2019年中考数学试卷分类汇编：解直角三角形(含答案)

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2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题28 解直角三角形(含解析)

解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25. 过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .4. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。

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解直角三角形一、选择题1. （2018•湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）　A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．2. （2018•丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）　A．9m B．6m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．3．（2018•四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P 的距离为（）　A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB==40（海里）．故选：A．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．　4．二、填空题1. （2018•黑龙江龙东,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为　2+或2﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）　．考点：解直角三角形．.专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．解答：解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∴AD=2，∵BC=3，∴CD=，∴S△ABC=AC•BD=×（2+）×2=2+；当∠C为钝角时，如图2，过点B 作BD⊥AC，交AC 延长线于点D ，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∵BC=3，∴CD=，∴AD=2，∴AC=2﹣，∴S △ABC =AC•BD=×（2﹣）×2=2﹣．点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．2. （2018•浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a ，AC=b ，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是　sin35°=或b≥a　．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形分析：首先画BC=a ，再以B 为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C 为圆心b 为半径交AB 于点A ，然后连接AC 即可，①当AC⊥BC 时，②当b≥a 时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是：①当AC⊥BC 时，即sin35°=②当b≥a 时．故答案为：sin35°=或b≥a．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．3．（2018•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

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数学精品复习资料解直角三角形一.选择题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．：D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．2. （2016·重庆市A卷·4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE 中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．3. （2016·浙江省绍兴市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．4. （2016·重庆市B卷·4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．二.填空题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在正方形ABC D外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD=CE= a，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD=a，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD=CE=a，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．2. （2016·湖北荆州·3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为58米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′===4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）．故答案为：58．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．三.解答题1. （2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （2016·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先利用平行线的性质得到∠B=α=43°，然后利用∠B的正弦计算AB的长．【解答】解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3. （2016·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （2016·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD 可得关于AB 的方程，解方程可得．【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（2016·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB （结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x 表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（2016·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．7．（2016·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（2016·四川内江）(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。

2019年中考数学试题分项版解析汇编第期专题三角形含解析5

