函数的单调性与奇偶性

函数的单调性

【知识梳理】

1、单调性的定义：对于给定区间上的函数()y f x =：

如果对于属于这个区间的自变量的____________两个值12,x x ，当12x x <时，都有____________，那么就说，函数()y f x =在这个区间上市增函数。

如果对于属于这个区间的自变量的____________两个值12,x x ，当12x x <时，都有____________，那么就说，函数()y f x =在这个区间上市减函数。

2、符合函数的单调性遵循____________的规律，同时特别注意：讨论函数单调性必须在其____________内进行，因此，要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域。

3、若()f x 在区间D 上是增函数，则____________12,x x D ∈，当12x x <时，()()210f x f x ->____________；若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，()()210f x f x -<____________，则若()f x 在区间D 上是减函数。

4、若()f x 在区间D 上不是增函数，则____________12,x x D ∈，是的当12x x <时，____________；若存在

12,x x D ∈，当12,x x D ∈时，()()210f x f x -≥，则()f x 在区间D 上____________减函数。

5、在研究形如a y x x

=+的函数的单调性时，需分两种情况讨论：（1）当0a ≤时，在____________及____________上市增函数；

（2）当0a >时，在____________上是减函数；由对称性，当0x <时，在(),a -∞-上是____________，在(),0a -上是____________。

6、函数1y x

=的单调区间是____________。 7、“若函数()f x 及函数()g x 在定义域D 上均为增函数”是“函数()()f x g x ⋅在D 上也是增函数”的____________条件。

8、两个单调函数的奇函数的单调性是____________，另外

()

1f x ，()2f x 的单调性也不确定，使用时要注意条件。

【例题解析】

1、有下列命题：（1）函数1y x x

=-是增函数；（2）函数11y x =+在其定义域()(),11,-∞-⋃∞上是减函数；

（3）函数254y x x =+-的单调区间是[)2,-+∞；（4）已知函数()f x 在R 上是增函数。若0a b +>，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-，其中正确的命题的序号是____________。

2、已知函数()f x 是奇函数，且()f x 在定义域（-1，1）内递减，若

()()2110f a f a -+-<，试求实数a 的取值范围。

3、已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且满足

()()()(),21f xy f x f y f =+=，解不等式：()()23f x f x -->。

4、已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围

5、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围

6、f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y

x ) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值． （2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (

x 1) ＜2 ．

7、判断函数2()(0)1ax f x a x =

≠-在区间（-1,1）上的单调性。

8、已知函数()()20,a f x x x a R x

=+≠∈常数。 （1） 讨论函数()f x 奇偶性，并说明理由；

（2） 若函数()f x 在[)2,x ∈+∞上位增函数，求a 的取值范围。

9、已知函数a y x x =+

有如下性质：如果常数0a >，那么，该函数在(0,a ⎤⎦上是减函数，在)

,a ⎡+∞⎣上是增函数。 （1） 如果函数()20b

y x x x

=+>的值域为[)6,+∞，求b 的值； （2） 研究函数()22

0c y x c x =+

>常数钻定义域内的单调性，并说明理由； （3） 对函数a y x x =+和()220a y x x =+>常数a 作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数

()()2211n n F x x x n x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

是正整数在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。

10、已知函数2()1f x x =-+,()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，是否存在实数0p <，使得 ()()()F x pg x f x =+在（-3,0）上单调递增，且在(],3-∞-上单调递减？若存在，求出p 的值，若不存在说明理由。

函数的奇偶性

一）主要知识：

1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数。

设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇

函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数y=()f x 具有奇偶性。

重要结论:奇函数在原点有意义一定有___________________

2.性质：

①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 ，

②y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于 对称,

③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 ，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 ，

④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，

⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和

)]()([2

1)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+= ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]

⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数

若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系

（二）主要方法：

1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；

2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()

f x f x =±-． 4．设()f x ，()

g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶

偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．

5．注意数形结合思想的应用．