计算机数值方法第五章常微分方程数值解法精品PPT课件

定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。
欧拉法的局部截断误差：
R i y ( x i 1 ) y i 1 [ y ( x i ) h y ( x i ) h 2 2 y ( x i ) O ( h 3 ) [ y i ] h ( x i , y i ) f]
Step 2: 再将 yi1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
yi 1
yi
h 2
[
f
(
xi
,
yi )
f ( xi1,
yi1 )]
y i 1 y i h 2 f ( x i,y i) f x i 1 ,y i h f ( x i,y i) ( i 0 ,.,n . . 1 )
注：此法亦称为预测－校正法 。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比 隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它 的稳定性高于显式欧拉法。
x0
x1
y ( x 1 ) y ( x 0 ) h y ( x 0 ) y 0 h f ( x 0 ,y 0 ) 记为 y 1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
亦称为欧拉折线法
第五章 常微分方程数值解法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下， 考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差.
而前面的三种算法都是单步法
第五章 常微分方程数值解法
各种欧拉公式比较：
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单 稳定性最好 精度提高
精度提高, 显式
精度低 精度低, 计算量大
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
改进欧拉法
第五章 常微分方程数值解法
Step 1: 先用显式欧拉公式Leabharlann Baidu预测，算出 yi1 yi h f ( xi , yi )
第五章 常微分方程数值解法
是 显、隐式两种算法的平均值：
y i 1 y i h 2 [f( x i,y i) f( x i 1 ,y i 1 )] ( i 0 ,.,.n .1 )
注：的确有局部截断误差 R iy(x i 1)yi 1O (h 3)， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到 迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。
第五章 常微分方程数值解法
实际计算时，常将改进的欧拉公式写成下列形式：
k1 f (xi, yi)
k
2
f (xi h, yi hk1)
y
i1
yi
h 2
(k1
k2)
i 0 , 1 , 2 ,
第五章 常微分方程数值解法
例1 用欧拉法求初值问题
y x y2
y(0) 0
第五章 常微分方程数值解法
中点欧拉公式
中心差商近似导数
y(x1)y(x2)2hy(x0)
y (x 2 ) y (x 0 ) 2 h f(x 1 ,y (x 1 ))
x0
x1
x2
y i 1 y i 1 2 h f ( x i,y i)i 1 ,.,. n . 1
假设 yi 1y(x i 1),yiy(x i)，则可需以要导2个出初R i值yy(x 0i和 1) yy1i 启1动O (h 3) 即中点公式具有 2 阶精递度推。过程,这样的算法称为双步法，
则 该 初 值 问 题 的 解 在 a x b 上 存 在 且 唯 一 ， 而 且 连 续 依 赖 于 初 始 条 件 及 右 端 函 数 。
第五章 常微分方程数值解法
在求初值问题(5―1)的数值解时，我们通常 采用离散化方法，求在自变量x的离散点
a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b
上的准确解y(x)的近似值 y0，y1，y2，…，yn
常取离散点x0，x1，x2，…，xn为等距，即 xi+1－xi = h， (i=0,1,2,…,n-1)
h称为步长。
第五章 常微分方程数值解法
下图5.1表示在n+1个离散点上的准确解y(x)的近似值。
图 5.1
第五章 常微分方程数值解法
§2 欧拉法和改进的欧拉法
➢ 欧拉公式：
向前差商近似导数
y(x0)y(x1) hy(x0)
h2 2
y(xi)O(h3)
Ri 的主项
因此欧拉法具有 1 阶精度。
第五章 常微分方程数值解法
➢ 欧拉公式的改进：
隐式欧拉法
向后差商近似导数
y(x1)y(x1) hy(x0)
y( x1 ) y0 h f ( x1, y( x1 ))
x0
x1
yi1 yi h f ( xi1 , yi1 ) (i 0, ... , n 1)
y ( x 0 ) y 0
(5―1)
在区间［a，b］上的解为例，介 绍数值方法的基本思想。
第五章 常微分方程数值解法
设f(x，y)在带形区域 R：｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝
上，为x，y的连续函数，且对任意的y满足李 普希茨条件
|f(x，y1)－f(x，y2)|≤L|y1-y2| (5―2) 其中(x，y1)、(x，y2)∈R，L为正常数。
第五章 常微分方程数值解法
Er* ( y * )
xy1**
xf1*
r*1xy2**
xf2*
* r2
E
* r
(
x
*
)
E(x*) x*
x* x x*
第五章 常微分方程数值解法
本章要点:
欧拉法 改进的欧拉法 龙格－库塔法 线性多步法
第五章 常微分方程数值解法
第5章 常微分方程数值解法
§1 引言 §2 欧拉法和改进的欧拉法 §3 龙格－库塔法 §4 线性多步法
第五章 常微分方程数值解法
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得 到，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
隐式欧拉法的局部截断误差：
R i y(xi1)yi1 h 22 y(xi)O(h3)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
梯形公式：
第五章 常微分方程数值解法
§1 引言
在常微分方程中，已经掌握了一些典 型方程的解法。但实际问题中的微分方程 往往无法求出解析解，因此许多形式的方 程只能用数值方法求近似解，也就是求在 某些点上满足一定精度的近似解。
第五章 常微分方程数值解法
现以求一阶常微分方程初值问题
dy
d
x
f (x, y)