n阶行列式的计算方法

n阶行列式的计算方法
摘要：行列式的计算是大学高等代数的重要内容之一，也是学习的一个难点。本文第一部分主要探讨常见一般阶行列式计算方法，第二部分讨论一类阶抽象行列式的计算方法。
关键词:行列式 矩阵 计算方法

Abstract：Computing the determinant is an important part of advanced algebra in university, and is also the difficulty in learning. In the first part, calculation methods of the n-order determinant were discussed; second is the methods of computing a class of n-order abstract determinant.
Keywords：determinant matrix calculation method


0 引言
一般阶行列式的计算问题是数学系高等代数教学的一个重要内容，同时也是一个难点。能否学好关系到以后高等代数的进一步学习，还会影响到学生学习高等数学的积极性。因此，在查阅很多相关资料的基础上，尝试初步综合一下行列式的计算方法。其中，包括常见的一般行列式和一些特殊的抽象行列式。
大家在计算常见一般行列式时要注意，有时候有些行列式可以用很多种方法计算，应当根据行列式的实际情况、特点，选择适当的方法来进行计算。抽象行列式是在原有一般行列式基础上，用字母抽象化地表示行列式，并结合矩阵的相关知识来进行计算的，所以要求对高等代数整体课程的内容都要有一个比较清晰的理解，只有这样才能牢牢掌握行列式的计算方法。
本文第一部分主要探讨常见一般行列式计算方法，第二部分讨论特殊抽象行列式，用矩阵相关知识来计算。
1 常见一般阶行列式计算方法
1.1 定义法
阶行列式计算的定义[1]：

其中，表示对所有级排列求和。是的一个排列，当是偶排列时，是正号；当是奇排列时，是负的。是中取自不同行不同列的个元素的乘积。
例1[1]计算行列式

分析：这是一个四阶行列式，展开式共有项，除对角线上元素乘积的项与次对角线上元素乘积的项值不为零外，其余项都为零，而且、，所以

在用定义法计算行列式时要注意：在对2阶行列式和3阶行列式时，可以采用对角线法则来进行计算。


特别要注意3阶以上的行列式不能适合采用对角线法则[2]。
1.2 利用行列式的性质
总结行列式的性质，可分为以下四类[2]：
（1）使行列式的值不变的有两条性质：行列式的行与列互换；
某行（列）的倍数加到另一行（列）上。
（2）使行列式的值为零的也有两条性质：两行（列）对应的元素相同；
两行（列）对应的元素成比例。
（3）使行列式的值变号

的有一条性质：交换两行（列）的位置。
（4）还有其他两条性质：某行（列）的公因子可以提到行列式符号外；
如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同 。
这些性质和行列式计算的定义构成了行列式计算的基本框架。下面来看例2关于一个阶行列式的计算，当阶行列式的或者（即阶数小于或等于2）用定义法计算，当时，运用行列式的性质计算是比较方便的。
例2[3] 计算下面阶行列式的值

解：当时，。
当时，。
当时，
1.3化三角行列式
化三角行列式 [2]关键在于如何化行列式为上（下）三角行列式或者次上（下）三角行列式，为此，在课本中引入行阶梯形矩阵的定义，有了矩阵这一工具，让这一关键的操作变得十分方便。值得说明的是，在阶行列式的计算中引入矩阵工具化三角使行列式计算容易起来，但更多数情况下是在矩阵计算中运用行列式计算这一工具的。或者说，矩阵和行列式是相辅相成的，不过，也要注意区别行列式和矩阵是两种不同的概念。
　（1）上（下）三角行列式的值等于其对角线上的元素的乘积。

（2）同理，次三角行列式的值等于添加适当的正、负号的次对角线元素的乘积。

例3[4] 计算下面阶行列式的值

解：
例4[4] 计算下面阶行列式的值

解：


例3是化主三角行列式计算的，例4是化次三角行列式计算。而且例3、例4都是箭形行列式，箭形行列式可以化三角行列式来计算。
1.4 按行列式某行或某列展开
按行列式某行或某列展开计算是运用行列式自身所带有的工具——余子式、代数余子式。下面先介绍余子式、代数余子式[1]：
在阶行列式中，将元素所在的第行第列的元素划去后剩下的元素按照原位置次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，即

当，称为元素代数余子式。
有了余子式、代数余子式，还是不够的，还要有下面这条关于行列式的值的定理[2]：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

例5[4] 计算下面的4阶行列式的值

解：


依据行列式的展开定理，我们还可以把有些行列式展开成若干个低一阶的行列式的代数和，如有必要继续再展开下去，直到便

于计算求值，这种方法叫做降级法[4]或降阶法[5]。
1.5 升阶法
有些行列式利用本身进行计算往往很难，但是在原行列式的基础上增加一行（列），并保证在增加的基础上保持原行列式的值不变，使得行列式计算变得十分简便。这种计算行列式的方法叫做升阶法[3]，也叫升级法[4]或加边法[5]。它与上面的行列式降阶法计算是相反的操作。
例6[3] 证明：

证明：将左边的行列式添加一行一列，得级行列式

有时加边后的行列式的值不会就等于原行列式的值，不过与原行列式的值存在一个关系。例如原行列式，行列式直接求值不好求，加边后行列式为，很容易求得的值，两者关系比较明确，，则可利用这个关系能求出行列式的值。这也是适合使用升阶法的。
1.6 递推方法
递推方法计算[6]行列式是将已知行列式按行（列）展开成较低阶的同类型的行列式（注意：同类型行列式是指阶数不同，但结构相同的行列式），找出或（其中的结构一定要相同）之间的递推关系，利用这个递推公式求出行列式的值。
例7 [3]计算