专题9：三角形一、选择题1.(2017天津第2题)060cos 的值等于（）A 3B ．1C ．22D ．21【答案】D. 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值可得060cos =21，故选D. 2.(2017天津第9题)如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转060得DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（）A ．E ABD ∠=∠B ．C CBE ∠=∠ C. BC AD // D ．BC AD = 【答案】C.3. (2017天津第11题)如图，在ABC ∆中，AC AB =，CE AD ,是ABC ∆的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于EP BP +最小值的是（）A ．BCB ．CE C. AD D ．AC 【答案】B. 【解析】试题分析：在ABC ∆中，AC AB =，AD 是ABC ∆的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时EP BP +最小，为EC 的长，故选B.4. （2017湖南长沙第5题）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形. 故选：B. 考点：直角三角形5.(2017山东滨州第7题)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】A.6.(2017山东滨州第8题)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为（）A．40°B．36°C．80°D．25°【答案】B.【解析】设∠B=x，因AB=AC,根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=x，因AD=CD，根据等腰三角形的性质可得∠DAC=∠C=x，因BD=BA，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BAD=∠ADB=2x，在△ABD中，根据三角形的内角和定理可得x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°，故选B.8. (2017山东滨州第11题)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1PAONBM【答案】B.9. (2017山东日照第4题)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A．B．C．D．AB CD【答案】B ．试题分析：在Rt △ABC 中，根据勾股定理求得BC=12，所以sinA=1213BC AB =，故选B ．考点：锐角三角函数的定义．10. (2017江苏宿迁第8题)如图，在Rt C ∆AB 中，C 90∠=，C 6A =cm ，C 2B =cm ．点P 在边C A 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边C B 上，从点C 向点B 移动，若点P 、Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接Q P ，则线段Q P 的最小值是A ．20cm B ．18cm C.cm D ．cm【答案】C.11. (2017山东菏泽第5题)如图，将t ABC ∆R 绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到''A B C ∆，连接'AA ，若125∠=，则'BAA ∠的度数是（）A ．55B ．60 C.65 D ．70 【答案】C.【解析】试题分析：根据旋转的性质可得∠BAC=∠B ＇A ＇C,AC=CA ＇, ∠A ＇CA=90°，即可得△ACA ＇是等腰直角三角形，∴所以∠BAC=∠B ＇A ＇C=45°-25°，即可得'BAA ∠=65，故选C.12. (2017浙江金华第3题)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（） A ．2,3,4 B ．5,7,7 C ．5,6,12 D ．10,8,6 【答案】C. 【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，可得：选项A ，2+3＞4，能组成三角形；选项B ，5+7＞7，能组成三角形；选项C ，5+6＜12，不能组成三角形；选项D ，6+8＞10，能组成三角形，故选C.13. （2017浙江湖州第3题）如图，已知在Rt C ∆AB 中，C 90∠=，5AB =，C 3B =，则cos B 的值是（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43【答案】A 【解析】试题分析：根据根据余弦的意义cosB=B ∠的邻边斜边，可得conB=BC AB =35.故选：A 考点：余弦14. (2017浙江舟山第2题)长度分别为2,7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．9 【答案】C. 【解析】试题分析：根据三角形的两边之大于第三边，两边这差小于第三边，可得7-2<x<2+7，即5<x<9，所以x 可以取6.故选C.考点：三角形的三边关系.15. (2017浙江金华第4题)在t ABC ∆R 中，90,5,3C AB BC ∠===，则tan A 的值是（） A ．34 B ．43 C.35 D ．45【答案】A. 【解析】试题分析：在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，根据勾股定理可求得AC=4，所以tanA=34BC AC =，故选A.16. （2017浙江台州第5题）如图，点P 是AOB ∠平分线OC 上一点，PD OB ⊥，垂足为D .若2PD =，则点P 到边OA 的距离是（）A ．1B ．．4 【答案】B 【解析】试题分析：过P 作PE ⊥OA 于点E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出点P 到OA 的距离是2cm. 故选：B.考点：角平分线的性质17. （2017浙江湖州第6题）如图，已知在Rt C ∆AB 中，C 90∠=，C C A =B ，6AB =，点P 是Rt C∆AB 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于（）A ．1B 32D ．2【答案】A考点：1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定与性质18. （2017浙江台州第8题）如图，已知等腰三角形,ABC AB AC =，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（）A ．AE EC =B ．AE BE = C. EBC BAC ∠=∠D ．EBC ABE ∠=∠ 【答案】C 【解析】试题分析：根据AB=AC,BE=BC ，可以得出∠ABC=∠C,∠BEC=∠C,从而得出∠ABC=∠BEC,∠A=∠EBC. 故选：C.考点：1、三角形的外角性质，2、等腰三角形的性质19. （2017浙江湖州第9题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（）【答案】C 【解析】试题分析：根据勾股定理，可判断边长之间的关系，可知构不成C 图案，能构成A 、B 、D 图案. 故选：C 考点：勾股定理二、填空题1.(2017北京第13题)如图，在ABC ∆中，M N 、分别为,AC BC 的中点.若1CMN S ∆=，则ABNM S =四边形．【答案】3.考点：相似三角形的性质.2.(2017福建第12题)如图，ABC ∆中，,D E 分别是,AB AC 的中点，连线DE ，若3DE =，则线段BC 的长等于．【答案】6【解析】∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴BC=2EF=6.3.(2017河南第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为．【答案】1或12. 【解析】试题分析：在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，可得∠B=∠C=45°，由折叠可知，BM='MB ，若使'MB C∆为直角三角形，分两种情况：①0'90MB C ∠=,由∠C=45°可得'MB ='CB ，设BM=x ，则'MB ='CB =x ，，所以=1BC =，解得x=1，即BM=1；②0'90B MC ∠=，此时点B 和点C 重合，BM=1122BC =.所以BM 的长为1或12. 考点：折叠（翻折变换）.4.（2017广东广州第14题）如图7，Rt ABC ∆中，01590,15,tan 8C BC A ∠===，则AB = ．【答案】17 【解析】试题分析：因为1515,tan 8BC BC A AC ===，所以，AC ＝8，由勾股定理，得：AB ＝17. 考点：正切的定义.5.（2017山东临沂第16题）已知AB CD ∥，AD 与BC 相交于点O .若23BO OC =，10AD =，则AO = ．【答案】4 【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理，由AB ∥CD 可得BO OAOC OD=，然后根据AD=10，可知OD=10-OA ，代入可得2103BO OA OC OA ==-，解得OA=4. 故答案为：4考点：平行线分线段成比例定理6.