新课标高中数学微积分精选习题

高二数学微积分练习题

一、选择题：

1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的

路程为

（ ）

A ．32

0gt B ．20gt C ．22

0gt D ．6

2

0gt

[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是

A ．32

B ．329-

C ．

332

D ．3

35

[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若

1

1

(2)3ln 2a

x dx x

+=+⎰

，且a ＞1，则a 的值为

（ ）

A ．6

B 。4

C 。3

D 。2

[解析] 4、用

S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )

A ．⎠⎛a

c f (x )

d x B ．|⎠⎛a

c f (x )

d x |

C ．⎠⎛a

b f (x )d x ＋⎠⎛b

c f (x )

d x

D ．⎠⎛b

c f (x )

d x －⎠⎛a

b f (x )d x

5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛0

6 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-6

6f (x )d x 等于( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．16 6、函数y ＝⎠⎛-x

x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．以上都不正确

7、函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π

2)的图象与x 轴所围成的封闭图

形的面积为( )

A.32 B ．1 C ．2 D.12 8、⎠⎜⎛0

3|x 2

－4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.253 二、填空题：

9．曲线1,0,2

===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．

10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应

表达为 ．

11、若等比数列{a n }的首项为2

3，且a 4＝⎠⎛1

4 (1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-1

1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________

一，选择题 二、填空题

9、 10、 11、 12、 三、解答题：．

13．计算下列定积分的值

（1）⎰-2

15

)1(dx x ；

（2）

dx x ⎰-22

2

cos

π

π

14．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．

15．已知f(a)＝⎠⎛0

1(2ax 2－a 2x)dx ，求f(a)的最大值；

16．设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且

f ′（x ）=2x +2.

（1）求y =f （x ）的表达式；

（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图

形的面积二等分，求t 的值.

参考答案

一、1．C ；2．C ；3．D ；4．D ；5 A 6 C 7．D 8；C 二、9dx x ⎰-102)1( 10．dx x ⎰π

20|cos |；11、3 12、-1或1/3 三、15、[解析]

取F (x )＝23ax 3－12

a 2x 2

则F ′(x )＝2ax 2

－a 2

x ∴f (a )＝⎠⎛0

1(2ax 2

－a 2

x )d x

＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2

＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29

∴当a ＝23时，f (a )有最大值2

9

.

16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ， 又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2. ∴f （x ）=x 2+2x +c

又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.

（2）依题意，有所求面积=3

1|)31

()12(0

123201=

++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有

x x x x x x t

t d )12(d )12(2

021

++=++⎰⎰

---， ∴0

23123|)3

1(|)31(t t x x x x x x ---++=++， －3

1t 3+t 2－t +3

1=3

1t 3－t 2+t ， 2t 3－6t 2+6t －1=0，

∴2（t －1）3=－1，于是t =1－3

2

1

. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.