五年级下数学故事

五年级下册
第一单元中国热极
―――－认识正负数
第一部分：数学史
第一单元认识正负数
负数的起源
同学们在这一单元中我们学
习了正负数，你知道负数的起源
吗？看一看下面的介绍吧！
人们在生活中经常会遇到各
种相反意义的量。

比如,在记帐时
有余有亏;在计算粮仓存米时,有
时要记进粮食,有时要记出粮食。

为了方便，人们就考虑了相反意
义的数来表示。

于是人们引入了
正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。

可见正负数是生产实践中产生的。

据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。

人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。

这些小竹棍叫做“算筹”算筹也可以用骨头和象牙来制作。

中国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。

刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以
名之。

”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。

与中国古代数学家不同，西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。

16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数。

当然，欧洲18世纪排斥负数的人已经不多了。

随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立。

第二部分：生活中的数学
同学们，这一单元我们刚刚认识了正负数，你的收获肯定很大吧。

其实啊，我们的古人很早就认识正负数了，而且广泛的应用于生活中。

你想知道吗？下面就让我们看看古人在生活中是如何运用正负数的吧！
题目：两小儿游戏，规定向东为赤，向西为黑，赢者向东迈一步，输者向西迈一步，一小儿先赢了5次，又输了3次，应该向（）方迈( )步，记作：（）。

解释：《九章算术》中指出：“两算得失相反，要令正负以名之”。

当时是用算筹来进行计算的，所以在筹算中，相应地规定以红等为正，黑筹为负；或将算筹直列作正，斜置作负。

这样，遇到具有相反意义的量，就能用正负数明确地加以区别了。

这个题目就可以解释为：两个小朋友在做游戏，规定向东为正，向西为负，赢了的向东迈一步，输了的向西迈一步。

其中一个小朋友先赢了5次，又输了3次，问他
应该向（）方迈( )步，用正负数表示为：（）。

答案：因为规定向东为正，小朋友赢了5次，应该向东迈5步，又输了3次，所以应该再向西迈3步，所以只要向东迈2步就可以了，用正负数表示为+2步。

第三部分：数学实践
数学实践活动
【活动名称】走进生活，寻找正数和负数
【活动目的】通过活动进一步深入调查了解正、负数在生活中的广泛应用。

体会正、负数所表示的不同含义。

【活动材料】调查表
【活动过程、方法】
活动一、同学们，请你通过报纸、
网络、电视等途径，调查了解下面
几个城市的月平均气温，并记录下
来。

1月3月5月7月9月11月北京
伦敦
华盛顿
莫斯科
活动二、找出你家的存折，观察上面的
存款和取款时的记录，你发现了什么？
我发现：。

活动三、让我们走进大型超市或商场，观察一下人们乘坐电梯的情况，看看他们去了几层？按的那个电梯按钮？你发现了什么？
我的发现：
【活动结论】。

【活动结论】
同学们，通过我们的
活动，你有没有发现其实
数学知识时时处处都在我
们的周围，把你的活动感
受记录下来吧：。

第四部分：趣味数学
[数学故事]
负数的由来
在数字王国中以前是没负数的。

有一天“零”正在瞪大眼睛思索,数字王国中没最大的却有最小的,那就是我,哎,为什么偏偏我是最小的呢?想了半天终于有了一个好注意。

第二天,零把“加”“减”“乘”“除”请到家里。

零先是美言说：“四位大哥,你们是我们这儿的霸王,权利极大,没有人不怕你们,肯定
能帮我提高地位，但不知大哥们是否能帮我?”他们几个兄弟说：“你这口气大哥帮你出了。

”
不一会儿,他们几个气势汹汹地来到大街上，数字们就全吓跑了，数字们想：他们准是又来找茬的。

这时,一个数字却站了出来说：“你们敢跟我比吗?”加号听后说：“还挺勇敢的呢。

那我和你比试比试。

”今天加减乘除只有零这个帮手，结果零跟哪个数相加还是原来的数，所以加号和那个数打成平手，因那个数体力好,战胜了加号；零和哪个数相乘等于零,所以乘也打不过这个数，除,减平时也没什么本领,想认输算了，可零说：“你有本事就把减号放在你前面跟我比。

”那个数字说：“行,不过要是再胜了,你们就不再烦我们了。

”可是没想到,这样竟得出了一个数,那就是负数，负数比零还小。

第二单元校园科技周
―――－分数的意义和性质
第一部分：数学史
分数的由来与发展
人类历史上最早产生的数是自然数
（正整数），以后在度量和均分时往往不
能正好得到整数的结果，这样就产生了
分数。

