常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在自然科学、工程技术、经济和医学等领域中，常常会遇到一阶常微分方程初值问题：(,),,(),y f x y a x b y a y '=≤≤⎧⎨=⎩ (1) 此处f 为,x y 的已知函数，0y 是给定的初始值。
本章讨论该问题的数值解法，要求f 在区域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤<∞内连续，并对y 满足Lipschitz 条件，从而初值问题(1)有唯一的连续可微解()y y x =，且它是适定的。
1 几个简单的数值积分法1.1 Euler 方法（1）向前Euler 公式（显式Euler 公式）10(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +=+=⎧⎨=⎩(2) 其中h 为步长。
由此便可由初值0y 逐步算出一阶常微分方程初值问题(1)的解()y y x =在节点12,,x x 处的近似值12,,y y 。
该公式的局部截断误差为2()O h ，是一阶方法。
（2）向后Euler 公式（隐式Euler 公式）1110(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +++=+=⎧⎨=⎩(3) 这是一个隐格式，也是一阶方法。
这类隐格式的计算比显格式困难，一般采用迭代法求解。
首先用向前Euler 公式提供迭代初值，然后迭代计算：(0)1(1)()111(,),(,),0,1,2,n n n n k k n n n n y y hf x y y y hf x y k +++++⎧=+⎨=+=⎩ (4)1.2 梯形方法1110[(,)(,)],2(),(0,1,2,)n n n n n n h y y f x y f x y y y a n +++⎧=++⎪⎨⎪=⎩= (5) 这也是一个隐格式，是二阶方法。
一般也采用迭代法求解。
迭代公式如下：(0)1(1)()111(,),[(,)(,)],0,1,2,2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (6)1.3 改进的Euler 方法11110(,),[(,)(,)],0,1,2,,2(),n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y n y y a ++++⎧=+⎪⎪=++=⎨⎪=⎪⎩(7) 为了便于上机编程计算，(7)可改写为110(,),(,),0,1,2,,1(),2(),p n n n cn n p n p c y y hf x y y y hf x y n y y y y y a ++=+⎧⎪=+⎪⎪=⎨=+⎪⎪=⎪⎩(8) 该格式是显式，也是二阶方法。
第7章 常微分方程初值问题的数值解法
例1 函数f ( t , y ) = t y 在区域D0 = {( t , y ) | 1 ≤ t ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 4}
关于y满足Lipschitz条件，相应的Lipschitz常数可取为L = 2
3 存在性定理 定理1 设函数f ( t , y )在凸集D ⊂ R 2中有定义，若存在常数
(7.2.7)
称为显式Runge-Kutta(龙格-库塔 )方法，简称R-K方法，
其中正整数N 称为R-K方法的级，所有ci , ai , bij 都是待定 常数。
根据定义(7.2.7)，N 级R-K方法(7.9)的局部截断误差为
Rn+1 = y( t n+1 ) − y( t n ) − h∑ ci ki
dy 其斜率为 = f ( t0 , y0 ) dt ( t0 , y0 ) 由 点 斜 式 写 出 切线 方 程 dy y = y0 + ( t − t0 ) = y0 + ( t − t0 ) f ( t0 , y0 ) dt ( x0 , y )
0
等步长为h,则t1 - t0 = h, 可由切线算出 y1 ： 则 y1 = y0 + hf ( t0 , y0 ) 按此逐步计算y( tn ), 在tn +1处的值 ： yn+1 = yn + hf ( tn , yn ) y 注意： 这是“ 注意 ： 这是 “ 折 yN 线法” 而非“ 线法 ” 而非 “ 切 线法” 线法 ” 除第一个 点是曲线切线外， 点是曲线切线外 ， 其他点不是切线 y2 而是折线(如右 y1 y0 图所示)。 图所示 。
பைடு நூலகம்
则称数值解法(7.5)为显式方法。否则，称数值解法(7.3) 为隐式方法。
计算方法 常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法
[xi , xi 1 ]上积分得，
y(xi 1 ) y(xi )
xi 1
xi
f[x, y(x)]dx
(9.4 )
改用梯形方法计算其积分项，即
xi 1
x i 1 x i [f(x i , y(x i )) f(x i 1 , y(x i 1 ))] 2
xi
f[x, y(x)]dx
0 1 n1 n
… , y(xn ) (未知) 处的函数值 y(x 0 ), y(x1 ),
