1-3分段线性插值解析
插值法——线性分段插值
插值法——线性分段插值 1.插值函数%%分段线性插值function PLI = Piecewise_linear_interpolation(X,f,precision)[m,n] = size(X);a = min(X);b = max(X);X = sort(X);F = subs(f,X);for k = 1:n-1B = Basic_fun(X,k);I = B(1)*F(k)+B(2)*F(k+1);PLI{1,k} = [X(k),X(k+1)];PLI{2,k} = I;t{k} = X(k):(X(k+1)-X(k))/precision:X(k+1);T{k} = subs(I,t{k});Y_real{k} = subs(f,t{k});endfor k = 1:n-1t_((precision+1)*(k-1)+1:(precision+1)*k) = t{k};T_((precision+1)*(k-1)+1:(precision+1)*k) = T{k};Y_real_((precision+1)*(k-1)+1:(precision+1)*k)= Y_real{k};endh = figure;set(h,'color','w');plot(X,F,'r*',t_,T_,'g',t_,Y_real_,'b');xlabel('x shaft');ylabel('y shaft');legend('F：节点对应函数值','T：分段线性插值函数图像','Y_real：真实函数图像');title('分段线性插值');grid onend 2.基函数%%基函数，max(X)>k>0function BF = Basic_fun(X,k)X = sort(X);syms x;BF(1) = (x-X(k+1))/(X(k)-X(k+1));BF(2) = (x-X(k))/(X(k+1)-X(k));end 3.拟合值函数%%线性插值拟合值function LIV = Linear_interpolation_value(X,f,precision,x_value)[m,n] = size(X);a = min(X);b = max(X);X = sort(X);Answer = Piecewise_linear_interpolation(X,f,precision);for i = 1:n-1if x_value >= X(i) && x_value <= X(i+1)s = i;endendLIV{1,1} = '线性插值拟合值';LIV{2,1} = vpa(subs(Answer{2,s},x_value),6);LIV{1,2} = '真实值';LIV{2,2} = vpa(subs(f,x_value),6);LIV{1,3} = '误差';LIV{2,3} = abs(LIV{2,1}-LIV{2,2});end 4.例⼦clear allclcX = -5:1:5;syms x;f = - 0.08858*x^8 + 3.694*x^7 - 64.7*x^6 + 617.8*x^5 - 3490.0*x^4 + 11820.0*x^3 - 23150.0*x^2 + 23580.0*x - 9319.0; precision = 200;%%分段线性插值disp('分段线性插值');Piecewise_linear_interpolation(X,f,precision) 结果分段线性插值S =2×10 cell 数组列 1 ⾄ 4{1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym }列 5 ⾄ 8{1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×2 double} {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym } {1×1 sym }列 9 ⾄ 10{1×2 double} {1×2 double}{1×1 sym } {1×1 sym }>> S{2,:}ans =(227077586881*x)/50000 + 37695704689/2500ans =(3983468847*x)/2000 + 60987657739/12500ans =(7723057429*x)/10000 + 30518164433/25000ans =(2518396259*x)/10000 + 4494858583/25000ans =(3136314129*x)/50000 - 9319ans =(465835271*x)/50000 - 9319ans =(422501*x)/10000 - 1113617/25000ans =4111433/25000 - (622509*x)/10000ans =- (271*x)/80 - 151661/12500ans =2072089/2500 - (10681481*x)/50000 图像如下。
分段线性插值
分段线性插值分段线性插值是一种在机器学习、数学、信号处理等领域中广泛应用的方法。
分段线性插值的主要目的是为漏洞、持续时间等数据展示提供更好的视觉效果，同时也可以使数据更容易进行处理。
在分段线性插值中，每一段数据都可以看作是一条直线段。
通过在相邻数据点之间插入一条直线来实现插值。
每个数据点或任意数段可以称为一个插值区间，插值区间内部的数据点都采用一条直线进行插值，直线的斜率由插值区间上下数据点构成。
例如：在一个区间（x1,y1）和（x2,y2）之间进行插值，其中x1<x<x2。
那么，我们可以使用线性公式y = mx + b来估计数据点的y值。
