用空间向量解立体几何问题方法归纳(学生版)

用空间向量解立体几何题型与方法
一．平行垂直问题基础知识
直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)
(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0
(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3
(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝k v⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4
(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0
例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面P AB；
(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.
使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.
例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：(1)B1D⊥平面ABD；
(2)平面EGF∥平面ABD.
二．利用空间向量求空间角基础知识
(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所
成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b| |a||b|.
(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角
为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|.
(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，
若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2|
|n1||n2|；
若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2|
|n1||n2|. 例1、如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
例2、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．
(2)求空间角应注意：
①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.
②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．
例3、如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，
平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.
(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；
(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．
例4、如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图．
(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；
(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．
三．利用空间向量解决探索性问题
例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2)．
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E-DF-C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出BP
BC的值；如果不存在，请说明理由．
(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.
(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.
例2、.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.
(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；
(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1-CD -C 1的大小为60°？
四．空间直角坐标系建立的创新问题
空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．
一、经典例题领悟好
例1、如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4， ∠ACB ＝∠ACD ＝π
3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .
(1)求P A 的长；
(2)求二面角B -AF -D 的正弦值．
建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用AC⊥BD)，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.
例2、如图，在空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE ＝2.BE与平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
专题训练
1.如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD
⊥底面ABCD，AB∥A1B1，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.
(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；
(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1.
3．如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝5，AB＝AD ＝ 2.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A-BD-C为60°，如图(2)．
(1)求证：AE⊥平面BDC；
(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝35，AD＝6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB＝41.
(1)求证：PO⊥平面ABCE；
(2)求二面角E-AP-B的余弦值．
5.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A＝PD＝2，P A⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
(2)求B点到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值为
6
3？若存在，求出
PQ
QD的
值；若不存在，请说明理由．
6．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB
垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.M是棱SB的中点．
(1)求证：AM∥平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；
(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sin θ的最大值．
7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠F AB＝∠DAB＝90°，AF＝AB ＝BC＝2，AD＝1，F A⊥CD.
(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；
(2)求二面角F-CD-A的余弦值．
8、.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝
23，E 是PB 上任意一点． (1)求证：AC ⊥DE ；
(2)已知二面角A -PB -D 的余弦值为15
5
，若E 为PB 的中点，求EC 与平面P AB 所成角的正弦值．
9、如图1，A ，D 分别是矩形A 1BCD 1上的点，AB ＝2AA 1＝2AD ＝2，DC ＝2DD 1，把四边形A 1ADD 1沿AD 折叠，使其与平面ABCD 垂直，如图2所示，连接A 1B ，D 1C 得几何体ABA 1-DCD 1.
(1)当点E 在棱AB 上移动时，证明：D 1E ⊥A 1D ；
(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1-EC -D 的平面角为π
6？若存在，求出AE 的长；
若不存在，请说明理由．。