, yn 的近似值 y 0 , y1 ,…
y=y(x)
a=x0 x1
x2
x3
xn=b
• 相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，
步长可以相等，也可以不等。
• 本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节 点可表示为
第9章 常微分方程初值问题数值解法
§9.1 引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数的方程称 为微分方程。
自变量个数只有一个的微分方程称为常微分方 程。
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶数。 如果未知函数y及其各阶导数
y, y, … , y
(n)
都是一次的,则称其为线性的,否则称为非线性的。
• 如下是一些典型方程求解析解的基本方法 可分离变量法、 常系数齐次线性方程的解法、 常系数非齐次线性方程的解法等。
• 但能求解的常微分方程仍然是很少的，大多数
的常微分方程是不可能给出解析解。例如，一
阶微分方程
y x y
2
2
的解就不能用初等函数及其积分来表达。
• 从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主 要依靠数值解法来解决。 • 本章主要讨论一阶常微分方程初值问题
常微分方程初值问题数值解法
数值解法的必要性
实际应用需求
许多实际问题需要求解常微分方程初值问题，如物理、 化学、生物、工程等领域。
解析解的局限性
对于复杂问题，解析解难以求得或不存在，因此需要 采用数值方法近似求解。
数值解法的优势
未来发展的方向与挑战
高精度算法
研究和发展更高精度的算法，以提高数值解的准确性和稳定性。
并行计算
利用并行计算技术，提高计算效率，处理大规模问题。
自适应方法
研究自适应算法，根据问题特性自动调整计算精度和步长。
计算机技术的发展对数值解法的影响
1 2
硬件升级
计算机硬件的升级为数值解法提供了更强大的计 算能力。
它首先使用预估方法（如欧拉方法）得到一个 初步解，然后使用校正方法（如龙格-库塔方法） 对初步解进行修正，以提高精度。
预估校正方法的优点是精度较高，且计算量相 对较小，适用于各种复杂问题。
步长与误差控制
01
在离散化过程中，步长是一个重要的参数，它决定 了离散化的精度和计算量。
02
误差控制是数值逼近的一个重要环节，它通过设定 误差阈值来控制计算的精度和稳定性。
能够给出近似解的近似值，方便快捷，适用范围广。
数值解法的历史与发展
早期发展
早在17世纪，科学家就开始尝 试用数值方法求解常微分方程。
重要进展
随着计算机技术的发展，数值 解法在20世纪取得了重要进展， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
当前研究热点
目前，常微分方程初值问题的 数值解法仍有许多研究热点和 挑战，如高精度算法、并行计
软件优化
软件技术的发展为数值解法提供了更多的优化手 段和工具。
第五章 常微分方程初值问题数值解法
则有
yn 1 yn hf ( xn , yn )
( 5.2 ) Euler格式
例5.1 用Euler格式解初值问题
2x y y y y (0) 1
取步长h=0.1.
(0 x 1)
Euler格式的具体形式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1 yn yn
计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析，假定yn是准确的，即在 yn y ( xn ) 的前提下估计误差 y ( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而 局部截断误差
f ( xn , yn ) f ( xn , y ( xn )) y '( xn ) y ( xn 1 ) yn 1 y ( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn )
y ( xn ), y ( xn 1 ), 的近似值 y1 , y2 , , yn , yn 1 ,
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步 长可以相等，也可以不等.本章总是假定h为定数， 称为定步长，这时节点可表示为
xn x0 nh , n 0,1, 2,
由f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) y '( xn 1 )（在xn点Taylor展开） h2 y '( xn ) hy ''( xn ) y '''( xn ) ... 2 3 2 h h 因此yn 1 y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 4 h f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) 2 h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 3!