方程中m是插值区间的斜率，通过公式m = (y2-y1)/(x2-x1)计算。
而b是在插值区间x1和x2之间的截距，通过公式b = y1 - m x1计算。
最后，我们就可以通过已知的数据点，估计同一段中任意点的y值。
下面我们通过一个实例来进一步解释分段线性插值的应用。
比如我们有一组工作时间数据如下:|年份| 工作时间 ||----|----|| 2010 | 6.5 || 2011 | 7.0 || 2013 | 7.5 || 2015 | 8.0 |目前，我们需要在2012年估计工作时间。
首先，我们需要找到分段线性插值的区间。
2012年的数据点在2011年和2013年之间。
因此，我们可以使用2011年和2013年之间的数据点进行插值。
然后，通过计算斜率来确定m和b的值。
斜率可以通过公式m = (y2-y1)/(x2-x1)来计算。
2011年和2013年的工作时间分别是7.0和7.5，年份分别是2011和2013。
因此，斜率为：（7.5-7.0）/（2013年-2011年）= 0.25/2 = 0.125插值区间的y截距b可以通过公式b = y1 - m x1来计算。
这使得我们可以计算出截距：接下来，我们就可以使用斜率和截距来计算2012年的工作时间，这将是我们所需的数据点的估计值：y = mx + b= 0.125 * 2012 + 258.375= 259.875。
数值分析分段插值
华长生制作
9
L(2k )( x)
yk 1
(x ( xk 1
xk )( x xk 1 ) xk )( xk 1 xk 1 )
yk
(x ( xk
xk 1 )( x xk 1 ) xk 1 )( xk xk 1 )
yk 1
(x ( xk 1
xk 1 )( x xk ) xk 1 )( xk 1 xk
3 fk t(t 1)(t 2) 3!
华长生制作
0 t 1 k 0,1, ,n 2
17
(7)
N2(xk th)
fk fk t
2 fk t(t 1) 2
Rn(x0 th)
f (3)( )
3!
h3t(t 1)(t 2)
3 fk t(t 1)(t 2) 3!
分段二次Newton
i0
1
2
3
4
5
xi 0.30 0.40 0.55 0.65 0.80 1.05 yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
求f (x)在x 0.36, 0.42, 0.75, 0.98,1.1处的近似值(用分段线性)
解: 分段线性Lagrange插值的公式为
f
(
6
)
(
x
xk
1
)(x
xk
)(
x
xk
1
)
, x [xk 1 , xk 1 ], 且与x有关
|R2 ( x)|
1 max | 6 axb
f
(x) | max xk1 xxk1
| (x
xk1)(x
xk )(x
计算方法 1.3 分段线性插值
x x x x i 1 i ˆ S ( x ) y y , x x x 1 i i 1 i i 1 x x x x i i 1 i 1 i 于是， S1 ( x ) 是在 [ a , b ] 上是连续函数。
x [xj , xj ] 1 x [xj, xj 1] 其他
2）在插值节点 x 0 上，插值基为：
2 ( x x ) l ( x ) x [ x ,x ] 0 0 0 1 B ( x ) 0 0 其他 3）在插值节点 x n 上，插值基为：
2 ( x x ) l ( x ) n n B ( x ) n 0
1
左，右连接起来！
x
j1
xj
x
j1
2 2 H ( x ) 1 2 l ( x ) l ( x ) y 1 2 l ( x ) l ( x ) y 3 j 1 j j j j 1 j 1 2 2 ( x x ) l ( x ) y ( x x ) l ( x ) y j j j j 1j 1 j 1
k axb
提示：类似于前面的误差估计。 几点说明：
1）只要节点间距充分小，插值法总能获得所要求的精度。 2）局部性。如果修改某个数据，则插值曲线仅在某个局部范围内受影响。
插值节点 x 上，取值为 0 .即 k,k j 1 lj (x k ) 0 k j k j
2 ）在每个小区间 [x 上，插值基 lj (x )都是线性函数 . i, x i 1]
基于以上两方面，我们观察
1
右 左
x
j1
分段线性插值
三次样条插值
插值函数S(x)： （1）S(x)在字区间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次数不高 于3的多项式； （2） Si(x)=yi； （3） S(x)在整个区间[a,b]上有连续的二阶导数。
hk xk 1 xk
yk 1 yk hk S ( x) yk 1 [ (2mk 1 mk )](x xk 1 ) hk 6
[fnodes,minnq,rnw,rnq,ifail]=e01sef(x,y,z) [cz(i,j),ifail]=e01sff(x,y,z,rnw,fnodes,cx(I),cy(j))
数据拟合
已知平面上n个点，寻求函数f(x)在某种准则下与数据点 最为接近，即曲线拟合得好。
‘nearest’-----最近邻点插值；
‘linear’-------线性插值；-----缺省 ‘spline’-------三次样条插值； ‘cubic’--------三次插值。
散乱数据插iddata(x,y,z,cx,cy,’method’)
返回在网格（cx,cy）处的函数值，注意此处cx行向 量，cy列向量。 （2）插值函数e01sef和e01sff 基于Shephard插值法，两个函数必须同时使用。
