高中数学人教版 选修2-3(理科) 第一章 计数原理1.3二项式定理(包括1.3.1二项式定理,1.
《数学人教A版高中选修2-3第一章 计数原理--1.3 二项式定理--1.3.1 二项式定理》
《二项式定理》现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力。
二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心。
【知识与能力目标】◆教材分析◆教学目标进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。
【过程与方法目标】能解决二项展开式有关的简单问题。
【情感态度价值观目标】教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
【教学重点】二项式定理及通项公式的掌握及运用。
【教学难点】二项式定理及通项公式的掌握及运用。
预习任务预习自测（一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nba）（；2.(1)nba）（+的二项展开式中共有项；(2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：=+1rT，它是展开式的第项. 2．预习自测1.二项式91()xx-的展开式的第3项是( )A．－84x3 B．84x3 C．－36x5 D．36x5解：D2．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程解：D3．在62()x x的二项展开式中，常数项等于________． 解：－160 （二）课堂设计 1．知识回顾 (1)；(2)(3)2．问题探究问题探究一 探究归纳，形成二项式定理 ●活动一 回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？ 思考：ab 3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C 04a 4+C 14a 3b+C 24a 2b 2+C 34ab 3+C 44b 4●活动二 大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？ 归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C 0n a n+C 1n a n-1b+…+C rn a n-r b r…+C nn b n(n ∈N *)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C rn （r=0、1、2、…、n ）叫做二项式系数.②式子中的C rn a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C rn a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用 数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了. 问题探究二 利用二项式定理能解决问题？ 1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×15＝21.（2）在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：D.(2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C (2x 2)5－r (－1x)r ＝5r C 25－r(－1)r x 10－3 r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝35C 22(－1)3x ＝－40x.∴x 的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x6－r2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r ，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5＋y)4的展开式中x 3y 2的系数为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x5－r(－2)r，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40＋y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4rC)4－r y r，令r ＝2得y 2的系数24C )2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式 1.二项式定理：2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有项；(2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：.【重难点突破】常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4．随堂检测1.261()x x+的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：20.由261()x x+的展开式的通项为T r ＋1＝6r C (x 2)6－r·1()r x＝6r C x12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为36C ＝20.2.(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：2.(a ＋x )4的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝4r C a4－r x r，令r ＝3，得含x 3的系数为34C a ，故34C a ＝8，解得a ＝2.3.若二项式2)n x的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．15【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 3212()(2)n rr n rr r rr nn T C C x x --+=-=-，当r ＝4时，32n r -＝0，又n ∈N *，所以n ＝12.4．(1＋x ＋x 2)61()x x-的展开式中的常数项为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：－5.解析：61()x x-的展开式的通项为T r ＋1＝6rC (－1)r x6－2r，当r ＝3时，T 4＝－36C ＝－20，当r ＝4时，T 5＝46C x －2＝15x －2，因此常数项为－20＋15＝－5.（三）课后作业 基础型 自主突破1.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：10 解析T r +1=5r C x 5-r y r(r =0,1,2,3,4,5),由题意知523r r -=⎧⎨=⎩,∴含x 2y 3的系数为3510C =.2.()6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160 ()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.3.在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于_________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-20 展开式通项r r r rr r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为2036-=-C .4.设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：2- 2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=,故15102C a a =-⇒=-. 5.5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1 5()a x +展开式中第k 项为555kk k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a .6.81()2x x+的展开式中2x 的系数为____.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：7 根据已知条件可得81()2x x +展开式的通项公式为88218811()()22r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381()72C =.能力型 师生共研 7．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B 8．(2x 3－212x )10的展开式中的常数项是( ) A ．210 B.1052 C.14D ．－105 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B9．(x y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A10．二项式)24展开式中的整数项是( )A ．第15项B ．第14项C ．第13项D ．