第9章 常微分方程初值问题数值解法
oa
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b
ab
a f ( x)dx (b a) f ( 2 )
计算方法
梯形公式
bx
右矩形公式 中矩形公式 左矩形公式
§ 欧拉方法几何意义
y y y(x)
y0 y1 y2 0 x0 x1 x2
计算方法
x
§ 隐式欧拉方法
➢隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
初 值 问 题 的 解 必 存 在 且唯 一 。
计算方法
§9.1 引言
三. 数值解法含义
所谓数值解法, 就是设法将常微分方程离散化, 建 立差分方程, 给出解在一些离散点上的近似值。
微分方程的数值解: 设方程问题的解y(x)的存在区 间是[a,b], 令a= x0< x1<…< xn =b, 其中hk=xk+1-xk, 如是等距节点h=(b-a)/n, h称为步长。
yi1 yi1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
计算方法
预估-校正法
三. 预估 — 校正法
/* predictor-corrector method */
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单
稳定性最好
精度提高
精度低
精度低, 计算量大
计算量大
精度提高, 显式
在x0 x X上的数值解法。
四. 误差估计、收敛性
和稳定性
计算方法
§9.2 简单的数值方法与基本概念
一. 欧拉（Euler）格式
设 节 点 为xi a ih (i 0,1,2 , n) 方 法 一 ：Taylor展 开 法
常微分方程初值问题的数值解法中三种算法的比较
常微分方程初值问题的数值解法中三种算法的比较
常微分方程初值问题的数值解法是数学分析中的一个重要的研究内容，众多的
算法都有助于我们更好地求解一般的初值问题，在这里我们将介绍常微分方程初值问题的三种基本算法，它们是欧拉法、改进欧拉法以及四阶龙格-库塔法。
欧拉法是常微分方程初值问题中最常用的算法，他是一种简洁而又灵活的方法，其基本思想是根据给定的常微分方程和初值，通过积分形式求解精确解，此方法解决的问题比较简单，但它的误差公式与时间步长的N次方有关，误差较大，而且容易出现严重的误差误差，当时间步长To增大时会出现误差振荡。
改进欧拉法是弥补欧拉法缺陷的一种优化算法，它使用线性插值，代替欧拉法
用积分形式计算出来的结果，从而更准确地求出结果，且误差降低，由于它对动态系统的误差有一定的抑制，使得它的运算误差相对于欧拉法是高准确度的，但在某些特殊情况下仍然可能出现误差波动的情况。
四阶龙格-库塔法是在现实生活中最常用的数值解法。
它把问题分解成5种不
同形式的积分公式，并分别交由5个层次的方法来解决，仔细把握每一步的运算，把数值舍入后再运算，虽然该法运算量大，但它的准确性更高，误差相对于其它两种方法要小得多，且具有良好的精度稳定性，具有很好的鲁棒性和适应性，可以很好地用于对解初值问题作出估计和预测。
综上，这三种数值解法都有自身的特点，欧拉法计算简单，但误差较大；改进
欧拉法的精度和误差抑制能力更强；四阶龙格-库塔法的算术精度更高，出现误差
波动的概率最低，在可靠性方面更加准确。
因此，应用的时机对于三种算法的选择就显得尤为重要。
常微分方程初值问题的数值解法
第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。
在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。
在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。
常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。
在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。
通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。
在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。
二、本章知识梳理常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-@显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ϕ在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
计算方法课件第八章常微分方程初值问题的数值解法
整体截断误差与局部截断误差的关系
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f(x ,y 1 )f(x ,y 2) L y 1y 2
且局部截断误差有界：
|R n|1 2h2M 2
(n1,2, )
则Euler法的整体截断误差n满足估计式：
ne(ba)L 0h 2L M 2(e(ba)L1)
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n ) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算y n 1 时，只用到x n 1 ,x n和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 y n 1 时，除用到 x n 1 ,x n 和 y n 以外，还要用 x n p 和 y n p (p1 ,2 k;k0) ,即前
