抽象函数的性质及其经典例题

抽象函数的性质及其金典例题

函数的周期性：

1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；

3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；

4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；

5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；

6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；

7、若()()()1

1

f x f x a f x -+=

+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；

8、若()()

()11

f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

函数图像的对称性：

1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2

a b x +=对称；

2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；

3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2

2a b c +⎛⎫

⎪⎝⎭

成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b

y c ad bc cx d

+=

≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b

a c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；

6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2

b a x -=对称；

7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

含有函数记号“

()f x ”有关问题解法

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号

()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学

生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量

表示原自变量x 的代数式，从而求出

()f x ，这也是证某些公式或等式常

用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知

(

)211x

f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u

f u u u

-=+=

--∴

2()1x

f x x

-=

- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换

即可求

()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知

33

11()f x x x x

+=+，求

()f x

解：∵

22211111

()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x

+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+

≥ ∴

23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

解:设

()f x =2ax bx c ++，则

22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22

222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321

,1,2222

a c a a

b

c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩

∴213()22

f x x x =

++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

解:∵

()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴

()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,