mk S ( xk ) mk 1 mk mk 1 2 hk ( x xk 1 ) ( x xk 1 )3 k 2 6hk 1 hk 1 hk y y y yk 1 6 k ( k 1 k k ) n+1个未知量，n-1个方程组 hk 1 hk hk hk 1
二维插值
通过全部已知节点f(xi,yi)=zij(i=0,1,2, …m;j=1,1,2, …n)， 构造一二元函数z=f(x,y)，然后再利用f(x,y)插值，即 z*= f(x*,y *)；分为网格节点插值和散乱节点插值两种。
分段线性插值法
《数值分析》实验报告实验序号：实验五 实验名称: 分段线性插值法1、 实验目的：随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge 现象）。
为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。
2、 实验内容：求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (x )，用分段线性插值的方法来求解近似函数ϕ(x )并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数值n y y y ,...,,10，求一个插值函数)(x ϕ，满足以下条件：（1）),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ; （2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上是线性函数。
对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=x x x f 。
在区间[]11-，上画出f (x )和分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。
1. 分段线性插值的算法思想：分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ，然后再作它们的线性组合。
分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。
插值基函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(111111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l 设在节点a ≤x0<x1<…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L （x ）满足：（1） L(x)∈C[a,b]（2） L(x[i]=y[i])（3） L(x)在每个小区间（x[i],x[i+1]）上是线性插值函数￠（x ）叫做区间[a,b]上对数据（x[j],y[j]）(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
计算方法分段线性_三次样条插值
计算方法分段线性_三次样条插值分段线性和三次样条插值是两种常用的插值方法，在数值分析和插值问题中广泛使用。
1.分段线性插值分段线性插值是一种简单直观的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用线性函数进行插值。
假设给定的插值节点有n+1 个，节点为 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并且满足 x0 <x1 < ... < xn。
则对于任意 xx 使得 x 在 [xi, xi+1] 之间，可以通过线性插值得到其函数值 yy，即：yy = yi + (xx - xi) * (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)分段线性插值方法简单易懂，适用于一些较简单的插值问题。
但是由于插值函数在节点之间是线性的，可能不能准确地反映出数据的特征，因此不适用于一些需要高精度的插值问题。
三次样条插值是一种更复杂、更精确的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用三次多项式进行插值。
三次样条插值方法的基本思想是找到一组三次多项式，满足在每个子区间内插值点的函数值和一阶导数值相等，并且两个相邻多项式在节点处的二阶导数值也相等。
具体的求解步骤如下：(1) 假设有 n+1 个插值节点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造 n 个三次多项式，即每个多项式在 [xi, xi+1] 之间插值。
(2) 对每个子区间内的多项式进行插值，设第 i 个子区间的多项式为 Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3、将插值节点的函数值和一阶导数值代入多项式中，可以得到 n 个线性方程，利用这 n 个线性方程可以求解出 n 个子区间的系数。
(3)由于n个子区间的多项式必须在节点处一阶导数值相等，因此再设立n-1个方程，利用这些方程可以求解出n-1个子区间的二阶导数值。
(4)将求解得到的系数和二阶导数值代入每个子区间的多项式中，得到完整的三次样条插值函数。
分段线性插值
问题的背景在代数插值中,为了提高插值多项是对函数的逼近程度常常增加节点的个数，即提高多项式的次数，但这样做往往不能达到预想的效果。
例如：函数如果在区间[-5，5]上取11个等距节点:x k=-5+k (k=0,1,2,...,10),由lagrange插值公式可得到f(x)的10次L10(x)。
