有效数字与运算法则
有效数字
电阻值只记录到“ 10”。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可
疑位。
6
三.有效数字的运算规则
(1)记录测量数据时,一般只保留一位可疑数字. 如滴定管读数32.47ml.
(2) 在运算中舍去多余数字时采用四舍五入法.等 于5时,如前一位为奇数,则增加1;如前是偶数则 舍去.
(3)加减运算时,计算结果有效数字的末位的位置 应与各项中绝对误差最大的那项相同. 即保留 各小数点后的数字位数应与最小者相同. 13.75 +0.0084 +1.642应为13.75+0.01+1.64
四舍、六入、五凑偶
16
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或 可疑数位。
3
有效数字的特点
（1）位数与单位变换或小数点位置无关 。 35.76cm = 0.3576m = （2）00.00的0地35位76km
0.0003576 3.005 3.000 都是四位
（3）特大或特小数用科学计数法
3.576 101
3.576 102
h 6.627 10 34 j s
4
二、有效数字的读取
进行直接测量时，由于仪器多种多样， 正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一 位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度
位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则
21 30 0 333
20 9673
20 967
可见，约简不影响计算结果。在加减法运 算中，各量可约简到其中位数最高者的下一 位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位 数最高者对齐。
11
乘、除法
有效数字数值修约及运算法则
费休氏水分测定法（P225）
费休氏试液的标定应取3份以上，3次连续标 定结果应在±1%以内，以平均值作为费休 氏试液的滴定度
滴定液（P502）
标定工作应由初标者（配制者）和复标者在相同条 件下各作平行试验3份，除另有规定外，其相对平 均偏差应不得大于0.1%；
初标平均值与复标平均值的相对偏差也不得大于 0.1%；
注意事项
要根据取样的要求，选择相应的量具。 （1） “精密称定”系指称取重量应准确到所取
重量的0.1％，可根据称量选用分析天平或半微量 分析天平；“精密量取”应选用符合国家标准的移 液管；必要时应加校正值。 （2）“称定”（或“量取”）系指称取的重量 （或量取的容量）应准确至所取重量（或容量）的 百分之一。
比如5.28 报告中应该打印数据，应为5.3
有关物质结果的正确书写
超过1%，保留一位小数，比如1.2% 小于1%，保留小数点后两位，比如0.12%
最大杂质峰面积/对照溶液主峰面积 =0.20（0.20%）----百分之一对照
或者=0.20（0.10%）-----两百分之一对照
非水溶液滴定法（P176）
数值修约及其进舍规则
例1 修约间隔为0.1
拟修约数值
修约值
1.050
1.0
0.350
0.4
数值修约及其进舍规则
例2 修约间隔为1000(103)
拟修约数值
修约值
2500
2x103
5500
6x103
例3 将下列数字修约成两位有效位数
拟修约数值 修约值
0.0385
0.038
34500
偏差不得过0.5%，如提取洗涤等操作步骤繁复者， 相对偏差不得过1.0%。
有效数字运算法则
有效数字运算法则
有效数字是科学计数法中用来表示精度的数字，这些数字对于科学研究和实验非常重要。
在进行有效数字的运算时，需要遵循一些规则，以确保计算结果的准确性和可信度。
一、加减法运算
在进行有效数字的加减法运算时，需要将所有数字都舍入到相同数量的小数位数。
例如，若要将1.234和2.56相加，因为1.234只有三位有效数字，所以需要将2.56也舍入到三位有效数字，结果为
3.79。
二、乘法运算
在进行有效数字的乘法运算时，需要将所有数字的有效数字的位数相加，结果就是运算结果的有效数字位数。
例如，若要将1.23乘以2.56，因为1.23有两位有效数字，2.56有三位有效数字，所以运算结果应该有五位有效数字，结果为3.1488。
三、除法运算
在进行有效数字的除法运算时，需要将被除数和除数的有效数字位数相加，结果就是运算结果的有效数字位数。
例如，若要将1.23除以2.56，因为1.23有两位有效数字，2.56有三位有效数字，所以运算结果应该有两位有效数字，结果为0.48。
综上所述，有效数字运算法则可以帮助我们在进行科学研究和实验时，保证计算结果的准确性和可信度。
在实际操作中，我们需要根据具体情况，灵活运用这些法则，以确保数据的精确性。
有效数字及运算法则
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大 相对误差最大的数相适应 乘除法 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的数相适应 (即与有效数字位数最少的一致 即与有效数字位数最少的一致) 即与有效数字位数最少的一致
