函数的单调性与奇偶性

函数的单调性
【知识梳理】
1、单调性的定义：对于给定区间上的函数()y f x =：
如果对于属于这个区间的自变量的____________两个值12,x x ，当12x x <时，都有____________，那么就说，函数()y f x =在这个区间上市增函数。

如果对于属于这个区间的自变量的____________两个值12,x x ，当12x x <时，都有____________，那么就说，函数()y f x =在这个区间上市减函数。

2、符合函数的单调性遵循____________的规律，同时特别注意：讨论函数单调性必须在其____________内进行，因此，要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域。

3、若()f x 在区间D 上是增函数，则____________12,x x D ∈，当12x x <时，()()210f x f x ->____________；若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，()()210f x f x -<____________，则若()f x 在区间D 上是减函数。

4、若()f x 在区间D 上不是增函数，则____________12,x x D ∈，是的当12x x <时，____________；若存在
12,x x D ∈，当12,x x D ∈时，()()210f x f x -≥，则()f x 在区间D 上____________减函数。

5、在研究形如a y x x
=+的函数的单调性时，需分两种情况讨论：（1）当0a ≤时，在____________及____________上市增函数；
（2）当0a >时，在____________上是减函数；由对称性，当0x <时，在(),a -∞-上是____________，在(),0a -上是____________。

6、函数1y x
=的单调区间是____________。

7、“若函数()f x 及函数()g x 在定义域D 上均为增函数”是“函数()()f x g x ⋅在D 上也是增函数”的____________条件。

8、两个单调函数的奇函数的单调性是____________，另外
()
1f x ，()2f x 的单调性也不确定，使用时要注意条件。

【例题解析】
1、有下列命题：（1）函数1y x x
=-是增函数；（2）函数11y x =+在其定义域()(),11,-∞-⋃∞上是减函数；
（3）函数254y x x =+-的单调区间是[)2,-+∞；（4）已知函数()f x 在R 上是增函数。

若0a b +>，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-，其中正确的命题的序号是____________。

2、已知函数()f x 是奇函数，且()f x 在定义域（-1，1）内递减，若
()()2110f a f a -+-<，试求实数a 的取值范围。

3、已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且满足
()()()(),21f xy f x f y f =+=，解不等式：()()23f x f x -->。

4、已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围
5、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围
6、f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y
x ) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值． （2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (
x 1) ＜2 ．
7、判断函数2()(0)1ax f x a x =
≠-在区间（-1,1）上的单调性。

8、已知函数()()20,a f x x x a R x
=+≠∈常数。

（1） 讨论函数()f x 奇偶性，并说明理由；
（2） 若函数()f x 在[)2,x ∈+∞上位增函数，求a 的取值范围。

9、已知函数a y x x =+
有如下性质：如果常数0a >，那么，该函数在(0,a ⎤⎦上是减函数，在)
,a ⎡+∞⎣上是增函数。

（1） 如果函数()20b
y x x x
=+>的值域为[)6,+∞，求b 的值； （2） 研究函数()22
0c y x c x =+
>常数钻定义域内的单调性，并说明理由； （3） 对函数a y x x =+和()220a y x x =+>常数a 作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数
()()2211n n F x x x n x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是正整数在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。

10、已知函数2()1f x x =-+,()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，是否存在实数0p <，使得 ()()()F x pg x f x =+在（-3,0）上单调递增，且在(],3-∞-上单调递减？若存在，求出p 的值，若不存在说明理由。

函数的奇偶性
一）主要知识：
1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数。

设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇
函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数y=()f x 具有奇偶性。

重要结论:奇函数在原点有意义一定有___________________
2.性质：
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 ，
②y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于 对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 ，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 ，
④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
)]()([2
1)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+= ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]
⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
（二）主要方法：
1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；
2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；
3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()
f x f x =±-． 4．设()f x ，()
g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶
偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．
5．注意数形结合思想的应用．
（三）例题分析：
例1．判断下列函数的奇偶性、 ①x x x x f -+-=11)
1()(
②22)1()(22---=
x x x f
③⎩⎨⎧>+-<+=)
0()0()(22x x x x x x x f
④33)(22-+-=
x x x f
⑤2)(2+--=a x x x f
⑥22)(+--=x x x f
例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x ，y ∈R ，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数
变式：定义在R 上的函数y=f(x)，对任意x 1，x 2都有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：
例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x 2+2x-1
①若f(x)为R 上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。

②若f(x)为R 上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

答案：。

变式:若)(x f 是奇函数,且当0>x 时)1()(+=x x x f ,则当0<x 时,)(x f 的解析式为_____________
例4．已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围。

例5．已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足)()2(x f x f -=+,则)8(f 的值=_________________
例6.函数1
1)(2
-+-=x x a x f 为奇函数的充要条件是_______________
例7.已知:函数)(),(x g x f 的定义域都是R ,)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,且149)(3)(22+-=+x x x g x f
(1) 分别求出)(),(x g x f 的解析式
(2) 若[])(3)()(2x g x f x F -=,求)(x F 的值域及单调区间
例8．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．
（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．
解：
例9、设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且21
()()(0,1,1),f x g x x x x -=≠-+求()f x 和()g x 的解析式。

例10、设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对
称，已知[]2,2x ∈-时，2()1,f x x =-求当[]6,2x ∈--时，()f x 的
解析式。

例11、已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，当[].1,10a b a b ∈-+≠且时，有()()0,f a f b a b
+>+ （1）判断()f x 的单调性，并给予证明；
（2）若()1f x =，且2()21f x m mb ≤-+对于所有的
[][]1,1,1,1x b ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

作业：
1. 证明函数)21
131
()(+-=x x x f 是偶函数
2. 判断下列函数的奇偶性: (1)321
321
)(++-=x x x f
(2))1,(,1)(2a x x x f ∈+=
(3)x x x x f +--=34)(2
(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=时
当时当时
当0),1(0,00),1()(x x x x x x x x f
3.已知定义在R 上的偶函数)(x f y =满足
(1))2()(x f x f -= (2)2
)(,10x x f x =≤≤时
11 ①求)5.5(f 的值
②证明)()2(,x f x f R x =+∈时
4设)(x f 为上的奇函数,且当[)+∞∈,0x 时,)1()(3x x x f +=那么当时()0,∞-∈x ,)(x f 为___________
5.下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数
7.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.
8.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，若326)(3)(32+-=+x x x g x f ，求)(x f ，)(x g 的解析式。