(2017四川泸州第16题)在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是边,AC AB 上的中线，且BD CE ⊥，垂足为O ，若2,4OD cm OE cm ==，则线段AO 的长为 cm ．【答案】【解析】试题分析：如图，由BD 和CE 分别是边,AC AB 上的中线，可得DE ∥BC ，且12DE OD OE BC OB OC === , 因BD CE ⊥，2,4OD cm OE cm ==，根据勾股定理可得，又因12DE OD OE BC OB OC ===，可得AO 并延长AO 交BC 于点M ，由BD 和CE 分别是边,AC AB 上的中线交于点M ,可知AM 也是△ABC 的边BC 上的中线，在Rt △BOC 中，根据斜边的中线等于斜边的一半可得OM= 12三角形重心的性质可得7. (2017江苏宿迁第12题)如图，在C ∆AB 中，C 90∠A B =，点D 、E 、F 分别是AB 、C B 、C A 的中点．若CD 2=，则线段F E 的长是．【答案】2. 【解析】试题分析：因在C ∆AB 中，C 90∠A B =，点D 是AB 的中点，CD 2=，根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半可得AB=4,又因，点E 、F 分别是C B 、C A 的中点，根据三角形的中位线定理可得EF=12AB=2. 8. （2017江苏苏州第17题）如图，在一笔直的沿湖道路l 上有A 、B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头A 北偏东60的方向，在码头B 北偏西45的方向，C 4A =km ．游客小张准备从观光岛屿C 乘船沿C A 回到码头A 或沿C B 回到码头B ，设开往码头A 、B 的游船速度分别为1v 、2v ，若回到A 、B 所用时间相等，则12v v = （结果保留根号）．【解析】试题分析：作CD AB ⊥ ,垂足为D6302AC CAB CD =∠=︒∴=，，在Rt BCD ∆ 中，45CBD ∠=︒,BC ∴= 开往码头A 、B 的游船速度分别为1v 、2v ，若回到A 、B 所用时间相等，∴12v v==D.考点：特殊角三角函数的应用 .9. （2017浙江湖州第14题）如图，已知在C ∆AB 中，C AB =A ．以AB 为直径作半圆O ，交C B 于点D ．若C 40∠B A =，则D A 的度数是度．【答案】140考点：圆周角定理10. (2017湖南湘潭第14题)如图，在ABC ∆中，D E 、分别是边AB AC 、的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积比:ADE ABC S S ∆∆= .【答案】41【解析】试题分析：已知D E 、分别是边AB AC 、的中点，即可得DE 是三角形的中位线，所以DE ∥BC,即可判定ADE ∆∽ABC ∆，根据相似三角形的性质可得:ADE ABCS S ∆∆=412122=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AD .11. (2017湖南湘潭第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E 点，请任意写出一组相等的线段．【答案】BC=BE 或DC=DE【解析】试题分析:已知90C ∠=°，BD 平分ABC ∠，DE 垂直平分AB ，利用角平分线性质定理可知DC=DE ；根据已知条件易证BCD ∆≌BED ∆，根据全等三角形的性质可得BC=BE.12. (2017浙江舟山第16题)一副含030和045的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，cm EF BC 12==（如图1），点G 为边)(EF BC 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从00到060的变化过程中，观察点H 的位置变化，点H 相应移动的路径长为 (结果保留根号)．【答案】【解析】试题分析：如图2和图3，在 ∠ C G F 从 0 ° 到 60 ° 的变化过程中，点H 先向AB 方向移，在往BA 方向移，直到H 与F 重合（下面证明此时∠CGF=60度），此时BH 的值最大，如图3，当F 与H 重合时，连接CF ，因为BG=CG=GF ，所以∠BFC=90度，∵∠B=30度，∴∠BFC=60度，由CG=GF 可得∠CGF=60度.∵BC=12cm ，所以BF=22，当GH ⊥DF 时，GH 有最小值，则BH 有最小值，且GF//AB ，连接DG ，交AB于点K ，则DG ⊥AB ，∵DG=FG ，∴∠DGH=45度，则（12 =3，则则点Ｈ运动的总路程为（）+[12）-（）（cm ）.考点：旋转的性质. 三、解答题1.(2017北京第19题)如图，在ABC ∆中，0,36AB AC A =∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D . 求证：AD BC =.【答案】见解析. 【解析】考点：等腰三角形性质.2. (2017北京第28题)在等腰直角ABC ∆中，090ACB ∠=，P 是线段BC 上一动点（与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M . （1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.考点：全等三角形判定，等腰三角形性质 .3. (2017天津第22题)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东064方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东045方向上的B 处，求BP 和BA 的长（结果取整数）. 参考数据：05.264tan ,44.064cos ,90.064sin 000≈≈≈，2取414.1.【答案】BP=153；BA=161. 【解析】试题分析：如图，过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，由题意可知，∠A=64°，∠B=45°，PA=120,在Rt △APC 中，求得PC 、AC 的长；在Rt △BPC 中，求得BP 、BC 的长，即可得BA 的长. 试题解析：如图，过点P 作PCAB ，垂足为C ，由题意可知，∠A=64°，∠B=45°，PA=120, 在Rt △APC 中，sin ∠A=,cos PC ACA PA PA=， ∴PC=PA ·sin ∠A=120×sin64°， AC=PA ×cos ∠A=120×cos64°，在Rt △BPC 中，sin ∠B=,tan PC PC B BP BC=，∴BP=00120sin 64153sin sin 45PC B ⨯=≈≈ BC=120sin 64tan tan 45PC PC PC B ===⨯ ∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP 的长约有153海里，BA 的长约有161海里．4. (2017福建第18题)如图，点,,,B E C F 在一条直线上，,,AB DE AC DF BE CF ===．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：利用SSS 证明△ABC 与△DEF 全等即可得.试题解析：∵BE=CF ，∴BE+EC=CF+EC ，即BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△D EF （SSS ），∴∠A=∠D.5. (2017福建第19题)如图，ABC ∆中，90,BAC AD BC ∠=⊥o，垂足为D ．求作ABC ∠的平分线，分别交,AD AD 于P ，Q 两点；并证明AP AQ =．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】作图见解析；证明见解析. 【解析】6. (2017河南第19题)如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C .此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45︒方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53︒方向.已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：4sin 535︒≈，3cos535︒≈，4tan 533︒≈，1.41≈）【答案】C 船至少要等待0.94小时才能得到救援. 【解析】试题分析：过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，可得∠CDA=90°，根据题意可知∠CDA=45°，设CD=x ，则AD=CD=x ，在Rt △BDC 中，根据三角函数求得CD 、BC 的长，在Rt △ADC 中，求得AC 的长，再分别计算出B 船到达C 船处约需时间和A 船到达C 船处约需时间，比较即可求解. 