如图所示：L(x)仅在10区间的中部能较好的逼近函数f(x),位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差。
可以证明，当节点无限加密时，L(x)也只n能在很小的范围内收敛，这一现象称为Runge现象。
它表明通过增加节点来提高逼近程度是不适宜的，因而不采用高次多项式插值。
1. 分段线性插值问题的提出问题给定区间[a,b], 将其分割成a=x0 <x1<…<x n =b,已知函数y= f(x)在这些插值结点的函数值为y k =f(x k)(k=0,1,…,n)求一个分段函数I h(x),使其满足：(1) I h(x k )=y k，(k=0,1,…,n) ;(2) 在每个区间[x k ,x k+1 ]上,I h (x)是个一次函数。
易知,I h(x)是个折线函数, 在每个区间[x k ,x k+1 ]上,(k=0,1,…,n)于是, I h (x)在[a,b]上是连续的，但其一阶导数是不连续的。
一、分段线性函数的基函数我们从整体上来构造分段线性函数的基函数。
每个插值结点上所对应的插值基函数l i(x)应当满足：(1)l i(x)是分段线性函数；对于i=0，其它点上，l0(x)=0;对于i=1,2,…,n-1，其它点上，l i(x)=0;对于i=n，其它点上，ln(x)=0.于是，此表达式与前面的表达式是相同的,这是因为在区间[xk ,xk+1]上,只有lk (x),lk+1(x)是非零的，其它基函数均为零。
即I h (x)= yklk(x) + yk+1lk+1(x).例已知函数在区间[0,5]上取等距插值节点(如下表)，求区间上分段线性插值函数,并利用它求出f(4.5)近似值。
结构动力学大作业
结构动力学作业姓名：学号：目录1.力插值法 (1)1.1分段常数插值法 (1)1.2分段线性插值法 (4)2.加速度插值法 (7)2.1常加速度法 (7)2.2线加速度法 (9)附录 (12)分段常数插值法源程序 (12)分段线性插值法源程序 (12)常加速度法源程序 (13)线加速度法源程序 (13)1.力插值法力插值法对结构的外荷载进行插值，分为分段常数插值法和分段线性插值法，这两种方法均适用于线性结构的动力反应计算。
1.1分段常数插值法图1-1为一个单自由度无阻尼系统，结构的刚度为k ，质量为m ，位移为y (t )，施加的外力为P (t )。
图1-2为矩形脉冲荷载的示意图，图中t d 表示作用的时间，P 0表示脉冲荷载的大小。
图1-1 单自由度无阻尼系统示意图图1-2 矩形脉冲荷载示意图对于一个满足静止初始条件的无阻尼单自由度体系来说，当施加一个t d 时间的矩形脉冲荷载，此时结构在t d 时间内的位移反应可以用杜哈梅积分得到：0()sin ()2 (1cos )(1cos ) (0)tst st d P y t t d m ty t y t t Tωττωπω=-=-=-≤≤⎰(1-1)如果结构本身有初始的位移和速度，那么叠加上结构自由振动的部分，结构的位移反应为：002()cos sin (1cos) (0)st d yty t y t t y t t Tπωωω=++-≤≤ (1-2)图1-3分段常数插值法微段示意图对于施加于结构任意大小的力，将其划分为Δt 的微段，每一段的荷载都为一个常数(每段相当于一个矩形的脉冲荷载)，如图1-3所示，则将每一段的位移和速度写成增量的形式为：1cos t sin t (1cos t)i ii i yP y y kωωωω+=∆+∆+-∆ (1-3)i+1/sin t cos t sin t i ii yP yy kωωωωω=-∆+∆+∆ (1-4)程序流程图如下图1-4分段常数插值法流程图根据流程图可以编写相应的算法，利用MATLAB 进行编程，程序源代码见附录。
分段线性插值
考察函数
f
(x)
1 1 x2
,
5 x5
右图给出了 P5 (x) 和 P10 (x) 的图像,当n 增大时, Pn (x) 在两端 会发出激烈的振荡
,这就是所谓龙格现
象。该现象表明,在
大范围内使用高次
插值,逼近的效果往
往是不理想的
-5
y f(x)
P5(x) 0
P10(x) 5x
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
f
(xk
)
x xk xk1
f (xk1 )
( xk x xk1 )
在几何上就是用折线
y
y=f(x)
替代曲线,如右图所示
若用插值基函数表示,
则在a,b上
0
x0
x1
x2
xn x
n
S(x) li (x) f (xi ) ( a x b)
i0
其中
x
xi
xi1 xi1
,
xi1 x xi
上有误差估计式
f (x) S(x) hi2 max f (x) 8 xi x xi1
其中 hi xi1 xi
例5.19 已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示
x i 30 45 60 90
分段线性插值
1.4分段插值 一.分段线性插值即用折线代替曲线。
设f （x ）连续 优点：计算简单，适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。
二.分段三次（Hermite ）插值不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求导数值也相等。
这就导致下面的Hermite 插值。
并满足： 从而由此条件可得： 类似可得的表达式。
下面是matlab 函数pieceline （x ，y ，u ）实现分段线性插值多项式的计算。
