i 1
pi ：某事例落入第i个间隔的概率
N个事例分布于N个间隔内，每个间隔内的事例数为n1、n2、…nN 的概率满足多项式分布：
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
L
(n1, n2 K
nN
| ) n!
R(m, m)
1 2
exp[
1 2
(m
m)2
2]
：质量分辨率 因此，窄共振峰的p.d.f为
BW 2 R(m, m)dm
1 Re(w(z))
2
w(z) ez2 erfc(iz)
z m m0 i
2 2 2
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
（1）如果较大，宽共振峰
因为>> ，所以R(m,m´)~ (m-m´)
如果衰变过程中：NBW个窄共振峰、Namp个相干共振峰，则m的pdf
Nbw
f (m | ) m
k 1
1 2 m
Re(W
(z)) / CBW
N amp
BW1
e BW ik1
k 1
k
k2
2
Camp
N BW
(1 k ) fback Cback k 1
其中：CBW、Camp、Cback为归一化常数，保证 f (m | )dm 1
• 描述不变质量m的分布的p.d.f应包含对该分布有 贡献的物理过程
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
1. 信号事例： J X
KK
在不变质量为m0处出现共振态X的弹性散射振幅可用BreitWigner公式描述：
BW
m m0 i 2
：X的宽度，m0：X的静质量，m：K+K-的不变质量
极大值条件：二次矩阵U (ˆ)是负定的(Negative definite)
U ij
(ˆ)
2
ln L(x | i j
)
|
ˆ
第十二章 最大似然法
(Maximum Likelyhood Method)
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
1) 构造概率密度函数； 2) 构造似然函数； 3) 求似然函数的极大值。
如果在衰变过程中存在着多个宽共振，则可能存在仙湖干涉
的现象，设有Namp个相干的共振峰，则描述这些共振峰的
p.d.f为
N amp
2
~ BW1
e BW k1
k 1
k
k 2
BWk
k m m0k i
2
k-1：相位差
k-1：第k个相干的共振峰事例数/第一个相干的共振峰的
事例数
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
n i 1
1 ni
P ni i
Pi Pi ( ) xi f ( x | )dx
xi ：间隔的宽度
取对数并只保留与θ有关的项 N lnL (n1, n2 K nN | ) ni Pi ( ) i 1 分间隔的似然函数（Binned Likelihood Function）
(1) N很大，xi 很小， L ( x | ) : L (n1, n2 K nN | )
(2) 如果在某一间隔内的变化不是很大，则用 L (n1, n2 K nN | )
得到的θ的精度是可接受的
12.2 用ML方法进行参数估计的步骤
（三）求似然函数的极大值
1. 求解似然方程：
ln L
i
=
i
n
ln f ( x j | ) 0,
i 1, 2K k
一般情况下无解析解，只能用数值解法。
1. 广义似然函数（Generalized Likelihood Function）
总事例数n也是随机变量，服从平均值为υ的泊松分布：
Q 在实验条件一定的条件下，事例的产生率为常数，
在时间t内获得n个事例的概率为泊松分布。
观测到n个事例，且测量量为x1、x2、…xn的联合概率为
L (n, x | ) ne L ( x | ) ne
12.3 ML估计式的方差
（二）充分ML估计式的方差
如果ˆ 是参数θ的充分估计式（从而也是有效估计式）。则 ˆ
的方差由MVB给出：
V (ˆ) (1 b )2
E
(
2 ln d
2
)
b(θ）:偏差
由有效性条件 ln L A( )[t b( )]
E(
2 ln L
2
)
A( )(1
b )
2 ln L
否则：误差 统计误差＋实验误差 （一）方差估计的一般方法（适合于任何容量的样本）
n
LF : L ( x | ) f ( xi | ), {1,2 K k}
i
通过求解似然方程
1
ln
L
i
0 ，得θi的估计式
ˆi i{x1, x2 K xn}
是随机变量 x1, x2 K xn 的函数
的真值： {1,2 K n}
n
故当样本容量 n 时，ML估计式总是无偏的。
12.3 ML估计式的特性
4. 充分性（sufficiency）
如果θ的充分估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。
L (x | ) G(t | )H(x)
充分必要条件
L = 0 G(t | ) = 0
即θ只依赖于t
5. 有效性（Efficiency）
ti
L
c
LE pc
L：飞行距离，p：动量，E：能量，c：光速
对于n个观测事例：
L (t | ) n 1 eti
i 1
ln L
=
n
( ln
i =1
ti
)
n i =1
( 1
ti
2
)
0
Q
ˆ
1 n
n i 1
ti
t
ln L
n
2 | ˆ ) ˆ2 0
当 ˆ 时，LF取极大值。
第十二章 最大似然法
2. 当样本容量n时，ML估计式满足正态分布方差容易 计算；
3. 用ML方法可较容易地得到参数的估计式；
本章内容：
1. 最大似然原理； 2. 用ML方法求解参数估计问题的步骤； 3. ML估计式的特性； 4. 如何计算ML估计值的方差； 5. 利用似然函数进行区间估计
第十二章 最大似然法
(Maximum Likelyhood Method)
12.3 ML估计式的方差
1. ˆi 和 ˆj 的协方差
Vij (ˆ) (ˆi i )(ˆj j )L (x | )dx1x2 K xn
如果p.d.f和 ˆi 的表达式已知，则无需任何数据就可求出 估计式的方差。
2. 由 L (x | ) 可导出 ˆ 的概率分布
L (ˆ | )dˆ : J L (x | )dx
ˆ( ) (ˆ)
2. 一致性（consistency）
在一般条件下，ML估计值满足一致性条件，即
ˆn ，当 n 时。 3. 无偏性（unbiassedness）
在某些特殊情况下，ML估计式是无偏的，即E(ˆ)
在一般条件下，ML估计式不满足无偏性：E(ˆ) ,但其偏差 : o( 1 )