Logistic模型人口增长到一定数量后-Read
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x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rx增加先快后慢
图形分析
人口总数尽管一直是增长的，但有极限值制而 不会无限增长下去，到了自然资源与环境条件 等因素所能容纳的最大人口数时便会停止增长， 这是合乎人类发展常识的。 人口总数达到极限值一半以前是加速增长时期， 此后的增长率会逐渐变小，最终达到零增长。
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
2、阻滞增长模型(Logistic模型)
3、宋健的人口模型
背景：年龄分布对于人口预测的重要性，只 考虑自然出生与死亡，不计迁移。
模型假设： 1、把研究的社会人口当成一个整体系统； 2、把表征和影响人口变化的因素都是在整个 社会人口平均意义下确定的； 3、把时间的流逝、婴儿的出生、人口的死亡 （和人口的迁移）看成人口状态变化的全部因 素。
加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
模型讨论
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足, 可以被用来做相对较长时期的人口预测,而指数增长模 型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常 被采用. 不论是指数增长模型曲线,还是阻滞增长模型曲线,它们 有一个共同的特点,即均为单调曲线. 而从我国人口预测的资料发现这样的预测结果:在直到 2030年这一段时期内,我国的人口一直将保持增加的势 头,到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿,之后, 将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线,即 说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种. 还有比指数增长模型,阻滞增长模型更好的人口预测方 法吗 ？
人口模型
主讲：刘新红
背景
人类文明发展到今天,人们越来越意识到 地球资源的有限性,我们感受到"地球在变 小",人口与资源之间的矛盾日渐突出,人 口问题已成为当前世界上被最普遍关注 的问题之一,当然人口增长规律的发现以 及人口增长的预测对一个国家制定比较 长远的发展规划有着非常重要的意义.
世界人口增长概况 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
模型建立
人口 发展 方程
F (r , t ) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口）
p(r , t ) ~ 人口密度函数 N (t ) ~ 人口总数
rm ( ) ~ 最高年龄
F (0, t ) 0, F (rm , t ) N (t )
F p(r , t ) r
人口发展方程
模型建立
由假设得 r是x的减函数 r~固有增长率(x很小时)
r ( x) r sx (r, s 0)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx (1 ) dt xm
常用的计算公式
今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
xk x0 (1 r )
k
1、指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
(1766-1834,英国经济学家和社会学家，针对 英国100多年的人口统计数据得到此模型）
模型假设
1．时刻t的人口函数是连续可微的； 2．人口的增长率（=出生率-死亡率）是常数； 3．人口数量的变化是封闭的，即人口数量的 增减只取决于人口中个体的生育和死亡。
x(t) ~时刻t的人口
x(t t ) x(t ) rt x(t )
dx rx, x(0) x0 dt
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e )
r t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
参数的确定
将模型的结果线性化后，采用最小二乘 法解决； 进行预测。
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
模型检验：
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000) x(1990) x x(1990) rx(1990)[1 x(1990) / xm ]
x(2000) 274.5
实际为281.4 (百万)
模型预测：美国2010年的人口
此模型最初由19世纪比利时社会学家P.F.Verhulst提出的 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
模型假设
1、地球上的资源有限,不妨设为1; 2、一个人的正常生存需要占用资源(这里 事实上也内在的假定了地球的极限承载人 口数有限); 3、在时刻t,人口增长的速率与当时人口数 成正比,为简单起见也假设与当时剩余资源 成正比;比例系数表示人口的固有增长率; 4、设人口数X(t)足够大,可以视做连续变 量处理,且X(t)关于t连续可微.
参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm • 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
t , 年龄[r , r dr ]人数
(r , t ) ~ 死亡率
0
xm/2
xm x
0
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rx增加先快后慢
图形分析
人口总数尽管一直是增长的，但有极限值制而 不会无限增长下去，到了自然资源与环境条件 等因素所能容纳的最大人口数时便会停止增长， 这是合乎人类发展常识的。 人口总数达到极限值一半以前是加速增长时期， 此后的增长率会逐渐变小，最终达到零增长。
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
2、阻滞增长模型(Logistic模型)
3、宋健的人口模型
背景：年龄分布对于人口预测的重要性，只 考虑自然出生与死亡，不计迁移。
模型假设： 1、把研究的社会人口当成一个整体系统； 2、把表征和影响人口变化的因素都是在整个 社会人口平均意义下确定的； 3、把时间的流逝、婴儿的出生、人口的死亡 （和人口的迁移）看成人口状态变化的全部因 素。
加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
模型讨论
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足, 可以被用来做相对较长时期的人口预测,而指数增长模 型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常 被采用. 不论是指数增长模型曲线,还是阻滞增长模型曲线,它们 有一个共同的特点,即均为单调曲线. 而从我国人口预测的资料发现这样的预测结果:在直到 2030年这一段时期内,我国的人口一直将保持增加的势 头,到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿,之后, 将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线,即 说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种. 还有比指数增长模型,阻滞增长模型更好的人口预测方 法吗 ？
人口模型
主讲：刘新红
背景
人类文明发展到今天,人们越来越意识到 地球资源的有限性,我们感受到"地球在变 小",人口与资源之间的矛盾日渐突出,人 口问题已成为当前世界上被最普遍关注 的问题之一,当然人口增长规律的发现以 及人口增长的预测对一个国家制定比较 长远的发展规划有着非常重要的意义.
世界人口增长概况 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
模型建立
人口 发展 方程
F (r , t ) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口）
p(r , t ) ~ 人口密度函数 N (t ) ~ 人口总数
rm ( ) ~ 最高年龄
F (0, t ) 0, F (rm , t ) N (t )
F p(r , t ) r
人口发展方程
模型建立
由假设得 r是x的减函数 r~固有增长率(x很小时)
r ( x) r sx (r, s 0)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx (1 ) dt xm
常用的计算公式
今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
xk x0 (1 r )
k
1、指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
(1766-1834,英国经济学家和社会学家，针对 英国100多年的人口统计数据得到此模型）
模型假设
1．时刻t的人口函数是连续可微的； 2．人口的增长率（=出生率-死亡率）是常数； 3．人口数量的变化是封闭的，即人口数量的 增减只取决于人口中个体的生育和死亡。
x(t) ~时刻t的人口
x(t t ) x(t ) rt x(t )
dx rx, x(0) x0 dt
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e )
r t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
参数的确定
将模型的结果线性化后，采用最小二乘 法解决； 进行预测。
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
模型检验：
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000) x(1990) x x(1990) rx(1990)[1 x(1990) / xm ]
x(2000) 274.5
实际为281.4 (百万)
模型预测：美国2010年的人口
此模型最初由19世纪比利时社会学家P.F.Verhulst提出的 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
模型假设
1、地球上的资源有限,不妨设为1; 2、一个人的正常生存需要占用资源(这里 事实上也内在的假定了地球的极限承载人 口数有限); 3、在时刻t,人口增长的速率与当时人口数 成正比,为简单起见也假设与当时剩余资源 成正比;比例系数表示人口的固有增长率; 4、设人口数X(t)足够大,可以视做连续变 量处理,且X(t)关于t连续可微.
参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm • 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
t , 年龄[r , r dr ]人数
(r , t ) ~ 死亡率