function v=pline(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x); n=length(x); k=ones(size(u)); for j=2:n-1k(x(j)<=u)=j; ends=u-x(k);v=y(k)+s.*delta(k);在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):],[1+i i x x 11111)()(++++--+--=≈i ii ii i i i y x x x x y x x x x x P x f ],[for 1+∈i i x x x 记 易证：当 ||max 1i i x x h -=+0→h )()(1x f x P h →一致给定000,...,;,...,;,...,,n n n x x y y y y ''在 上利用两端点的 y 及 y' 构造3次Hermite 函数。
],[1+i i x x 31111()()()()()i i i i i i i i S x y x y x y x y x ααββ++++=+++''3311'331 1.(), (),(), ()i i i i i i i i S x y S x y S x y S x y ++++===='''1111111111111()1, ()0, ()0, ()0,()0, ()1, ()0, ()0,()0, ()0, ()1, ()0,()0, ()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x x x ααββααββααββαα+++++++++++++==============''''''1110, ()0, () 1.i i i i x x ββ+++==''1111122()12,2()().i i i i i i i i i i ii x x x x x x x x x x x x x x x x αβ+++++--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭程序中，pline是分段线性插值函数；输入参数x——给定的数据点的横坐标所组成的向量Y——给定的数据点的纵坐标所组成的向量U——需要计算的点所组成的向量输出参数v——u所对应的分段线性插值多项式的值，即v（i）=s1（u（i）），其中s1是未来满足分段线性插值多项式Detla是计算差商的最后计算s、v。
实验一拉格朗日插值、分段线性插值...
实验一拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值的比较一、问题提出选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。
二、要求通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。
适当增加n，在作比较，由此作初步分析。
三、问题的解答为统一起见，认为题目中的节点指的是中间节点，插值时还要考虑两端点的函数值，故原题目中有 n+2 个插值节点。
以下给出题目所需的 MATLAB 函数，其中参数 count_knot 表示题目中的n ，count_dot 表示题目中的m 。
function result=campare3inter(count_knot,count_dot)%count_knot 中间节点的个数%count_dot 拟合的函数值的个数clfknot=linspace(-2,2,count_knot+2);x=-2:0.01:2;y=exp(-x.^2);y0=exp(-knot.^2);plot(x,y,knot,y0,'ro');%,hold on;x_new=linspace(-2,2,count_dot);y_real=exp(-x_new.^2);%Lagrange 插值y_lagrange=lagrange(knot,y0,x_new);plot(x_new,y_lagrange,'k');hold on;%分段线性插值y_line=zeros(1,length(x_new))count_1=1;for j=1:count_dotfor i=1:count_knot+1if((x_new(j)>=knot(i))&((x_new(j)<=knot(i+1))))%直线的点斜式方程y_line(count_1)=((y0(i)-y0(i+1))/(knot(i)-knot(i+1)))*(x_new(j)-knot(i))+y0(i);count_1=count_1+1;break;end endendplot(x_new,y_line,'b');hold on;%三次样条插值 y_temp=[0 y0 0];pp=csape(knot,y_temp,'second');[breaks,coefs,npolys,ncoefs,dim]=unmkpp(pp);count=1;for j=1:count_dotfor i=1:count_knot+1if((x_new(j)>=knot(i))&((x_new(j)<=knot(i+1))))y_spline(count)=polyval(coefs(i,:),x_new(j)-knot(i));count=count+1;break;end endendplot(x_new,y_spline,'g');%输出原函数值和三种插值函数值的比较结果result=[y_real' y_lagrange' y_line' y_spline']图形输出（n=5,m=50）10.90.80.70.60.50.40.30.20.1-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2绿色：节点和exp(-x2)。
