抽象函数的单调性和奇偶性汇编
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抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：
一、判断单调性和奇偶性
1. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那
么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是
增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：
任取
x x x x 121200<<⇒->->
因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以
f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以
f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，
从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）
Θy f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，
∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，
∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()
又y f x 00=()
∴-=f x f x ()()00
即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性
1.证明单调性
例4．已知函数f(x)= 1
)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R)
求证： f(x)是R 上的增函数
解:设x 1>x 2
Θ g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0
∴ g(x 1) > g(x 2) >0
∴
g(x 1)+1 > g(x 2
)+1 >0 ∴ 1)(22+x g >1)(21+x g >0 ∴ 1)(22+x g -1
)(21+x g >0 ∴ f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1
)(22+x g ) =1)(22+x g -1
)(21+x g >0 ∴ f(x 1
) >f(x 2)
∴ f(x)是R 上的增函数
例5．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01< 且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=， 现设x >0，则- 而f f x f x ()()()01=⋅-= ∴-=>f x f x ()() 11 ∴<<01f x ()， 设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<- f x f x x x ()[()]2211=-+ =-⋅ ∴>f x f x ()()12， 即f x ()为减函数。 2.证明奇偶性 例6．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。 分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1， 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例7．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。 解：Θf x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数， 由-<-<-<-<⎧⎨⎩121141 2a a 得35< f a f a f ()()()-=-=2402 ，不等式不成立。