上海中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF．

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；

（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．

试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，

在△EOD和△FOB中

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，

理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，

∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

2．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AF=BF+EF．

【答案】详见解析.

【解析】

【分析】

由四边形ABCD 为正方形，可得出∠BAD 为90°，AB=AD ，进而得到∠BAG 与∠EAD 互余，又DE 垂直于AG ，得到∠EAD 与∠ADE 互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF ，利用AAS 可得出△ABF ≌△DAE ；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE ，由AF-AE=EF ，等量代换可得证.

【详解】

∵ABCD 是正方形，

∴AD=AB ，∠BAD=90°

∵DE ⊥AG ，

∴∠DEG=∠AED=90°

∴∠ADE+∠DAE=90°

又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，

∴∠ADE=∠BAF ．

∵BF ∥DE ，

∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．

在△ABF 与△DAE 中，

AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．

∴BF=AE ．

∵AF=AE+EF ，

∴AF=BF+EF ．

点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

3．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．

①求证：四边形BFDE 是菱形；

②直接写出∠EBF 的度数；

(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连

接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；

(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.

【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．

【解析】

【分析】

（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．

②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．

（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．

（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．

【详解】

（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，

∴∠EDO ＝∠FBO ，

在△DOE 和△BOF 中，

EDO FBO OD OB

EOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩

＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，

∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，

∴四边形EBFD 是平行四边形，

∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，

∴EB ＝ED ，

∴四边形EBFD 是菱形．

②∵BE 平分∠ABD ，

∴∠ABE ＝∠EBD ，

∵EB ＝ED ，

∴∠EBD ＝∠EDB ，

∴∠ABD ＝2∠ADB ，

∵∠ABD +∠ADB ＝90°，

∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，

∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，

∴∠EBF ＝60°．

（2）结论：IH ＝3FH ．

理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．

∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，

∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，

∴∠JDH ＝∠FGH ，

在△DHJ 和△GHF 中，

DHG GHF DH GH

JDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩

＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，

∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，

∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，

∴BE ＝IM ＝BF ，

∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，

∴△MEJ 是等边三角形，

∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°

在△BIF 和△MJI 中，

BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝，

∴△BIF ≌△MJI ，

∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，

∴IH ⊥JF ，

∵∠BFI +∠BIF ＝120°，