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
计算方法1.3分段线性插值
目录
• 引言 • 分段线性插值的基本原理 • 分段线性插值的构造方法
目录
• 分段线性插值的应用举例 • 分段线性插值的优缺点及改进方法 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
数值计算中，插值是一种通过已知数 据点来估算未知数据点的方法。
分段线性插值作为一种常用的插值方 法，具有计算简单、易于实现等优点， 在实际问题中得到了广泛应用。
在许多实际问题中，函数关系往往是未知的 ，或者虽然知道函数关系但难以用解析式表 达，此时可以通过插值法来近似地表示函数 关系。
插值的概念和分类
插值的概念
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数 据点。
插值的分类
根据插值函数的形式和构造方法的不同，插值可分为多项式插值、分段插值、 样条插值、三角插值等。其中，分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
每个子区间上的插值函数只与该 区间上的节点有关，因此局部数 据的改变不会影响整个插值函数。
易于实现
分段线性插值的算法相对简单， 易于编程实现，且对计算机资源 要求不高。
分段线性插值的缺点
插值精度有限
由于分段线性插值在每个子区间上都是线性的，因此对于非线性程 度较高的函数，插值精度可能较低。
不光滑
在节点处，分段线性插值函数的一阶导数可能不连续，导致插值曲 线不够光滑。
科学计算与仿真
在科学计算和仿真领域，高维分段线性插值可以作为数值 计算的基本工具之一，用于求解高维偏微分方程和其他复 杂数学问题。
05
分段线性插值的优缺点及 改进方法
分段线性插值的优点
计算简单
分段线性插值相比于其他插值方 法，如多项式插值或样条插值， 计算更为简单，不涉及复杂的数 学运算。
分段三次Hermite插值(可编辑修改word版)
摘要用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域，但是在实际问题中，往往是通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。
如何通过这些离散数据找到函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式，是经常遇到的问题。
对于这类问题我们解决的方法为插值法，而最常用也最简单的插值方法就是多项式插值。
当然用插值法得到的近似表达式必须满足插值条件即假设给定了 n+1 个点的自变量的值以及函数值，近似函数必须要过这n+1 个点。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求 n 次代数曲线y=Pn （x）通过 n+1 个点作为 f（x）的近似。
但是随着插值节点个数的增加，高次插值多项式的近似效果并不理想。
根据大量实验得出，在进行高次多项式插值时，会出现龙格现象。
因此，为了解决这样的一个问题，我们可以通过缩小插值区间的办法达到减小误差的目的。
但是当在每个小区间上用一次函数进行插值时，有很好的收敛性但是光滑度不够，因此本实验将用三次 Hermite 进行插值，做具体的讨论和学习。
关键词：龙格现象分段差值三次Hermite 进行插值i i ‒ 1 i ‒ 1 i iH 2(x ),x ∈ [x 1,x 2] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ H n (x ),x ∈ [x n ‒ 1,x n ]1、实验目的1) 通过对分段三次 Hermite 插值算法程序的编写，提高自己编写程序的能力2) 体会分段三次 Hermite 插值比分段线性插值优越在哪里 3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法流程分段线性插值多项式S (x )在插值区间[a ,b ]上只能保证连续性，而不光滑。
要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite ）插值，这里我们考虑在整个[a ,b ]上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近f (x )。
一般的将带有导数的插值多项式称为 Hermite 插值多项式。
如果已知函数y = f (x )在节点a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b 处的函数的值 和导数值：y i = f (x i ),y ' = f '(x i ),i = 0,1,2,⋯,n则在小区间[x i ‒ 1,x i ]上有四个插值条件：y i ‒ 1 = f (x i ‒ 1),y i = f (x i )y ' = f '(x ),y ' = f '(x ) 故能构造一个三次多项式H i (x )，并称为三次 Hermite 插值多项式。
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1 x 0.8
分段线性插值多项式的构造 所以f(-0.96) (-0.96)=0.04253 (2)插值节点为xi=-1+ ih (i=0,1,…,n),h=(b-a)/2=2/n
由分段线性插值的余项估计： |f(x)- (x) |=|R(x)| ≤Mh2/8
f ( x ) 50 x (1 25 x 2 ) 2
内容小结
内容小结
1. 分段线性插值法；
2. 分段线性插值多项式的构造.