第12项 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A探究型 多维突破11．(1－x )4(13的展开式中x 2的系数是( )A ．－6B ．－3C ．0D ．3 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A 12．(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D 自助餐1．二项式611()22+的展开式的第3项的值是( ) A.332 B.364 C.1564D.516【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 二项式611()22+的展开式的第3项是24261115()().2264C =2.在二项式的展开式中,含的项的系数是（ ）A.5B.10C.-5D.-10【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：选B 3.若的展开式中的系数是,则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：D 4.的展开式中常数项是（ ）A ．-160B ．-20C ．20D ．160 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A 5.在的展开式中,含的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：C6.若二项式21(3)n x x-的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A ．－2739C B ．2739C C ．－949C D ．949C【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选B 各项系数之和为(3－1)n＝2n＝512，故n ＝9，展开式的通项是T r ＋1＝9r C (3x 2)9－r1()r x -＝(－1)r ×39－r ×9r C x 18－3r .令18－3r ＝0，则r ＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×69C ＝2739C .7.(-)8的展开式中的系数为,则的值为_______.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1或-18．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +＝21n C +. 9．在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为34C (－1)3－04C ＝－4－1＝－5.10.求8的展开式中常数项.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：二项展开式的通项841881()2r rr r r r r T C C x --+==，当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为448135().28C =11．(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，求实数a 的值． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：由二项展开式的通项公式可得，T 3＝25C a 3x 2＝10x 2，解得a ＝1. 解：112．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求该展开式中21x的系数. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：56.由26n nC C=可知n＝8，所以81()xx+的展开式的通项公式为8821881()()r r r r rrT C x C xx--+==, 所以8－2r＝－2，解得r＝5.所以21x的系数为58C＝56. 略。
人教A版高中数学选修2-3第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课件
1 ������
+
2 Байду номын сангаас4
· (2
������)2·
1 2 ������
3 + C4 (2 ������)·
1 0 1 2 =������2 · [C4 (2x)4· 10+C4 · (2x)3· 11+C4 1 =������2 (16x4+32x3+24x2+8x+1) 8 1 2 =16x +32x+24+������ + ������2 .
������ 个
红球(a)、 白球(b)的盒子,则(a+b)n 的展开式的每一项可以理解为从 n 个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系数则 是这种结果的方法数,如 an-rbr 是从这 n 个盒子中取出 r 个白球(b)、 r (n-r)个红球(a)的情况,其方法数为������n ,因此有 0 n 1 n-1 r n-r r n n (a+b)n=������n a +������n a b+…+������n a b +…+������n b (n∈N*).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
二项式定理的正用与逆用
1 4 的展开式; ������
【例 1】 (1)求 2 ������ +
(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开. (2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的 3 3 3 第 4 项的二项式系数为C7 =35,而其第 4 项的系数为C7 · 2 =280.
高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》课件
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理课件2新人教A选修2_3
C41
1 x
C42
1 x
2
C43
1 x
3
C44
1 x
4
1 4 6 4 1 x x2 x3 x4
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
（2）解法一：(2
x
1 x
x x2 x3
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考：
①展开式中的第3项的系数为多少？
②展开式中的第3项的二项式系数为多少？
③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x2的系数吗？
解：①展开式中的第3项的系数为240
②展开式中的第3项的二项式的系数为 C62 15
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
探究4
(a b)n (?a b)(ab) (a b)
n个
项
an an1b ankbk bn
系数 Cn0
Cn1 Cnk
Cnn
(a
b)n
k 2 所以展开式中x3的系数是22 C72 84
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn(n N * ) (1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk a b nk k
x 1.解 : T4 C63 163 (3x)3
540x3
所以展开式中第4项的系数为 540
高中数学第一章计数原理13131二项式定理同步课件新人教A版选修2
2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与 二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
[变式训练] (1)x＋ax5展开式中 x3 的系数为 10，则 a 的值等于( )
17·山东卷)已知(1＋3x)n 的展开式中含有 x2 项
(2)因为第 3r 项的二项式系数为 C31r0－1， 第 r＋2 项的二项式系数为 C1r＋0 1， 所以 C310r－1＝Cr1＋0 1，故 3r－1＝r＋1 或 3r－1＋r＋1＝ 10， 解得 r＝1 或 r＝2.5(不合题意，舍去)，所以 r＝1.
1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记 Cknan－kbk 是展开式的第(k＋1)项，不要误 认为是第 k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其为特定值．
解得 n＝4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中 Tr＋1＝Crnx4－r(－ 2)r.
由 4－r＝2，得 r＝2. 故(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为 T3＝C24x2(－ 2)2＝ 12x2. 答案：12x2
[类题尝试] 已知二项式x－ 2x10. (1)求展开式中含 x4 项的系数； (2)如果第 3r 项和第 r＋2 项的二项式系数相等，求 r 的值． 解：(1)设第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ck10(－2)kx10－32k. 令 10－32k＝4，解得 k＝4， 故展开式中含 x4 项的系数为 C410(－2)4＝3 360.