试题解析：过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，则∠CDA=90° 已知∠CDA=45°，设CD=x ，则AD=CD=x ∴BD=AD-AB=x-5在Rt △BDC 中，CD=BD ·tan53°，即x=（x-5）·tan53°∴0455tan 533204tan 53113x ⨯=≈=-- ∴BC=0042025sin 53sin 535CD x =≈÷= ∴B 船到达C 船处约需时间：25÷25=1（小时）在Rt △ADC 中，≈1.41×20=28.2∴A 船到达C 船处约需时间：28.2÷30=0.94（小时）而0.94<1，所以C 船至少要等待0.94小时才能得到救援. 考点：解直角三角形的应用.7. (2017河南第22题)如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点.（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值. 【答案】（1）PM=PN ，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，理由详见解析；（3）492. 【解析】试题分析：(1)已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得11,22PM EC PN BD ==,//PM EC ,//PN BD ,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE ，∠NPD=∠ADC ，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =，可得BD=EC ，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN ，∠DPM+∠NPD=90°，即PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形，根据旋转的性质易证△BAD ≌△CAE ，即可得BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，根据三角形的中位线定理及平行线的性质（方法可类比（1）的方法）可得PM=PN, ∠MPD=∠ECD ，∠PNC=∠DBC ，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD ，∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN ，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN 为等腰直角三角形；（3）把ADE ∆绕点A 旋转到如图的位置，此时PN=12(AD+AB)=7, PM=12(AE+AC)=7,且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM=PN ，PM PN ⊥，所以PMN ∆面积的最大值为1497722⨯⨯= .试题解析：（1）PM=PN ，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得∠BAD=∠CAE ，又AB=AC,AD=AE ∴△BAD ≌△CAE ∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是△DCE 的中位线∴PM=12CE ，且//PM CE , 同理可证PN=12BD ，且//PN BD ∴PM=PN, ∠MPD=∠ECD ，∠PNC=∠DBC ，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD ，∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN ，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN 为等腰直角三角形. (3)492. 考点：旋转和三角形的综合题.8. （2017广东广州第18题）如图10，点,E F 在AB 上，,,AD BC A B AE BF =∠=∠=.求证：ADF BCE ∆≅∆.【答案】详见解析【解析】试题分析：先将AE BF =转化为AF ＝BE ，再利用SAS 证明两个三角形全等试题解析：证明：因为AE ＝BF ，所以，AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE ，在△ADF 和△BCE 中，AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，ADF BCE ∆≅∆考点：用SAS 证明两三角形全等9. （2017广东广州第20题）如图12，在Rt ABC ∆中，0090,30,B A AC ∠=∠==（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE ∆的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．【答案】（1）详见解析；（2）10【解析】试题分析：（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编第一期专题23 直角三角形与勾股定理含解析

直角三角形与勾股定理一.选择题1. （2019?湖北十堰?3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，＝，则AE＝（CE）DBE若BA平分∠，AD＝5，2．D．4A．3B．3 C【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，2．＝∴AE ＝＝．故选：D【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．2.2019??32的正六如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为（分）浙江衢州）边形。

则原来的纸带宽为（D. 2C.B.A. 1C 【答案】【考点】等边三角形的性质BGAC ，【解析】解：如图，作⊥ABC2 的等边三角形，依题可得：△是边长为RtBGA 中，在△AB=2AG=1 ，，∵=BG，∴. 即原来的纸宽为C. 故答案为：BGACABC2的等边三角形，根据题意可得：作△⊥是边长为，结合题意标上字母，【分析】RtBGA. 中，根据勾股定理即可求得答案在△3.．（2019?浙江绍兴?4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）．D ．．BC．A【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：x，AD＝8﹣设DE＝x，则根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，＝，由勾股定理得：CD ，90°＝DCF∠＝BCE∵∠．∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，，即．＝∴CF故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．4．（2019?浙江宁波?4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积．最大正方形与直角三角形的面积和D222，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算+【分析】根据勾股定理得到cb＝a 即可．，，较短直角边为a【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b222 b＝a，+由勾股定理得，c222），+b﹣c﹣ac+ab＝a（阴影部分的面积＝c﹣bb﹣a（c﹣）＝aa a，b），宽＝较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣，﹣c）（则较小两个正方形重叠部分底面积＝aa+b 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，∴．故选：C，c，斜边长为本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b【点评】222．+b＝那么ac，4）0，C（，）（﹣0A?十堰3分）如图，平面直角坐标系中，（﹣8，），B8，4湖北20195. （? DE关于BE，，连接DE．若点DBCABy反比例函数＝的图象分别与线段，交于点）＝（k上，则OA的对称点恰好在．A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，＝的图象上，E在反比例函数y∵D.，）（﹣8 （，4）、∴ED＝﹣，＝AD ，＝∴OGEC8+＝＝4+，BE∴BD∴，＝，∴AF222在Rt△ADF中，由勾股定理：AD+AF＝DF222 +24+＝（））即：（﹣12＝﹣k解得：故选：C．