命令格式
1. 插值多项式 命令InterpolatingPolynomial求一个多项式，使给定的数 据是准确的函数值，其调用格式如下： InterpolatingPolynomial[{f1，f2，…}，x] 2，3，…时的函数值为f1，f2，…。 当自变量x为1，
75 x 2 1 | f ( x ) | 50 | | 1 2 3 (1 25 x ) M max f ( x ) R( x ) 0.125h2 10 4
段线性插值多项式的构造
分段二次插值即：选取跟节点 x最近的三个节点 xi-1,xi, xi+1 进行二次插值 ， 即在区间 [xi-1, xi+1] ， 取：
h2 R( x ) f ( x ) ( x ) M, 8 其中h max ( xi 1 xi ), M max f ( x )
0 i n 1 a xb
分段线性插值多项式的构造
证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时
f ( )( x xi )( x xi 1 ) f ( x ) ( x ) R( x ) 2!
x x , x i 1 x x i i 1 i x xi 1 li ( x ) , x i x x i 1 xi xi 1 0 其它
( x) y j l j ( x)
j 0
n
分段线性插值多项式的构造
余项
定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ，则
(2)将[-1，1] n 等份，用分段线性插值近似计算, 问如何选择步长h可使近似计算误差R<10-4? 解：(1)插值节点为xi=-1+ i/5 (i=0,1,…,10),h=1/5
因为 -0.96∈[-1,-0.8],取此区间为线性插值区间，
其上的插值函数为 x 0.8 x 1 ( x ) f ( 1) f ( 0.8) 0.2 0.2 0.1923( x 0.8) 0.2941( x 1)
(2) 在每个小区间上 [ xi , xi 1 ] (i 0,1,2,..., n),
( x)是线性函数
则称(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。
二、分段线性插值多项式的构造
分段表达式
x x i 1 x xi ( x) yi y i 1 ( x i x x i 1 ) x i x i 1 x i 1 x i
i 1 ( x x ) i j f ( x ) L2 ( x ) yk j i 1 ( x k x i ) k i 1 jk
i 1
这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何 上就是用分段抛物线代替 y=f(x) ， 故分段二次 插值又为分段抛物插值。
插值法
第三节 分段线性插值法
1 2 分段线性插值法的一般理论 分段线性插值多项式的构造 分段线性插值余项和误差估计
3
4
简单的分段高次插值多项式
分段线性插值法
一般来说，高次插值多项式是不妥当的，从 数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带 来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此， 实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次 插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？ 采用分段插值是一种办法。
2
分段线性插值多项式的构造
对任意x [a , b], 都有 ( xi x i 1 ) 2 h2 R( x ) max { max f ( x ) } M 0 i n 1 x i x x i 1 8 8
证毕。
分段线性插值多项式的构造
1 例3.1 例 ：设 f ( x ) -1 ≤x ≤1 2 1 25 x (1)将[-1，1] 10 等份，用分段线性插值近似计f(-0.96)。
一、分段线性插值的概念
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连 接起来逼近 f ( x )
设已知节点a x0 x1 xn b 上的函数值为： y0 , y1 yn 构造插值函数 ( x) 使其满足： (1) ( xi ) yi (i 0,1,2,..., n)
Lagrange插值多项式
分段线性插值多项式的构造
一般表达式
计算量与n无关;
n越大，误差越小.
x0x xj-1 xj xj+1 xn x 1 x x n 1 , x0 x x1 , x n 1 x x n l 0 ( x ) x0 x1 l n ( x ) x n x n 1 0 其它 0 其它 x x i 1
xi xi 1 2 ( xi xi 1 ) ( x xi )( x xi 1 ) ( x ) 0 2 4 2 ( xi xi 1 ) max ( x xi )( x xi 1 ) x i x x i 1 4 f ( ) ( xi xi 1 )2 ( xi xi 1 )2 R( x ) max f ( x ) x i x x i 1 2 4 8