其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，
M2 mayx(x) 。 axb
证明参见教材。
Remark：该定理表明，整体截断误差比局部截 断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。
收敛性与稳定性
收敛性定义：如果某一数值方法对于任意固定的
xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，
则称该方法收敛。 稳定性定义 定义 用一个数值方法，求解微分方程初值问 题时，对给定的步长h>0，若在计算 y n 时引入 误差 （n 也称扰动），但由此引起计算后面的 ynk(k1,2, )时的误差按绝对值均不增加，则 称这个数值方法是稳定的。
一般的显式rk方法可以写成型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多其中为常数选取这些常数的原则是要求第一式的右端在处泰勒展开后按h型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多上述公式叫做n级的rungekutta方法其局部截断误差为显然euler法是一级一阶rk方法
第一章常微分方程初值问题数值解法
（1.2.3）
其中rn,k(t)为插值余项。 代到（1.2.2）式中得
u ( tn +1 ) = u ( tn ) +
舍去余项 并用uj代替u(tj)即得
∫
tn+1 tn
Ln , k ( t ) dt + ∫ t rn , k ( t ) dt
tn+1
n
(1.2.4 (1.2.5)
Rn , k = ∫
⎡ ∑ ⎣α u
j =0
j =0
αk ≠ 0
（1.2.1）
j n+ j
⎤ − hβ j f n + j ⎦ = 0（数值解满足的差分方程）
因此称（1.2.1）为多步法 或 k-步法。 又因为(1.2.1)关于 u n + j , f n + j 是线性的，所以称为线性多步法。 为使多步法的计算能够进行，除给定的初值u0 外，还要 知道附加初值u1,u2,…,uk-1 ，这可用其它方法计算。 若 β k = 0 则称(1.2.1)是显式的； 若 β k ≠ 0 则方法（1.2.1）是隐式的。 例如，一般线性二步法可写成：
f ( t , u ( t ) ) = Ln , k +1 ( t ) + rn , k +1 ( t )
其中rn,k+1(t)为插值余项。 同理即
un +1 = un + h ∑ bk +1i f ( tn −i +1 , un −i +1 )
i =0
k +1
其中
bk +1i
=∫ ∏
−1
j =0 j ≠i
0
k +1
9、常微分方程初值问题数值解法
( k +1) yn +1
xn +1 ∫xn
− yn +1 |≤
hL 2
|
(k ) yn +1
− yn +1 |,
( 只要 hL < 1，则( 2.8)的ynk +1)收敛到(2.7)的yn +1. +1 2
三、单步法的局部截断误差与阶
一阶常微分方程初值问题(1.1)(1.2)的单步法的一般形式 yn +1 = yn + hϕ ( xn , yn , yn +1, h).
clear x=0,yn=1 %初始化 for n=1:10 yp=yn+0.1*(yn-2*x/yn); %预测 x=x+0.1; yc=yn+0.1*(yp-2*x/yp) ; yn=(yp+yc)/2 %校正 end
( 2.2)
作业： 作业：P381, 1, 2(1).
龙格—库塔 库塔(Runge-Kutta)法 §3 龙格 库塔 法
进一步 y ( xn +1 ) = y ( xn ) + ∫
xn +1 xn
f ( x, y ( x))dx,
(Байду номын сангаас.3)
∫
⇒ 其中
xn +1 xn
f ( x, y ( x))dx ≈ h ∑ ci f ( xn + λi h, y ( xn + λi h)).
yn +1 = yn + hϕ ( xn , yn , h),
i =1
r
(3.4) (3.5) 欧拉法r = 1, p = 1.改进
常微分方程初值问题的的数值解法
本章讨论常微分方程初值问题的数值解法
2
考虑一阶常微分方程的初值问题
⎧ dy ⎪ = f ( x, y ) ⎨ dx ⎪ ⎩ y (a ) = y0
x ∈ [a, b]
只要 f (x, y) 在[a, b] × R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意x∈[a, b] ，和y1， y2 ∈ R1 都有 | f ( x, y1) − f ( x, y2 ) | ≤ L| y1 − y2 | 在唯一解。 成立， 则上述问题存
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y n +1 = yn + hf ( xn , yn ), h yn +1 = yn + [ f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , y n +1 )] 2
改进的Euler方法：y0=1,
y1=y0+hf (x0, y0) =1.1, y1=1+01./2 ×[(1−2 ×0/1)+(1.1−2 ×0.1/1.1)] =1.095909, …… y11=…… y11=1.737869.