解：

所以：

即




当时，
1.7 数学归纳法
一般情况下用第一数学归纳法来计算，但是有时候用第一数学归纳法证明时，仅仅只能归纳假设“时命题成立”，还不能证明命题对也能够成立，所以就要求用更强的归纳假设“时命题成立”，即用到了第二数学归纳法。也就是说数学归纳法计算行列式时，要看行列式的具体条件是适用第一数学归纳法还是第二数学归纳法。
先来看一个用第一数学归纳法的例子，如上面的例6[4]。用第一数学归纳法证明如下：
易于验算当时结论成立。
假设对结论也成立，则


由归纳假设，，从而

下面介绍一个用第二数学归纳法证明行列式的例子，
例8 [7]证明：

证明：用第二数学归纳法证明，如下：
当时，，结论成立。
当时，，结论成立。
假设的时，结论成立，则

由假设


代入前一式，得：


即对所有的一切自然数，结论成立。
1.8 范德蒙行列式
范德蒙行列式计算公式[5]：

例9[3] 计算

解：


范德蒙行列式计算公式计算行列式很简单，只要行列式结构符合范德蒙行列式结

构就可以了，但平常计算行列式时还是要注意，有些行列式结构上只是形似于范德蒙行列式结构，并不符合范德蒙行列式结构的。这往往会导致错误地计算行列式。有时有些行列式形式上看不像是范德蒙行列式，但经过一定的变形之后是范德蒙行列式，所以在计算时要十分小心。
1.9 拉普拉斯定理
拉普拉斯定理[1]：任意取定级行列式的某行（列）（），由这行（列）元素所组成的一切级子式（共有个）与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式的值。
从拉普拉斯定理可以看出，对行列式进行计算，有时还是可以把行列式进行分块处理的，然后把分成的行列式块进行乘法计算，这样也是可以求解行列式的值。这种方法也叫分块法。对此还可以进行延伸，对矩阵也是可以分块的。再进一步推广就是矩阵分块法计算行列式了。
例10[4] 计算

　解：将第n行依次与第n-1行，第n-2行，…，第2行交换位置，经过n-2次行的对换成为第2行，再将第n列依次与第n-1列，第n-2列，…，第2列交换位置成为第2列，于是取第1，2行按拉普拉斯定理展开。


1.10 辅助行列式法
辅助行列式法[4]是指在行列式的各元素中加上一个数，使得新行列式除主对角线外，其余的元素均为零，然后计算的主对角线各元素的代数余子式，由此可得
。
例11 [4]计算

解：在的各元素上加上（）后，得：



辅助行列式法也叫做元素变形法[8]，我们还可以进一步进行推广，可以把一些行列式进行元素变形，使得原本不容易计算的变得计算十分方便，再利用计算出来的行列式的值与原行列式之间的关系求出原行列式。例如行列式，经过元素变形为行列式，很容易求得的值，而且存在的与的关系，可以推导出的值。
1.11 析因法
利用多项式函数、多项式根的性质、定理等来计算行列式，这种方法称为析因法[4]，它是把行列式看成含有其中的一个字母或多个字母的多项式，经过变换后，发现它可被一些线性因子整除，也就是说可以被这些因子的乘积所整除，利用这一特性可求出行列式的值。
例11[4]，用析因法求解如下：
解：令

显然，（各列之和为0），故，是的一次因式。
又

同理可得：

因此，而。
即是的重根，又因是的次多项式，从而，其中是待定系数，由行列式可以看出的系数为1，故。

析因法有时也叫线性因子分离法[8]。
以上是常

见的一般行列式的若干计算方法，除上述的方法外，计算行列式还有很多的方法，下面只对一些特殊的抽象行列式（用字母来表示的行列式）计算方法做讨论，由于在一般的教科书上对抽象行列式的计算问题讨论的很少，但是抽象行列式的计算方法却又是很重要的内容。所以有必要对运用矩阵知识来求解抽象行列式问题作一些讨论。
2 一些计算阶抽象行列式的方法
2.1 利用行列式性质
行列式的一些性质[9]：
（1）若是阶矩阵，则。
（2）若均为阶矩阵。则。
（3）若是阶可逆矩阵，则。
例12[2] 设均为阶矩阵：且，求
1）；2）；3）。
解：1）
2）
3）





2.2 利用正交矩阵的性质
如果为级实矩阵且满足，或，则称为正交矩阵[9]。
例13[4]设
，
且满足，求。
解：由得，而
可逆，
所以


即。
2.3 利用方阵的特征值的性质及矩阵相似
存在级矩阵，使，称为的特征值[1]。
存在级可逆矩阵，使，其中为对角矩阵。则级矩阵可像相似于对角矩阵[1]。
例14[10] 设为阶正定矩阵，证明的行列式的值大于
解：因为为阶正定矩阵，即为实对称矩阵，存在正交阵，使
，
其中为的特征值。
由于为正定阵，所以，且
，
将上式两边同时取行列式，可得
的行列式的值大于。
结束语：
以上是一些常用的计算阶行列式的方法。
对于不同类型的阶行列式所采用的求法也是不同的。因此，在找到解决问题的方法之前，要正确判断阶行列式的类型，看看适合采用那种方法进行计算。
另外，阶行列式计算虽有一定的规律，但不能死搬硬套。有些题目可能有多种求法，但难易有别，解题过程中应该采用最简单的方法。而且每种求法并不都适用于多种类型的阶行列式，许多求法都有自己的适用条件和范围.只有在解决问题的过程中不断分析、总结、归纳，才能更好地掌握、运用阶行列式的计算方法。
致谢：
这次毕业论文能顺利完稿，多亏了指导老师的悉心指导和帮助，不仅提供了相关参考资料,还给我们提很多非常有用的参考建议。在此，我对指导老师以及数学系的其他所有老师表示由衷的感谢！
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