a) 数字前 不计，数字后计入 : 0.02450 数字前0不计， 不计 b) 数字后的 含义不清楚时，最好用指数形式表 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式 用指数形式表 含义不清楚时 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) × × a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分 自然数可看成具有无限多位数 如倍数关系 可看成具有无限多位数 如倍数关系、 数关系)；常数亦可看成具有无限多位数 亦可看成具有无限多位数， 数关系 ；常数亦可看成具有无限多位数，如
异常值的取舍－Q检验法 异常值的取舍－ 检验法
• Q检验法
1、数据从小到大排列：x1，x2，…，xn-1，xn 2、求出最大值与最小值之差（极差） xn－ x1 3、算出异常值数据与邻近数据之差（邻差）： xn－ xn-1或x2 －x1 4、计算统计量Q计：（邻差除以极差）
xn − xn−1 x2 − x1 Q = 或 计= Q 计 xn − x1 xn − x1
π ,e
有效数字位数的确定
• • • • • • 1.0008，43.181 ， 0.1000，10.98% ， 0.0382，1.98×10-10 ， × 54， 0.0040 ， 0.05， 2×10-5 ， × 3600， 100 ， 5位 位 4位 位 3位 位 2位 位 1位 位 位数含糊不确定
有效数字修约与运算法则
•有效数字修约与运算法则• 1.有效数字的基本概念：•（1）有效数字是指在检验工作中所能得到有实际意义的数值,其最后一位数字欠准是允许的,这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值,即为有效数字。
•（2）有效数字的定位(数位),是指确定欠准数字的位置,这个位置确定后,其后面的数字均为无效数字。
•例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为0.1ml,如果滴定管的体积介符于20.9ml到21.0ml之间,则需估计一位数字,读出20.97ml,这个7就是个欠准的数字,这个位置确定后,它有效位数就是4个,即使其后面还有数字也只是无效数字。
•（3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。
•例如：35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或3.50×104;若有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103或3.5×104。
•（4）在其他10进位数中,有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数,例如：3.2、0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数；0.320为三位有效位数;10.00为四位有效位数;12.490为五位有效位数。
•（5）非连续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位。
例如，H2SO4中的2和4是个数。
常数л和系数等。
数2值的有效位数可视为无限多位。
每1ml××滴定液（0.1mol/L）中的0.1为名义浓度,规格项下的0.3g或“1ml:25mg”中的“0.3”、“1”、“25”均为标示量,其有效位数,也为无限多位。
即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。
•（6）pH值等对数值,其有效位数是由其对数小数点后的位数决定的,其整数部分只表明其真数的乘方次数。
（或者说真数位数决定对数小数点后位数）•如：pH=11.26 ([H+]=5.5×10-12mol/L),其有效数字只有两位。
大物实验 有效数字
3.乘方与开方 4.函数运算
对数函数 lgx结果的尾数与x的有效位数相同
例7
lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.2973 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
（3）用误不确定度决定结果的有效数字
N 58 . 3 0 . 1 cm
2
N AB /C
其中：
A 3 . 21 0 . 01 cm , B 6 . 5 0 . 2 cm , C 21 . 843 0 . 00 c
试确定N的有效数字。
解：
（1）先计算N
2 A 2 B 2 C
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字） 20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.误差和不确定度的有效数字
1. 系统误差、相对误差、修正值具有若干位可靠数字 和1位可疑数字；
如，某指针式电流表的仪器误差为1mA，零差为12mA，为2位有效数字；修正 值-12mA也是2位有效数字； 再如，重力加速度测量值 g=(9.685±0.004)m/s2, 公认值为 9.792m/s2 ，则绝 对误差-0.107m/s2为3位有效数字；相对误差Eg=-1.10%也是3位有效数字；
2.乘除法
3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
有效数字及运算法则
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
28
在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
18