1 yn +1 = yn + h[ f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , yn +1 )] 2
12
称之为梯形公式。这是一个隐式的计算公式，欲求的yn+1需 解一个方程。
3．截断误差
定义 在假设 yn = y(xn)，即第 n 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 εn+1 = y(xn+1) − yn+1 称为局部截断误差
⎧ y n +1 = y n + k1 ⎨ ⎩k1 = hf ( xn ,y n )
常微分方程初值问题数值解法
y ( xn ) 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416
1.4351 1.4142
初值问题（2.2）有解 y 1 2 x ，按这个解析式子 算出的准确值 y ( xn ) 同近似值 y n一起列在表9-1中，两者 相比较可以看出欧拉方法的精度很差. 还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度. 假设 yn y ( xn ) ，即顶点 Pn 落在积分曲线 y y ( x) 上，那么，按欧拉方法做出的折线 Pn Pn 1 便是 y y ( x) 过点 Pn 的切线（图9-2）.
yn 1 yn hf ( xn 1 , yn 1 ),
（2.5）
称为后退的欧拉法. 后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是 关于 yn 1 的一个直接的计算公式，这类公式称作是显式的；
即
yn1 yn hf ( xn , yn ). y0 r）公式. 式（2.1）可逐步算出
y1 y0 hf ( x0 , y0 ), y2 y1 hf ( x1 , y1 ),
例1
求解初值问题
2x y y y y (0) 1. (0 x 1),
n ( xn , xn 1 ).
在 yn y ( xn ) 的前提下， f ( xn , yn ) f ( xn , y( xn )) y( xn ) . 于是可得欧拉法（2.1）的公式误差
y ( xn 1 ) yn 1 h2 h2 y( n ) y( xn ), 2 2
（1.3）
y y ( x) 理论上就可以保证初值问题（1.1），（1.2）的解 存在并且唯一.
1
所谓数值解法，就是寻求解 y ( x) 在一系列离散节点
第7讲 常微分方程初值问题数值解法
yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) n 0,1, 2,, N 1
称上述公式为向后Euler 公式。 向后Euler 公式为隐式格式，需要利用迭代法求解
10
数值分析
第7讲 常微分方程初值问题数值解法
Euler方法的几何意义
③ 图形解
y
•龙格-库塔法
o
x
2
数值分析
第7讲 常微分方程初值问题数值解法
§1 引言 初值问题及其数值解的概念
dy f ( x , y ); a x b 一阶常微分方程初值问题： d x ( ) y( x ) y 0 0
常用的一些 解析解法：
分离变量法、变量代换、 常数变易法、Lapalace变换等
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
h
2
y( x n 1 ) y( x n h) y( x n ) hy' ( x n )
y' ' ( ) h
2
2! y' ' ( x n )
y( x n ) hy' ( x n )
2!
进一步: 令
y n 1 y( x n 1 ) , y n y ( x n )
计算结果
（1）步长h=0.1的数值解比较表
x 0 0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
精确解 1 1.0048
1.0187 1.0408 1.0703 1.1065 1.1488 1.1966 1.2493 1.3066 1.3679
向前欧拉 1 1
常微分方程初值问题的数值解法1
y y(x) C
2
x
0
,X
，则欧拉方法
| R |
n
1 2
Mh
2
(1.12) 。 Back
M 其中h 为步长，
max | y ( x ) |
x0 x X
定理 1.2 设 f(x,y) 于 y 满足Lipschitz 条件， 关
L为相应的Lipschitz常数，则欧拉方法的整体截断 误差 满足
前已指出欧拉方法的稳定性问题是决定欧拉法在利 用计算机能否得到精确解的关键问题，只有稳定的算法 才可能是有用的算法。
定义1.1 如果存在正常数 c 及 h ，使对任意初
0
始值 y 0 , z 0 ，由
y n 1 y n hf ( x n , y n ) y0
与
z n 1 z0
(1.3)
这就是欧拉公式。 欧拉公式亦可由Taylor 展式得到
y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ' ( x n ) 1 2! h y " ( x n ) ...