用一个作标准的量（度量单位）去度量
另一个量，只有当量若干次正好量尽的时
候，才可以用一个整数来表示度量的结果。

如果量若干次不能正好量尽，有两种情况：例如，用b作标准去量a:
一种情况是把b分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量a，量m次正好量尽，就表示a含有把b分成n等份以后的m 个等份。

例如，把b分成4等份，用其中的一份去量a，量9次正好量尽．在这种情况下，不能用一个整数表示用b去度量a的结果，就必须引进一种新的数--分数来表示度量的结果。

另一种情况是无论把b分成几等份，用其中的一份作为新的度量a,都不能恰好量尽（如用圆的直径去量同一圆的周长）。

在这种情况下，就需要引进一种新的数-无理数。

在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商。

为了使除法运算总可以施行，也需要引进新的一种
数-分数。

综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的。

分数一般包括:真分数,假分数,带分数.
真分数小于1.
假分数大于1,或者等于1.
带分数大于1而又是最简分数.带分数是由一个整数和一个真分数组成的。

第二部分：生活中的数学
《九章算术》第七章介绍了盈亏问题，这一类问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。

所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。

盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。

下面选取其中的一个给同学欣赏：
题目
今有人共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四，问人数，物价各几何？
题意：有一群人凑钱买一件物品。

如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。

如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。

求人
数和钱数各是多少？
分析：这是属于“一盈一亏”类的问题。

当第一次每人出8枚钱币时多3枚，但第二次每人出7枚钱币时不但没得多，还要少4枚，即共少了4＋3＝7枚。

这是由于第二次比第一次每人少出了8－7＝1枚钱币。

相差7枚，就说明有7÷1＝7人。

这样物价也就可以算出来了。

解答：4＋3＝7（枚）
8－7＝1（枚）
7÷1＝7（人）
7×8 – 3 = 53（枚）
答：一共有7人，物价为53枚。

小结：“一盈一亏”类的问题，如果运用算术方法来解，解题公式是：（盈数＋亏数）÷两次分数数量差＝分物对象的个数事实上，古代数学家发现，在计算人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。

这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。

同学们如果你有学会，并且有兴趣就试试下面这个题目吧！
今有散钱不知其数，
作七十七陌穿之，欠五十凑穿；
作七十八陌穿之，不多不少。

问钱数几何？
第三部分：数学实践
第二单元 校园科技周——分数的意义和性质
数学实践活动（一）
【活动名称】寻找生活中的分数
【活动目的】通过活动进一步体会分数的意义，了解分数在生活中的广泛存在和应用。

【活动材料】调查表，调查报告
【活动过程、方法】
活动一：同学们，让我们做个有心人，
用发现的眼睛去寻找我们生活中的分
数！用记录下来，看看他们分别表示
什么意思！
从哪里发现？ 发现了哪个分数？
它表示什么意思呢？ 音乐书中 42 、86…… 以42为例，它表示以4
1为1拍，每小节2拍。

同学们，把你的发现和同学交流一下吧！
相信你会有所收获！
活动二、
亲爱的同学们，请调查你的
班主任老师一天的作息时间，看
看他们是怎样度过忙碌的一天！
事项起床到离家上下班时间上课批作业管理班级其他时间
经过调查后，请你算一算老师的每项工作占了全天的几分之几？根据这些数据，你想对你的老师说些什么？
【活动结论】
通过寻找生活中分数，你有什么收获和感想？试着记录下来吧！
_________________________________________。

数学实践活动（二）
【活动名称】折纸条
【活动目的】通过折纸活动，学会探索数学规律，并在探究中进一步深刻理解分数的基本性质，体会数学学习的乐趣。

【活动材料】长度相等的纸条5张、彩笔、记录表
【活动过程、方法】
1、将准备好的5张纸条分别编号，然后按要求对折，并记录。

对折次数平均分成几份
1号 1
2号 2
3号 3
4号 4
5号 5
同学们，通过纸条的对折，你发现了什么规律？赶快记录下来，和你的同学交流一下吧！。

2、在对折好的纸条上按要求涂色，记录。

对折次数平均分成几份涂色份数用分数表示涂色部分1号 1 1
2号 2 2
3号 3 4
4号 4 8
5号 5 16
对比每张纸条的涂色部分，并观察记录结果，你发现了什么？。