类型1 求二项展开式中的特定项或其系数(自主研析)
[典例❶]
已知在
12x2－
1 x
n
的展开式中，第9项为常
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
高中数学选修2-3优质课件2：第一章 计数原理
③因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先
让甲、乙以外的4个人站队，有 A44种；第二步再将甲、乙排在4人 形成的 5 个空档(含两端)中，有 A52 种，故共有站法为 A44 A52 = 480(种). 也可用“间接法”，6 个人全排列有 A66 种站法，由②知甲、 乙相邻有 A55 A22 种站法，所以不相邻的站法有 A66 A55 A22 ＝ 480(种)．
⑤首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端，有 A22种,再让其他4人在中间 位置全排列,有 A44种,根据分步乘法计数原理,共有 A44 A22 48 (种)站 法． (3)把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售 票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．
①有几种不同的分配方法？
②要求男女各1人，因此先把男同志安排上车,共有 A44 种不同方法， 同理,女同志也有 A44 种方法,由分步乘法计数原理,车上男女各1人 的不同分配方法为 A44 A44 576 (种)．
③男女分别分组，4个男的平分成两组共有C42= 3(种),4个女的分
成两组也有
C42
=
3
2 (种)不同分法，这样分组方法就有3×3＝9(种)，
A.504种 B.960种 C.1008种 D.1108种
解:甲、乙相邻的所有方案有 A22 A66 = 1440(种)； 其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有A22 A55 = 240(种)， 其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22 A44 = 48(种)，故符合题设要求
高中数学第1章计数原理1.31.3.1二项式定理课件新人教A版选修2_3
思考 2：二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknan－kbk，而(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknbn－kak.
1．(x＋1)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于( )
A．9
B．10
C．11
1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
[解]
(1)法一：
x－21 x4＝C04(
x)4－C14(
x)3·21 x＋C24(
x)2·2
1
x
2－C34 x·21 x3＋C4421 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
法二：
x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
40 10 [∵T3＝C25(2x)2＝C2522x2＝40x2， ∴第 3 项的系数为 40，第 3 项的二项式系数为 C25＝10.]
合作 探究 释疑 难
二项式定理的正用和逆用
【例 1】
(1)求
x－21 x4的展开式；
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋ Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
二项式定理的双向功能 1．正用：将二项式(a＋b)n 展开，得到一个多项式，即二项式定 理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展 开． 2．逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n 的形式，即二项式定理 从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉 公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理教案新人教A版选修2-3(2021年整理)
1．3.1 二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．错误!错误!我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1）两个计数原理的内容是什么?（2)排列的定义与排列数公式是什么？(3）组合的定义与组合数公式是什么？活动设计:学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：（板书)（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．（2)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．A错误!＝n（n－1）（n－2)…(n－m＋1)＝错误!.(3）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m，n＝错误!＝错误!.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题:如何利用两个计数原理得到（a＋b）1,(a＋b)2，(a＋b）3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：（1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考,允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝（a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将（a＋b）2与（a＋b）3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的,并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．错误!(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)（a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4,a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1:(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？（2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗?（3）你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。
高中数学选修2-3精品课件1：第一章 计数原理
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·同步课件
教学目标
1.理解两个原理，并会应用解题； 2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用； 3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题.
知识梳理
1.排列的概念及排列数公式； 2.组合的概念及组合数公式； 3.二项式定理及二项式系数的性质；
(2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇 数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；
(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； (，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
题型二 排列与组合 例 2 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 分析： (1)确定一个空盒→将四个球放入 3 个盒内→选 2 个球放入一 个盒内． (2)与(1)的含义相同． (3)4 个球放入 2 个盒子，可以平均放也可以不平均放．
b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n＝2n－1.
人教版高中数学选修2-3 第一章计数原理1-3-1二项式定理
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
解析： (1)二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cr18x18－r－31 xr＝(－1)r13rCr18x18－32r. 令 18－32r＝15，解得 r＝2. ∴含 x15 的项的系数为(－1)2132C218＝17. (2)(1＋2x)5 的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr， 令 r＝2，得 x2 的系数为 22·C25＝40.
