背包原理

老师在课上介绍了RSA 公开密钥体制，这是目前最有影响力的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击。课下我查阅了有关资料简单地了解了背包原理在密码学中应用，但不幸的是这种加密方式的绝大部分已经能被有效破解。

1.背包原理：设想有一个长方体形状的背包，里面恰好装满一组大小不等、形状各 异的积木块。又，旁边还有一堆积木块。如果把背包里的积木块倒在这一堆积木块里搅匀，那么再从中挑出一组积木块使它们恰好装满背包是十分困难的。类似的数学问题可表述为 ：

设123(,,...)n A a a a a =，n 是正整数，n a 也是正整数。问是否存在

12,,...(1,1,2,...)k j i i i i n j k ≤≤=使

1j k

i j a a ==∑，其中A 称为背包矢量或背包序列。 这里A 就像那一大堆积木块，a 是背包，能不能从A 中挑出 12,...k i i i a a a 恰好

装满n 是很难判断的。 不过对于某些背包矢量A ，上述问题是容易解决的，这就是矢量A 构成超递增数列的情形。

超递增序列 ：正整数序列 12,....a a 叫超递增序列，如果1

1,2,3,....i i j i a a i -=>=∑

这一定义对有限序列也适用。通俗地说，每一项都大于它前面各项之和的正整数序列叫超递增序列。

对于超递增序列A 而言，如果给定了一个正整数a ．是很容易判断a 是否能表示为A 中的若 干个项之和的。比如序列A ，a=52。因为n>41，41必须被选中，否则其它各项全选也不 够41，从而更达不到52。然后算出52—41：11。因为11恰大于A 中的9，9必须被选中， 否则前面各项加起来也不到9，更达不到11。同理，算出11—9=2正好是A 中的项，这样就 得到52=41+9+2。

2.背包系统的加密和解密方法

加密方法：选取一个超递增序列12(,,...)n A a a a =比如

(103,107,211,430,863,1718,3449,6907,13807,27610)A =。以 A ∑记A 中各项之和，则 A ∑ =55205。取整数m 使m A >∑，比如取m =55207。再取整 数 t 使1t m ≤≤且 与m 互素，即(,)m t ≡1,比如取t=25236。用t 乘A 的各项后再 用m 去除所得各项，以C 记所得余数依次构成的序列，即12(,,...)n C c c c =这里的n c 等

于t

a除以m所得的余数。经计算得

n

C=

(4579,50316,24924,30908,27110,17953,32732,16553,22075,53620)

这个C可以公之于众，友方敌方都知道，但请注意C已经不是超递增序列了。

σ=。将σ与C作内积设σ为待传送的信息，不妨设(0,1,0,0,1,0,0,0,0,0)

得77426

•=。这个77426就是密文，敌方截获了也很难算出σ，因为C已经cσ

不是超递增的了，正像想从一大堆积木块中找出恰好装满背包的那些积木块一样。当n=100时，如果不借助其它数学理论，用计算机去试探性地破译背包系统得花上30年的时间 !

解密方法:友方在收到信息cσ

•后是容易基于C而恢复出σ来的，因为t 与m这两个密钥是通知了友方的。因为t与m互素，利用辗转相除法可以求出一个最小的正整数u，使得1(mod)

≡，在本例中可以很快算出u=1061。有了u

ut m

就可以从C中恢复出超递增序列A来，用u去乘C的各项再摸去若干个m记得A。下面以C的第一项4579为例，因为

u•==⨯+

457948583198855207103

所以A的第一项是103。同理可以求得A的其他各项。现在我们知道了A还有t 与m就可以算出非递增序列C，然后进而求出σ，这些只要对加密方法进行逆运算就可以很快得到。再把σ机器语言，翻译出来即可。