【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．6 （2019?湖北孝感?3分）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）．DC ．A ．B．【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，，＝ECG∠cos＝CBE∠cos＝，∴，CG﹣CG＝5 ，∴GF＝CF﹣＝故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．7 （2019?湖南衡阳?3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）．B ．A．．CD【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝22222，根at+2a2）2S2ta﹣；当移动的距离＞a时，如图，S＝＝（a﹣t＝t﹣HAC′△据函数关系式即可得到结论；＝ABC中，∠C90°，ACBC，＝解：∵在直角三角形【解答】是等腰直角三角形，∴△ABC ，⊥∵EFBCEDAC，⊥是矩形，EFCD∴四边形．∵E是AB的中点，＝BC，EF，＝ACDE∴∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，22 a的面积＝﹣t；1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H如图222 a，2at+2）2a时，如图，S＝S＝（2a﹣t＝t﹣当移动的距离＞HAC′△选项，t的函数图象大致为C∴S关于故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．8. （2019?湖南邵阳?3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC 上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）°36．D °72．C °108．B °120．A．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．9 （2019?湖南湘西州?4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线＝，则BC的长是（∠，若cosBDC）交EFAC于点D，连接BD2 DC．．4 BA．10．82x，由AC＝12＝即可求x，进而求出BC；BC＝5【分析】设CD＝x，BD7x，则＝，BDC ＝90°，cos∠C【解答】解：∵∠设CD＝5x，BD＝7x，2x，BC∴＝，D于点AC交EF的垂直平分线AB∵．∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，2；∴BC＝．故选：D线段垂直平熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，【点评】本题考查直角三角形的性质；分线的性质是解题的关键．）不是直角三角形的为（?山东省滨州市?3分）满足下列条件时，△ABC10. （20194：5 BC：AC＝3：，＝，BC＝4AC＝5B．AB．AAB：2C．∠A：∠B：∠C＝﹣）＝03：4：5D．|cosA|+﹣（tanB【考点】直角三角形的判定及勾股定理的逆定理【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．∵，∴△ABC是直角三角形，错误；【解答】解：A.222222B.∵（3x）+（4x）＝9x+16x＝25x＝（5x），∴△ABC是直角三角形，错误；＝，∴△CABC不：4：5，∴∠3C.∵∠A：∠B：∠C＝是直角三角形，正确；2，∴∠A＝∴60°，∠B＝300∵D.|cosA﹣|+（tanB﹣）＝，°，∴∠C＝90°，∴△ABC 是直角三角形，错误；故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．11.（2019?贵州毕节?3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那）的面积为（ABCD么正方形．．D．5．B．3AC【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出2，即可得出正方形的面积．BC 是正方形，解：∵四边形ABCD【解答】°，＝90∴∠B22222 3，＝EC﹣EB＝2﹣1＝∴BC2∴正方形ABCD的面积＝BC＝3．故选：B．本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一【点评】，那定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为ca，b222 c．也考查了正方形的性质．+么ab＝边上，A＝50°，∠B＝30AB°，点D在中，∠?（12.2019?黑龙江哈尔滨3分）在△ABC 度．的度数为60°或10ACD连接CD，若△为直角三角形，则∠BCD°，根＝ACD90＝【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC90°或∠据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：如图①1，当∠ADC°时，＝90∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；°时，90＝ACD，当∠2如图②．∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60°或10；【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．13.（2019?湖北黄石?3分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC 的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．【解答】解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，＝AC＝CF，∴DF又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，°，130＝BDC∠+BCD∴∠．∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．二.填空题1. （2019?湖南邵阳?3分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，24 ＝∴小正方形的面积＝24故答案是：关键是运用了数形结合的数学思想．【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，内一△ABC，点D为cm中，∠ABCBAC=90°，AB=AC=1032.(2019，山西，分）如图，在△重合，与AC逆时针方向旋转，绕点A使AB△连接AD∠点，BAD=15°，=6cm，BD，将ABD. cm 的长为，则于点交，，连接的对应点点DEDEDEACFCF∠BAD=15°=90°由旋转可知：AD=AE，∠DAE，∠CAE=，过点【解析】A作AG⊥DE于点G CAE=60°AFD=45°；在△AEF中：∠=∠AED+∠∴∠AED AD23? =DG△ADG中：AG=在Rt2AG62?2FGGF???6,AF AFG中：在Rt△36?2AF?10CF?AC?∴10?26故答案为：3(2019，四川成都，4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射????????CD,ABC，A CBAC?DAB的最小值，则△BD线的方向平移得到，分别连接为.【解析】本题考查“将军饮马”的问题BCAB lll于点，B的平行线点作过如图，CBD，以为对称轴作点的对称点连接交直线111．??BCCAC?A?AC?BC,ABC?B,C取最小，当根据平移和对称可知三点共线时11111131BB?ABAB?3AB?，又，根据勾股定理得，值，即，故答案为111°角的三角尺按如图所示的方式放置，45，山东枣庄，4分）把两个同样大小含4.（2019，且另外三个锐角顶A其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点＝﹣，则CD．点B，C，D在同一直线上．若AB＝2【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．F，【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于°，△在RtABC中，∠B＝45 BF＝AF＝AB＝∴BC，＝AB＝2，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，＝，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝BC＝+﹣﹣CD ﹣，∴＝2BF+＝DF．