【活动结论】
一张小小的纸条中包含了这么多的数学知识，把你的活动感受写
下来吧：
__________。

第四部分：趣味数学
分数的起源
在古代的埃及人就已经使用分数了，公元1858年，在埃及发现了1卷古代纸草－阿默斯纸草卷，世界上最早的分数就被发现在埃及的阿默斯纸草卷，当时，埃及人所使用的分数都是分子为1的，例如：1/2、1/3、1/9……等。

因为埃及人所使用都是分子为1的分数，你或许会问，当遇到分子不为1的分数时，埃及人会怎么做？埃及人表示分数的方式相当有趣，以为2/3例：如果将2个大饼平分给3个人，照现在的分法是先将2个大饼都等分成3个部分，然后1个人拿其中的2份。

但是埃及人却把2个大饼分别剖成一半，将其中3份分给3个人，剩下半个大饼再平分成3份，并分给3个人，所以埃及人在看分数
2/3的时候，是以1/2+1/6来表示。

以现代人的角度看埃及分数的表示方式不是很理想，但它毕竟是目前已知人类最早使用分数的纪录，让我们不得不佩服埃及人的智慧。

（二）[学海拾趣]
真分数和假分数
分数王国，形势十分吃紧。

事情的起因是这样的：一群真分数和假分数开玩笑说：“我们真分数都长得和国王一样，上身小，下身大，我们是真正的分数，而你们假分数，名字上带有假字，实际上长得也不像国王，上身大下身小，宽肩细腿，所以你们肯定是假的分数。

”没想到，这句玩笑话竟激怒了假分数们，双方剑拔弩张，内战一触即发。

这自然惊动了分数王国的国王。

他吩咐身边的大臣说：“快去查查史书，究竟真假是怎么回事？”不一会儿，去查史书的大臣匆匆回来，把分数国王要他查询的结果告诉了大家。

大臣说：
“据史书记载，所谓分数，是把一个单位平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。

其中分子可以比分母小，也可以比分母大，还可以等于分母，比分母大的，可以化成一个整数和一个分数的形式，分子与分母相等的，可以化成整数的形式。

为了区别起见，数学上把这类分数叫假分数。

假分数也是分数呀。

”
分数们听了大臣的话后恍然大悟，握手言和，分数王国又恢复了团结和慕的局面。

（三）[童话故事]
有一个耍猴子的人把—张大饼平均分成三块，给每只猴子一块，猴子们一听急了说吃不饱，后来这人灵机—动，把这张大饼平均分成六块，给每只猴子两块，猴子们还不满意，再后来这个人干脆把—张大饼平均分成十二块，给每只猴子四块，猴子们一听都乐了。

第三单元剪纸中的数
―――－分数加减法（一）
第一部分：数学史
中国古代求最大公因数的方法
---------更相减损术
同学们在这一单元中我们学习
了用短除式的方法求两个数的最
大公因数，你知道中国古代人是怎
么求最大公因数的吗？看一看下
面的介绍吧！
更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

它的方法被归纳为：“可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

”翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。

若是，用2约分；若不是，执行第二步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数与较小数相等为止，则这个数（相等的数）就是所求的最大公约数。

你如果没看明白就来看看下面这个例子吧：
例如：用更相减损术求91与49的最大公约数.
解：由于49不是偶数，把91和49以大数减小数，并辗转相减， 即：91－49＝42 49－42＝7 42－7＝35
35－7＝28 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7
所以，91与49的最大公约数是7。

聪明的小朋友们你能看出其中的奥秘吗？想一想为什么这样可以求出最大公因数？这种方法与我们所学的短除式的方法有没有联系？哪种方法更好呢？
第二部分：生活中的数学
同学们，分数加减法（一）我们学完了，你肯定又掌握了有关分数的好多知识，其实呀，分数在我们生活中用处很大，你想了解吗，看了下面的题目，你会有所收获的！
（1）题目：六一儿童节快要到了，班委的同学聚在一起商量如何装饰教师，班长刘小娟说：“我们剪一些小彩旗吧，最宽的4
1米，最窄的5
1米，中间再剪4面不同宽度的，肯定非常漂亮。

