高斯消元法

求解线性方程组的直接解法

5.1 Gauss 消去法

① 三角方程组

先举一个简单的例子来说明消去法的基本思想.

例1. 用消去法解方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=-=++(3)

.122(2)

,54(1)

,6321

32321x x x x x x x x 解 第一步.将方程(1)乘上-2加到方程(3)上去,消去(3)中的未知数1x ,得到 (4)

.11432-=--x x 第二步.将方程(2)加到方程(4)上去,消去方程(4)中的未知数2x ,得到与原方程组等

价的三角形方程组

(5)

.62

,54 ,6332321⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-=-=++x x x x x x 显然,方程组(5)是容易求解的,解为.)3,2,1(T x =*

上述过程相当于

332331 (-2) 6-56 20014011111-56 140140111156 122140111)|(r r r r r r b A →+→+⨯⎪⎪

⎪

⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=

其中用i r 表示矩阵的第i 行.

下面我们讨论求解一般线性方程组的高斯消去法. 一般地

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n

n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 2

222211212111

当a 11a 22…a nn ≠0时,可解出 x n =b n /a nn for k=n-1:1 x k =(b 1- a k,k+1x k +1-…- a kn x n )/ a kk end

注: k k b x ,可用同一组单元.并可解出一个未知数即代入其它方程消去该未知数

Gauss 消元法的流程图为: 流程图中，,(,1,2,...,)ij i a b i j n 分别为线性方程组的系数矩阵和常数向量；

k 是循环次数。

② 顺序消去法

一般地,k =1对n 阶方程组消去第k 个元(a kk ≠0):

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣⎡→

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣⎡++++++++++++++n k k nn

k n n n k k k k k kn

k k kk

n k k nn

k n nk

n k k k k k kn

k k kk b b b a a m a a m a a a b b b a a a a a a a a a

11

,1,11

,1,11,11,,11,1,11,)()(

这里各行变换:i 行-k 行×m ik ,其中m ik =a ik /a kk ,i =k +1,…,n 而后, k =2对n -1阶方程组

消第2个元…我们有如下顺序消元算法:

for k=1:n -1 if a kk ≠0 for i =k +1:n m ik =a ik /a kk i 行=i 行-k 行×m ik end else stop end end

（每行包括右端项!）可细化,也可存储m ik 于a ik 得:

for k=1:n -1 if a kk ≠0 for i =k +1:n a ik =a ik /a kk for j=k+1:n a ik =a ik -a ik ×a kj end b i =b i -a ik ×b k end else stop end end

顺序消元过程和回代过程连起来就可得精确解.顺序消元算法也可将系数矩阵和右端项分开:

for k=1:n -1 if a kk ≠0 for i =k +1:n a ik =a ik /a kk for j=k+1:n a ik =a ik -a ik ×a kj end end else stop end end (注意m ik 在a ik ) for k=1:n -1 for i =k +1:n b i =b i -a ik ×b k end

end

Gauss 消去法运算量

消去第k 个元素时，对矩阵作加法和乘法运算各(n-k )×(n-k )次,除法(n-k )次.对右端作加法和乘法运算各(n-k )次.分别共12+22+…+(n -1)2=n (n -1/2)(n -1)/3和1+2+…+(n-1)=n (n -1)/2次加法乘法,消元时还有1+2+…+(n-1)= n (n -1)/2次除法.另外回代过程中加法和乘法运算各n (n -1)/2次,除法n 次.运算量主要是消元的贡献,加法和乘法运算各约n 3/3. 定理1.设Ax=b ,其中A .R n n ⨯∈

(1) 如果),,1,2,(k 0)

(n a k kk =≠则可通过Gauss 消去法将Ax=b 约化等价的三角形方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()2(2)1(121)()2(2)2(22)

1(1)1(12)1(11n n m n nn n n b b b x x x a a a a a a , 且计算公式为:

(a) 消元过程

设0)(≠k kk a ,对1,,2,1-=n k 计算

n

k k j i b m b b a m a a a a m k k ik k i k i

k kj

ik k ij k ij k kk k ik ik ,,2,1,/)

()()1()

()()

1()

()( ++=⎪⎩⎪⎨⎧-=-==++ (b) 回代过程

1

,2,,1/)(/1)

()()()

()( -=⎪

⎩

⎪⎨⎧-==∑+=n i a x a b x a b x n i j i ii j i ij i i i n nn n n n (2) 如果A 为非奇异矩阵,则可通过Gauss 消去法(及交换两行的初等变换)将方程组Ax=b 约化为

⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡)()2(2)1(121)()2(2)2(22)

1(1)1(12)1(11n n m n nn n n b b b x x x a a a a a a .

行列式和逆矩阵

易知顺序消元过程中，行列式不变.因此det (A )=det (U )=u 11u 22…u nn ,这里U 是顺序消元过程结束时的上三角矩阵.A 的顺序主子式。也是同样情况,即有det (A k )=det (U k )=u 11u 22…u kk .。顺便指出,消第k 个元素时，左上角的元素(称之为