故答案为：﹣【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．5. （2019?湖北天门?3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平．m14.4的高度为AB，则旗杆m9.6＝CD线上．已知【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝＝AD ＝4.8AEm，即可得出答案．＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出CD【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，＝AD＝4.8m，AE∴∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．，CD＝EF＝AE上两点，AC是对角线E.F中，ABCD?分）如图，在3?湖北武汉?2019（6.．的大小为21°＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE∠ADFDEx，＝∠ADE＝，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠【分析】设∠ADE＝xDAE，由平行四边形的性质得出2x＝∠DEC＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝AF＝AE＝，得出方程，解方程即可．63°﹣xBCA∠DCE＝∠BCD﹣∠＝，ADE＝x【解答】解：设∠°，ADF＝90∵AE＝EF，∠，＝EFDE＝AF＝AE∴∠DAE＝∠ADE＝x，，＝CD∵AE＝EF ，＝CD∴DE ，2xDCE＝∠DEC＝∴∠ABCD是平行四边形，∵四边形BC，∴AD∥x，DAE＝∠BCA＝∴∠x，＝63°﹣∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA ，63°﹣xx∴2＝°，x＝21解得：°；ADE＝21即∠°．故答案为：21本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；【点评】根据角的关系得出方程是解题的关键．，°得到△ADEA逆时针旋转60将△3分）问题背景：如图1，ABC绕点湖北武汉7 （2019?? ．＝PEAP，可推出结论：P+PC交于点DE与BC内MNG是△MG＝75°，O＝．点M6MNMNG2问题解决：如图，在△中，＝，∠O一点，则点到△．MNG2三个顶点的距离和的最小值是【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF（SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D.E.O、N四点共线时，MO+NO+GO 值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴∠AGC＝60°＝∠APG，∴∠APE＝60°，∴∠EPC＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，＝APE＝∠ACE°，∠180＝ACB∠+ACE∠+ECF°，∠180＝AEP∠+APE∠+AEP∵∠．60°，∠AED＝∠ACB，∴∠PAE＝∠ECF，在△APE和△ECF中∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D.E.O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，＝．∵MG∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，2，＝＝∴ND＝2GO+最小值为NO ，MO∴+，2故答案为本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造【点评】等边三角形是解答本题的关键．，、CPAPP，分別连结、BP8.（2019，四川巴中，4分）如图，等边三角形ABC内有一点＝24+16．＝CP10．则S+S ＝若AP6，BP＝8，BPCABP△△【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB ＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；，10＝PC′＝AP由旋转的性质可知，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，224+16PP'×AP＝＝S+S＝SS+SBP＝+×∴PABPAPBPC''APBPB'BP△△四边形△△故答案为：24+16【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．9. （2019?南京?2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm．【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．10. （2019?湖南株洲?3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E.F分别为MB.BC的中点，若EF＝1，则AB＝4．【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．【解答】解：∵E.F分别为MB.BC的中点，∴CM＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，，4＝CM2＝AB∴．4．故答案为：掌握三角形的中位线平行于本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，【点评】第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．为°，DEB＝60△ABC中，∠ACB＝90°，∠（11. 2019?山东省聊城市?3分）如图，在Rt＝BC于点M．若，连接＝BCFE并延长交AB△ABC的中位线，延长BC至F，使CF．a，则△FMB的周长为【考点】勾股定理、30°直角三角形的性质＝a，在Rt△FEC中用a表示出ABC中，求出AB＝2a，ACFE长，△【分析】在Rt并证明∠FEC＝30°，从而EM转化到MA上，根据△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB可求周长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，＝aAC．AB＝2a，∴是中位线，∵DE∴CE．＝a在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE ＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．＝．AB+FE+ BFMBAMFEBFBMEMFEBFFMB△周长＝+++＝+++＝．故答案为°直角三角形的性质、勾股定理、中位线定义，解决此题关30本题主要考查了【点评】．键是转化三角形中未知边到已知边长的线段上．三.解答题1.（2019，四川巴中，8分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A.B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为A.B.c，利用此图证明勾股定理．【分析】①通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．在△AEC与△BCD中，∴△CAE≌△BCD（AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b＝（a+b）S（a+b）∴AEDB梯形22．b+ab+a＝又∵S＝S+S+S ABCAEDBAECBCD△△梯形△2 ++ab＝abc2．+c＝ab222 b＝ab+c ∴a+ab．+222＝c．整理，得a+b主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解【点评】本题的关键是判断两三角形全等．，CFFE，分别在AD，CD上，且DE＝82. （2019?湖南长沙?分）如图，正方形ABCD，点．AF与BE相交于点G （1）求证：BE＝AF；4的长．，求AG，DE＝1（2）若AB＝【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE ＝中，由三角形面积即可得出ABE△Rt，在5＝90°，由勾股定理得出BE＝结果．