2
y ' ( x n ) f ( x n , y ( x n ))
y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n ))
前已指出，梯形法是一个隐式格式
y n 1 y n h 2
f ( xn , yn )
f ( x n 1 , y n 1 )
(1.16)
如何求解
y n 1
，采用迭代法，其格式如下：
h ( p 1) ( p) f ( x n 1 , y n 1 ) f ( x n , y n ) y n 1 y n 2 (0) y n 1 初始猜测
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。
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§1 欧拉方法 /* Euler’s Method */
欧拉公式： 向前差商近似导数
x0 x1
y(x1) y(/* x0 ) hy( x0 ) y0 hf (x0, y0 ) Euler’s polygonal arc method*/
亦称为欧拉折线法
y( x1) y( x0 ) y( x0 ) h
a
x
而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 yi y( xi ) (i 1, ... , n) 节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ... , n 1) 为步长，通常采用等距节点， 即取 hi = h (常数)。
1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0
Ç° ½øEuler¹ «Ê½ ¾«È· ½â
0.1
0.2
0.3
0.40Biblioteka 50.60.70.8
0.9
1
欧拉公式的改进：
隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
x0 x1
向后差商近似导数
y( x1 ) y( x0 ) y( x1 ) h
y ( x ) y h f ( x , y ( x )) 1 0 1 1
y y h f ( x , y ) ( i 0, ... , n 1) 1 1 i 1 i i i
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接 Hey! Isn’t leading term of the local 得到，故称为隐式 /* the implicit */ 欧拉公式，而前者 truncation error of Euler’s method h2 y( xi ) ? 称为显式 /* explicit */ we 欧拉公式。 Seems that can make a good
2
use of it …
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1
h2 2
y( xi ) O(h3 )
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
梯形公式 /* trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
对于问题(1),要求它的数值解
就是求未知函数 y( x)在区间 [a, b]上的一系列离散点 (节点)
a x0 x1 x2 xn b
上函数值y( xk )的近似值yk (k 1,2,, n)
而yk (k 1,2,, n)就是问题 (1)的数值解
从(1)的表达式
2
h y( xi ) O(h3 ) 2
2
欧拉法具有 1 阶精度。
例1.
用前进Euler公式求解初值问题
y y 2 x y y(0) 1
0x1
取h 0.1
解:
2x 显然 f ( x , y ) y y
x0 a 0, n 10, b 1, y0 1
y f ( x , y ) y( a ) y0 a xb
-----------(1)
可以看出,求它的数值解的关键在于
y( x)数值计算问题
或者它的等价的积分方 程y( x) y0 f (t , y(t ))dt中
a x
积分 f (t , y(t ))dt的数值计算问题
记为
y1
yi1 yi h f ( xi , yi ) (i 0,..., n 1)
下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断 误差 /* local truncation error */。
若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。
定义
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提
Ri 的主项 /* leading term */ 欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O(h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
h yi 1 yi [ f ( x i , yi ) f ( x i 1 , yi 1 )] ( i 0, ... , n 1) 2
由前进Euler公式
y j 1 y j hf ( x j , y j )
y j h( y j
2xj yj
)
j 1,2 ,, n
得
20 2 x0 1 0 . 1 ( 1 ) 1 .1 y1 y0 h( y0 ) 1 y0
2 x1 2 0.1 ) 1.1918 y2 y1 h( y1 ) 1.1 0.1(1.1 1.1 y1
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
dy f ( x, y) dx y ( a ) y0 x [a , b ]
（ 1）
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存 在唯一解。
0 依此类推,有 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 [ x , y ] 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7848