”大家都非常赞同这个建议。

这时张山同学问 ：“那中间的4面彩旗分别应该是多宽呢？”小乐说：“我们只要能找出4个小于4
1
而大于5
1的分数来就可以了。

”大家想了半天，都说：“这样的太难找了。

”这时刘小娟说：“我找到了。

”同学们，你们知道刘小娟找到的是哪些数吗？
分析：将41和51通分为
10025和10020，大于10020小于100
25
的同分母分数
有10021，10022，10023，10024，所以中间4面彩旗的宽度分别是10021米，100
22
米，
10023米，100
24米。

答案：4面彩旗的宽度分别是10021米，10022米，10023米，100
24
米。

第三部分：数学实践
第三单元 剪纸中的数学 分数加减法（一）
数学实践活动（一）
【活动名称】铺地面——小小设计家
【活动目的】通过实践活动，让学生能运用所学的公因数和最大公因数知识去解决生活中的实际问题，进一步熟练求公因数和最大公因数的方法，体会数学在生活中的应用。

【活动材料】米尺、纸、笔、调查表。

【活动过程、方法】
同学们，假如现在你的房间需要重新铺设底面，请你用所学的知识来大显身手，自己当一次小小设计员家吧！ 1、测量自己房间的长、宽。

长（米）
宽（米）
2、市场上的地面砖有很多种， 它们的边长都是整厘米数， 用你所学知识计算一下，
你可以买边长为多少厘米
的地面砖！
3、走进市场，调查了解你所需的每种地面砖的价钱！
边长价钱（元）
地面砖（1）
地面砖（2）
地面砖（3）
地面砖（4）
4、根据你的调查，计算出铺设每种
地面砖所需的块数和价钱！
5、根据你的家庭情况，参考爸爸妈妈的意见，选定其中一种进行装修吧！
【活动结论】
通过活动，你有什么收获？
___________________________________________________________
___________________________________。

数学实践活动（二）
【活动名称】见面活动
【活动目的】通过此次活动，使学生能运用所学的公倍数和最小公倍数知识去解决生活中的实际问题，体会数学在生活中的应用。

【活动材料】纸、笔、秒表。

【活动过程、方法】
1、三个同学一组，编号①、②、③，分别选定三个距教室距离远近不同的起点位置A、B、C。

将同学与位置对应。

①——A、②——B、③——C、
2、用秒表分别测出①、②、③号同学
从A、B、C处到教室的时间。

（注意匀速前进，取整分钟数据）
3、①、②号同学同时出发，往返于定
点与教室之间，用秒表测出两人相遇
的时间；然后测①、③同学相遇的时
间，②、③号同学相遇的时间。

4、根据我们学习的公倍数和最小公倍数知识，验证一下他们的相遇时间！三个同学交流一下！
5、现在三个同学同时出发，测量三个人同时在教室相遇的时间。

再用我们学过的知识验证一下！看看有什么收获？
【活动结论】。

通过以上活动，你想说点什么？
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第四部分：趣味数学
（一）[数学故事]
马小跳的生日会
今天是马小跳的生日，他请了许多朋友来和他一起庆祝生日。

不一会儿，大家都到齐了。

唉！所有人都给马小跳给骗了。

说是来聚会，谁知道是来干活的呀！张达、毛超、唐飞、安琪儿都被马小跳安排了各种活计。

马小跳给安琪一根长74厘米的蓝彩带和一根长 66厘米的黄彩带，还说要剪成同样长的小段，要最长的。

最后还要给他每根剩下2厘米。

过了一会儿，安琪儿嘟着嘴来了。

“马小跳，我不知道这个该怎么剪。

我本来就不聪明，你还出个这么绕的问题。

你要是嫌我笨，不喜欢我就直说，不需要这样拐弯抹角的。

”安琪儿好像有点生气。

“没有，没有，我绝对没有那个意思。

”马小跳连忙解释。

“是8厘米！”在他们谈话的过程中，路曼曼已经把答案给心算出来了。

“你，你怎么知道的啊？”路曼曼这个突然的答案惊住了马小跳。

“是这样的。

你要安琪儿把两根彩带各剩下2厘米，那咱们就先剪掉这2厘米。

74-2=72厘米，66-2=64厘米。

你还要她剪成同样长的
最长小段，也就是求72和64的最大公因数，最大公因数是8。

所以每小段最长是8厘米。

”路曼曼就像老师一样给大家上了一课。

马小跳过了一次增长知识的生日。

（二）[史海拾贝]
破碎的数
在拉丁文里，分数是来源于“破碎”一词，因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。