ABCD是正方形，【解答】（1）证明：∵四边形CD，AD90BAE∴∠＝∠ADF＝°，AB＝＝CF∵DE＝，∴DF，AE＝，ADFBAE在△和△中，，）SAS（ADF≌△BAE∴△．∴BE＝AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，＝＝5，∴BE ＝＝BE×AGAB×AE，在Rt△ABE 中，＝．＝∴AG【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．ABC都在格点上，按要求画图：的方格纸中，点，，浙江嘉兴?8分）在6×6?3.（2019DABCD为顶点的四边形是平行四边形．，）在图1中找一个格点，，使以点，（1AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．2中仅用无刻度的直尺，把线段（2）在图ADBCBDABCDADBDACCD''，，＝'＝＝＝＝''【分析】（1）由勾股定理得：＝＝＝'＝；画出图形即可；）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．（2 【解答】解：（1）由勾股定理得：BDCDCDABBDAC，'''＝，＝＝＝＝＝ADBCAD＝；＝'＝'' 1画出图形如图所示；2）如图2（所示．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理；熟练掌握勾股定理好平行线分线段成比例定理是解题的关键．ABBCCD＝1.5米，＝1.2?10分）某挖掘机的底座高米，＝0.8米，动臂4.（2019?浙江嘉兴BCCDBCDDE 所在直线与铲斗顶点1，与斗杆顶点的固定夹角∠＝140°．初始位置如图DEAMECDEBCB会绕点，动臂）．工作时如图，测得∠3＝70°（示意图垂直地面2于点ABCD升至最高点（示意图4）转动，当点．，，在同一直线时，斗杆顶点BCABABC的度数．与（1）求挖掘机在初始位置时动臂的夹角∠D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1）问斗杆顶点米）？（2sincossincos70°≈0.34，70°≈0.94（参考数据：0.7750°≈，，50°≈0.64， 1.73）CCGAMGABCGDE，再根据平行线的性质求得结果；∥作⊥于点∥，证明（【分析】1）过点CCPDEPBBQDEQCGN，如图2作，交⊥（2）过点作于点⊥于点于点，通过解，过点DE，直角三角形求得DDHAMHCCKDHK，如图3作过点于点作⊥⊥于点，通过解直角三角形求得求得，过点DH，最后便可求得结果．CCGAMG，如图1⊥，【解答】解：（1）过点于点作AMDEABAM∵⊥⊥，，DECGAB∴∥∥，CDEDCG°，°﹣∠＝110∴∠＝180GCDBCDBCG30＝∠﹣∠°，＝∴BCGABC°；150＝°﹣∠180＝∴∠．NCPDEPBBQDEQCGC⊥，如图于点，交，过点22）过点作作于点⊥于点，（cosCPDPRtCPD，在70△中，°≈＝0.51×（米）cosBCRtBCNCN在，△中，°≈＝1.04×（米）30ABQEDPCNPQDEDP＝2.35+（米）＝+++，所以，＝KCKDHDDHAMHC⊥⊥作于点，3如图，过点，过点作于点cosDKCDRtCKD＝，×中，50°≈1.16在△（米）KHDKDH +，所以，＝＝3.16（米）DEDH＝0.8所以，（米）﹣，D的最高点比初始位置高了0.8所以，斗杆顶点米．解此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，【点评】题的关键是正确构造直角三角形．，每个小正方形的顶点在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1?7分）2019?5. （广东⌒，分别D与BC相切于点EF叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的.F．B.交AAC于点E ABC三边的长；（1）求△⌒CF）求图中由线段EB.BC.及FE所围成的阴影部分的面积．（2【答案】2221010262?26? =AC，，）由题意可知，（解：1AB===22584? BC== AD）连接2（．2，AB=ACAC由（1）可知，AB2+2=BC =90°，且是等腰直角三角形△ABC∴∠BAC⌒D为圆心的EF与BC相切于点∵以点A BC∴AD⊥152长度）BC·ADBC=求出AD （或用等面积法AB·∴ADAC==2S－∵S=S ABC△EAF扇形阴影1101022==20 S××ABC△2??12?52πS==5EAF扇形4∴S=20－5π阴影【考点】勾股定理及其逆定理，阴影面积的计算包括三角形和扇形的面积公式6. （2019?广西贵港?10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕αα＜180°时，作A′′C，记旋转角为D，当90°＜点C顺时针方向旋转得到△A′B⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．α的度数；①写出旋转角②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF ≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA+PF ＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．°．105解：旋转角为①）1（【解答】．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，＝，∴，∴＝∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，，F′A′＝CA＝CF∴．∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，＝AB＝2，∠BC′＝MCB′＝30°，MRt在△CB′中，CB，＝，′＝′M＝CB1CMB ∴＝∴AB′＝．＝+P∴A．的最小值为PF【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构．造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．α内一点，为△ABC，D中，CA＝CB，∠ACB＝7. （2019?湖北十堰?10分）如图1，△ABC α，E的对应点分别为点B，得到△CBE，点A，按逆时针方向旋转角将△CAD绕点CD 三点在同一直线上．D，E且A，α的代数式表示）；（用含CDE＝（1）填空：∠α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥，若AE于点F，然后探究线段CF，）（2如图2AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；α5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到（3）若90＝°，AC＝AG 的距离．α，即可求解；，∠DCE＝（1）由旋转的性质可得CD＝CE【分析】（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，＝，即可求解；由等边三角形的性质可得DF＝EF（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．α得到△CBE按逆时针方向旋转角绕点【解答】解：（1）∵将△CADCαDCE＝ACD∴△≌△BCE，∠∴CD＝CE＝∴∠CDE故答案为：＝）（2AEBE+CF 理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE＝＝EF∴DF∵AE＝AD+DF+EF+CFBE ∴AE＝（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，5，AC＝BC＝∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°＝＝AG8∴∵AC2＝AE2+CE2，222）CE+CE，﹣＝（∴（5）81＝CE，（不合题意舍去）7＝CE∴．若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．8. （2019?湖北天门?10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度2 y．秒，PQ＝t沿边BC向终点C运动．设运动的时间为2）4；+100（0≤t≤的取值范围：y关于t的函数解析式及t y＝25t﹣80t1（）直接写出时，求t2）当PQ＝的值；3（＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间＝路程÷速度可得出t的取值范围）；3代入（1）的结论中可得出关于将PQ＝t的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQ∥OP 可得出△BDQ∽△ODP，利用相似三角形的性质结合OB＝10可求出OD＝6，由CB∥OA可得出∠DOF＝∠OBC，在Rt△OBC中可求出sin∠OBC及cos∠OBC的值，由OF＝OD?cos∠OBC，DF＝OD?sin∠OBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．