2018中考数学专题突破导学练第14讲二次函数的应用试题

第14 讲二次函数的应用

知识梳理】（一）基本知识点

1. 实际问题中二次函数关系式的确定列二次函数解析式解决实际问题与列整式方程的思路和方法类似，不同之处是，表示量与量的关系的式子是含有两个变量的等式，而求出二次函数的最大值和最小值是解决实际问题的关键。

运用二次函数解决实际问题的一般步骤：

（1）审清题意，找出其中的等量关系；

（2）设出适当的未知数，分清自变量和函数；

（3）列出二次函数解析式；

（4）结合已知条件或点的坐标，求出解析式；

（5）根据题意求解，检验所求得的解是否符号实际，即是否为所提问题的答案；

（6）写出答案。

（1）实际问题情境下二次函数中自变量的取值范围不一定是全体实数，所对应的图象也可能是抛物线的一部分；

（2）实际问题情境下的二次函数的最值不一定是整个抛物线的顶点的纵坐标。

2. 二次函数与最大利润问题

这类问题反映的是销售额与单价、销售量及利润与每件利润、销售量间的关系，为解决这类实际问题，我们需要掌握几个反映其关系的公式：

（1）销售额=销售单价X销售量；

（2）利润=销量额-总成本=每件利润X销售量

（3）每件利润=销售单价- 成本单价。

3. 二次函数与最大（小）面积

（1）规则图形面积由面积公式直接计算（如：圆、三角形、矩形、梯形）。

（2）不规则图形的面积多采用分割法求得，即把图形分割成几个规则图形，分别求得面积再把它们加起来，然后联系二次函数的顶点坐标公式求解。注意：表示图形面积的各量之间的关联变化及其取值的实际意义。

4. 二次函数与抛物线形建筑问题

抛物线在实际生活中有着广泛的应用，

水柱运行的轨迹、投出的铅球和篮球的运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子等。

解决此类问题的关键是根据已知条件选择合适的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求

出函数解析式，再利用二次函数的性质解决问题。

【考点解析】

考点一：求利润最大问题

【例1】九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（K x< 90,

且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下. 已知商品的进价为30元/件，设该商品的售

（2 ）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润;

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果.

【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用.

【分析】（1）当0w x w 50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50 v x w 90时, y=90 .再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n套入数据利

用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润x销售数量即可得

出w关于x的函数关系式；

（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题. 当0W x w 50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50v x w90时，根据一次函数的性质即可求出在此

范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论;

如拱形桥洞的修建、涵洞和隧道的修建、公园里喷泉

p （单位：件），每天的销售利润为w （单位：元）时间x （天）13060

每天销售量p （件）19814080

90

20

价为y （单位：元/件），每天的销售量为

（1）求出w与x的函数关系式;

(3)

令w>5600,可得出关于x 的一元二次不等式和一元一次不等式， 解不等式即可得出 x

的取值范围，由此即可得出结论.

【解答】解： (1)当0w x < 50时，设商品的售价 y 与时间x 的函数关系式为y=kx+b (k 、b 为常数且k z 0),

••• y=kx+b 经过点(0, 40)、(50, 90),

售价y 与时间x 的函数关系式为y=x+40 ； 当 50v x w 90 时，y=90.

由书记可知每天的销售量 p 与时间x 成一次函数关系,

设每天的销售量 p 与时间x 的函数关系式为p=mx+n( m n 为常数，且0),

■/ p=mx+ n 过点(60, 80)、(30, 140),

r

50n^n=S0 &/口 [nT - 2 ，解得：｛ “

,

130nH-n=14p

[n=200

• p=- 2x+200 (0w x <90,且 x 为整数)，

当 0w x <50 时，w= (y - 30) ?p= ( x+40- 30) (- 2x+200) =- 2x 2+180x+2000; 当 50v x < 90 时，w= (90 - 30) (- 2x+200) =- 120x+12000. 综上所示，每天的销售利润 w 与时间x 的函数关系式是

〜电削麵就2腱起0<.<旳軸礬霁

"120X +120C0(56

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(2)当 0w x <50 时，w=— 2x +180x+2000=- 2 (x -45) +6050,

■/ a=- 2v 0 且 0w x <50,

•••当x=45时，w 取最大值，最大值为 6050元. 当 50v x < 90 时，w=- 120x+12000 , •/ k=- 120v 0, w 随x 增大而减小，

•••当x=50时，w 取最大值，最大值为 6000元. •/ 6050> 6000,

•••当x=45时，w 最大，最大值为 6050元.

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是

，解得: lb=40

• ••售价y 与时间x 的函数关系式为

愛且玄为整数)

90(50

6050 元.