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
19
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
有效数字运算规则
加减法则 乘除法则
一、加减法则
加减法：当几个数据相加减时，它们和或差的有效数字位数，应 以小数点后位数最少的数据为依据，因小数点后位数最少的数据 的绝对误差最大。例：
0.0121+25.64+1.05782=？
绝对误差 ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 在加合的结果中总的绝对误差值取决于25.64。
0.01+25.64+1.06=26.71
二、乘除法则
乘除法：当几个数据相乘除时，它们积或商的有效数字位数，应 以有效数字位数最少的数据为依据，因有效数字位数最少的数据 的相对误差最大。
例： 0.0121 × 25.64 × 1.05782=？ 相对误差 ±0.8% ±0.4% ±0.009%
结果的相对误差取决于 0.0121，因它的相对误差最大，所以， 0.0121×25.6×1.06=0.328 用计算器运算时，正确保留最后结果的有效数字。
谢 谢 大 家！
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有效数字与运算法则。在实验工作中，对任一物理量的测定，其准确度都是有限的，我
们只能以某一近似值表示之。因此测量数据的准确度就不能超过测量所允许的范围。如果任
意将近似值保留过多的位数，反而歪曲测量结果的真实性。实际上有效数字的位数就指明了
测量准确的幅度。现将有关有效数字和运算法则简述如下：
(1)记录测量数据时，一般只保留一位可疑数字。有效数字是指该数字在一个数量中所代
表的大小。例如，一滴定管的读数为32.47，其意义为十位数为3，个位数上为2，十分位上
为4，百分位上为7。从滴定管上的刻度来看，我们都知道要读到千分位是不可能的，因为
刻度只刻到十分之一，百分之一已为估计值。故在末位上，上下可能有正负一个单位出入。
这末一位数可认为不准确的或可疑的，而其前边各数所代表的数值，则均为准确测量的。通
常测量时，一般均可估计到最小刻度的十分位，故在记录一数量时，只应保留一位不准确数
字，其余数均为准确数字。我们称此时所记的数字均为有效数字。
在确定有效数字时，要注意“0”这个符号。紧接小数点后的0仅用来确定小数点的位置，
并不作为有效数字。例如0.00015g中小数点后三个0都不是有效数字。而0.150g中的小数
点后的0是有效数字，至于350mm中的0就很难说是不是有效数字，最好用指数来表示，
以10的方次前面的数字表示。如写成3.5×102mm，则表示有效数字为两位；写成 3.50×
102mm，则有效数字为三位；其余类推。
(2)在运算中舍去多余数字时采用四舍五人法。凡末位有效数字后面的第一位数大于5，则在
其前一位上增加1，小于5则舍去。等于5时，如前一位为奇数，则增加1；如前一位为偶
数则舍去。例如，对27.0235取四位有效数字时，结果为27.02；取五位有效数字时，结果
为27.024。但将27.015与27.025取为四位有效数字时，则都为27.02。
(3)加减运算时，计算结果有效数字的末位的位置应与各项中绝对误差最大的那项相同。或
者说保留各小数点后的数字位数应与最小者相同。例如13.75，0.0084，1.642三个数据相加，
若各数末位都有±1个单位的误差，则13.75的绝对误差±0.01为最大的，也就是小数点后
位数最少的是13.75这个数，所以计算结果的有效数字的末位应在小数点后第二位。
13.75 13.75
0.0084 舍去多余数后得 0.01
+)1.642 +)1.64
15.40
(4)若第一位有效数字等于8或大于8，则有效数字位数可多计l位。例如9.12实际上虽然只
有三位，但在计算有效数字时，可作四位计算。
(5)乘除运算时，所得的积或商的有效数字，应以各值中有效数字最低者为标准。
例如 2.3×0.524＝1.2
又如1.751×0.0191/91其中91的有效数字最低。但由于首位是9，故把它看成三位有效
数字其余各数都保留三位。因此上式计算结果为3.68×10－4，保留三位有效数字。
在比较复杂计算中，要先后按加减、乘除的方法，计算中间各步可保留各数值位数较以上规
则多一位，以免由于多次四舍五人引起误差的积累，对计算结果带来较大影响。但最后结果
仍只保留其应有的位数。
例如
＝＝3.4
(6)在所有计算式中，常数π、e及乘子(如)和一些取自手册的常数，可无限制的，按需
要取有效数字的位数。例如当计算式中有效数字最低者二位，则上述常数可取二位或三位。
(7)在对数计算中，所取对数位数（对数首数除外）应与真数的有效数字相同。
①真数有几个有效数字，则其对数的尾数也应有几个有效数字。如
1g 317.2＝2.5013；1g7.1×1028＝28.85
②对数的尾数有几个有效数字，则其反对数也应有几个有效数字。如
.3010＝1g0.2000；0.652＝1g4.49
(8)在整理最后结果时，要按测量的误差进行化整，表示误差的有效数字一般只取一位至
多也不超过二位，例如1.45±0.01。当误差第一位数为8或9时，只须保留一位。
任何一个物理量的数据，其有效数字的最后一位，在位数上应与误差的最后一位相对应。例
如，测量结果为1223.78±0.054，化整记为1223.78±0.05。又如，测量结果为14356±86，
化整记为(1.436±0.009)×104。
(9)计算平均值时，若为四个数或超过四个数相平均，则平均值的有效数字位数可增加
一位。