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
【错因】 上面解答将“二项展开式中的第三项的二项 式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．
【正确】 (x－ 6)n 的展开式的第三项为 T3＝Cn2xn－2(－ 6)2，所以 Cn2(－ 6)2＝36，即 n2－n－12＝0，可得 n＝4，设 (x－ 6)4 的展开式中 x2 项为第 r＋1 项，则 Tr＋1＝Cr4x4－r(－ 6)r， 由 4－r＝2 得 r＝2，即(x－ 6)4 的展开式中 x2 项为 C24x2(－ 6)2 ＝36x2.所以 x2 项的系数为 36.
x看成
a，－21
看成 x
b，利
用二项式定理展开，也可以先将
x－2
1
4
x
化简后再展开．
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
方法一： x－21 x4＝C04( x)4－C14( x)3·21 x ＋C24( x)2·21 x2－C34 x·21 x3＋C4421 x4＝x2－2x＋32－21x＋
工具
人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
[问题2] 上述两个等式的右侧有何特点？ [提示] 展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n. [问题3] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的 吗？
高中数学人教版 选修2-3(理科) 第一章 计数原理1.3二项式定理(包括1.3.1二项式定理,1.
高中数学人教版选修2-3（理科）第一章计数原理1.3二项式定理（包括1.3.1二项式定理，1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A .B .C . 或D . 或2. （2分） (2017高二下·曲周期中) 在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是（）A . ﹣5B . 6C . ﹣10D . 103. （2分）已知（1﹣2x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10 ，则a1+2a2+3a3+…+10a10=（）A . ﹣20B . ﹣15C . 15D . 204. （2分）若（ax+1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是（）B . 2C . 3D . 45. （2分）(2017·榆林模拟) 若等式x4+4x3+3x2+2x+1=（x+1）4+a（x+1）3+b（x+1）2+c（x+1）+d恒成立，则（a，b，c，d）等于（）A . （1，2，3，﹣1）B . （2，3，4，﹣1）C . （0，﹣1，2，﹣2）D . （0，﹣3，4，﹣1）6. （2分）在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则 n= （）A . 6B . 7C . 8D . 97. （2分）若，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）(2019·台州模拟) 已知，则（）B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）（+）10展开式中的常数项为180，则a=________10. （1分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 的展开式中，x3的系数是________．（用数字填写答案）11. （1分） (2017高二下·红桥期末) 已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，那么a1+a2+…+a7=________．三、解答题 (共3题；共35分)12. （10分） (2019高二下·太原月考) 已知的展开式前三项中的系数成等差数列．（1）求的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有的有理项．13. （15分） (2019高二下·日照月考) 设 .（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值14. （10分） (2019高二下·海安月考) 函数角度看，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是 .（1）证明：（2）试利用1的结论来证明：当为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当为奇数时的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共35分)12-1、12-2、13-1、13-2、13-3、14-1、答案：略14-2、答案：略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学人教版选修2-3（理科）第一章计数原理1.3二项式定理（包括1.3.1二项式定理，1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）(2018·肇庆模拟) 已知的展开式中的系数为，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2017·沈阳模拟) 若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2++an（x﹣1）n ，且a0+a1++an=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）
A . 16
B . 32
C . 64
D . 1024
3. （2分） (2017高三上·连城开学考) 二项式（2x4﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）
A . 7
B . 12
C . 14
D . 5
4. （2分）（x﹣1）（ +x）6的展开式中的一次项系数是（）
A . 5
B . 14
C . 20
D . 35
5. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 若（1﹣2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016（x∈R），则 + +…+ 的值为（）
A . 2
B . 0
C . ﹣1
D . ﹣2
6. （2分）(2017·宁波模拟) （1+2x）6展开式中含x2项的系数为（）
A . 15
B . 30
C . 60
D . 120
7. （2分）(2018·杭州模拟) 二项式的展开式中含项的系数是（）
A . 80
B . 48
C . -40
D . -80
8. （2分）展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（）
A . 5377
B . ﹣5377
C . 5375
D . ﹣5375
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分）已知函数y=cosx的图象与直线x= ，x= 以及x轴所围成的图形的面积为m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10 ，则a8=________（用数字作答）．
10. （1分）已知在二项式（x2+ ）5的展开式中，含x4的项的二项式系数是________．
11. （1分） (2018高三上·寿光期末) 展开式中的系数为________（用数字作答）．
三、解答题 (共3题；共25分)
12. （5分） (2019高二下·蓝田期末) 已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为 .
（I）求的值；
（II）求的展开式中的常数项.
13. （10分） (2018高二上·铜仁期中) 已知展开式的二项式系数之和为64
（1）求；
（2）若展开式中常数项为，求的值；
14. （10分） (2019高二下·潍坊期中) 已知（x+ ）n的展开式中前三项的系数成等差数列。
（1）求展开式的二项式系数的和；
（2）求展开式中含x2的项。
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共25分)
12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、。