在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关分数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。

在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。

一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。

在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。

甚至到了17世纪，数学家科克在3/5＋7/8＋9/10＋12/20时，还用分母的乘积8000作为公分母！
（三）[巧学妙记]
分数加减法法则
分数加减很简单，
统一单位是关键。

同分母分数相加减，
只把分子相加减，
分母大小不改变。

异分母分数相加减，
先通分来后计算。

（四）[学以致用]
最小公倍数在生活中的应用
以前，小明一直以为学了最小公倍数这种知识枯燥无味，整天和求几和几的最小公倍数这样的问题打交道，真是烦死人，总觉得学习这些知识在生活中没有什么用处。

然而，有一件事却改变了他的看法。

有一天小明和爸爸一起乘公共汽车去青少年宫。

他们俩坐的是3号车，快要出发的时候，1号车正好和他们同时出发，此时爸爸看着这两辆车，突然笑着对他说：“小明，爸爸出个问题考考你，好不好？”
小明胸有成竹地回答道：“行！”“那你听好了，如果1号车每3分钟发车一次，3号车每5分钟发车一次。

这两辆车至少再过多少分钟后又能同时出发呢？”稍停片刻，小明想了想脱口而出“15分钟，因为3和5是互质数，求互质数的最小公倍数就等于这两个数的乘积（3×5＝15）所以15就是它们的最小公倍数。

也就是这两辆车至少再过15分钟同时出发。

”爸爸听了夸奖道：“答案正确！100分。

”“耶！”听了爸爸的话，小明高兴地举起双手。

从这件事中小明就懂得了一个道理：数学知识在生活中无处不在。

（五）[数学谜语]
１、全部消灭（打一数学名词）
２、１０×１０００＝１００００（打一成语）
３、（２×５+２×５）/２×４（打一字）
４、老爷爷参加赛跑（打一数学家名）
答案：整除、成千上万、共（看作分数，分子为２０,分母为８）、祖冲之
第四单元走进军营
―――－方向与位置
第一部分：数学史
“东西南北”的由来
同学们在这一单元中我们学习了方
向与位置，你知道东西南北的由来吗？看
一看下面的介绍吧！
我国古代的人们，在长期同自然界
作斗争的过程中，逐步积累了辨认四方的
知识，随之创造了东西南北四个方位字。

东：其字形为日在木中，含义为旭
日初升，旭日初生的地方就是东方；也解
释为太阳出来的一边；它跟西方相对，古人以东方为主位。

习惯上把东风指为春风。

西：其字形为鸟在巢上，即太阳西沉而鸟归巢栖息。

“鸟归巢”就演义为方位字“西”。

也解释为太阳落下去的一边；它跟东相对，古人以西方为宾位。

习惯上把西风指为秋风。

南：其字形外框是“木”字的变形，里面的指方向。

即草木接纳来自南方的充足阳光，就生育得枝繁叶茂。

所以，向阳处就是南方。

也解释为早晨面向太阳时，右手的一边。

它跟北方相对，古人以面南而坐为尊位。

习惯上把南风指为暖风。

北：古人常把北字写成二人相背。

我们的祖先世代居住在北半球，为了更多地采集阳光，居室多为坐北朝南，背面就是北面，“背”也就演绎成了北方的“北”字。

也解释为早晨面向太阳时左手的一边。

古人以面朝北坐为卑位，北跟南相对。

习惯上把北风指为寒风。

此外，人们常说的买东西这个词儿，其中还有一段有趣的故事哩。

传说，我国古代有一位著名的理学家朱熹，某日上街巧遇挚友盛渔如，朱见盛手中提着菜篮子，便随口问道：“您干啥去呀？”盛答道：“买东西。

”
朱又戏问：“您咋不说买南北呢？”盛乃根据“五行学说”中“金、木、水、火、土”与“东、西、南、北、中”相配的道理，解释说：“东方属木，西方属金，木与金在菜篮子都装得下；而南方属火，北方属水，火与水在菜篮子是装不得的。

”从此以后，人们便只说买东西，而无人说买南北。

第二部分：生活中的数学
同学们到过军营吗？战士们的飒爽英姿一定让你羡慕。

今天让我们走进军营，领略军营的风采，同学们看他们的队伍站的多整齐啊。

其中一位战士说：“我的前边有19人，后边有10人，左边有20人，右边有9人，你知道我们一共有多少人吗？”。