所示．1，如图E于点BC⊥PE作P）过点1（解：【解答】．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，222222 +100，5t|＝25t﹣80tPQ∴＝PE+EQ＝6+|8﹣2≤+100（0t≤4）．∴y＝25t﹣80t2）．≤t≤4（故答案为：y＝25t﹣80t+100022）32）当PQ＝，325t﹣80t+100＝（时，（2整理，得：5t﹣16t+11＝0，＝．，t 解得：t＝121＝（k≠0y）的k值不变．3（）经过点D的双曲线连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝6，BC＝8，＝＝10．∴OB，∥OPBQ∵，∽△ODP∴△BDQ∴＝＝＝，∴OD＝6．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．＝，∠cos∠OBCOBC＝＝＝＝＝，中，在Rt△OBCsin＝6×＝?，DF＝ODsin ∠OBC6OBCcosODOF∴＝?∠＝×＝，，，D∴点的坐标为（）值为k）的0≠k（＝y的双曲线D∴经过点．＝×．【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾3时＝t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ股定理，找出y关于t D的坐标．的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点O⊙O的两条切线，DC与⊙O的直径，AM和BN是⊙?9 （2019?湖北武汉8分）已知AB是两点．于D.C相切于点E，分别交AM、BN2 BC；，求证：AB＝4AD?）如图（11，求1OFC，AD ＝ADE并延长交AM于点F，连接CF．若∠＝2∠OE2（）如图2，连接图中阴影部分的面积．＝，即可得出结论；，得出，证明△OC.ODAOD∽△BCO）连接【分析】（1（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，＝，图中阴影部分的面积＝2S﹣SOB3BC由直角三角形的性质得出＝，，OBEOBC扇形△即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OC.OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，。

2019年各地中考解析版数学试卷汇编：直角三角形与勾股定理(Word版含解析)

直角三角形与勾股定理一．选择题（共12 小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙ O，AE⊥ CB交 CB的延伸线于点E，若 BA均分∠ DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A． 3 B． 3 C． 4 D．2 2．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形．则本来的纸带宽为（）A． 1 B．C．D．2 3．如图 1，长、宽均为3，高为 8 的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图2是此时的表示图，则图 2 中水面高度为（）A．B．C．D．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记录．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内．若知道图中暗影部分的面积，则必定能求出（）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和5．如图，平面直角坐标系中， A （﹣ 8， 0）， B （﹣ 8， 4）， C （0， 4），反比率函数 y ＝的图象分别与线段，交于点，，连结．若点B 对于DE 的对称点恰幸亏上，AB BCD EDEOA则 k ＝（）A ．﹣ 20B ．﹣ 16C ．﹣ 12D ．﹣ 86．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上， BE与CF 交于点G ．若BC ＝4， DE＝ AF ＝1，则GF 的长为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在直角三角形ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ BC ，E 是 AB 的中点，过点E 作的垂线，垂足分别为点 D 和点 F ，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形 CDEF 与△ ABC 的重叠部分面积为AC 和 BCA 重合时S ．则 S对于 t 的函数图象大概为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝ 90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点 F 处，线段 DF与 AB订交于点 E，则∠ BED等于（）A． 120°B． 108°C． 72°D．36°9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 12，AB的垂直均分线EF交 AC于点 D，连结 BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是（）A． 10B． 8C．4D．210．知足以下条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4， AC＝5 B．AB：BC：AC＝ 3：4： 5C．∠A：∠B：∠C＝ 3： 4： 5 D． |cos A﹣ |+ （tan B﹣2）＝ 011．如图，点E在正方形ABCD的边 AB上，若 EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A ．B ． 3C ．D ．512．如图，在△ABC 中，∠ B ＝ 50°， CD ⊥ AB 于点D ，∠ BCD 和∠ BDC 的角均分线订交于点E ，F 为边AC 的中点，CD ＝ CF ，则∠ACD +∠ CED ＝（）A ． 125°B ． 145°C ． 175°D ．190°二．填空题（共 12 小题）13．在△ ABC 中，∠ A ＝ 50°，∠ B ＝ 30°，点 D 在 AB 边上，连结CD ，若△ ACD 为直角三角形，则∠ BCD 的度数为度．14．公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创建了“赵爽弦图” ．如图，设勾＝ 6，弦 c ＝ 10，则小正方形的面积是．aABCD15．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝AC ＝ 10cm ，点 D 为△ ABC 内一点，∠ BAD ＝ 15°，＝ 6 ，连结，将△ 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与重合，点D 的对应点ADcm BD ABDAC为点 E ，连结 DE ， DE 交 AC 于点 F ，则 CF 的长为 cm ．16．如图，在边长为1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60°，将△ ABD 沿射线 BD 的方向平移获得△ A ' B ' D ' ，分别连结 A ' C ， A ' D ， B ' C ，则 A ' C +B ' C 的最小值为．17．把两个相同大小含45°角的三角尺按以下图的方式搁置，此中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角极点重合于点A ，且此外三个锐角极点B ，C ，D 在同向来线上．若AB ＝ 2，则 CD ＝．18．如图，为丈量旗杆 AB 的高度，在教课楼一楼点C 处测得旗杆顶部的仰角为 60°，在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已知＝，则CDm旗杆的高度为．AB m19．如图，在 ?ABCD 中，E 、F 是对角线 AC 上两点， AE ＝ EF ＝ CD ，∠ ADF ＝ 90°，∠ BCD ＝63°，则∠ ADE 的大小为．20．问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°获得△ADE ， DE与BC 交于点P ，可推出结论：PA +PC ＝ PE ．问题解决：如图2，在△ MNG 中， MN ＝ 6，∠ M ＝ 75°， MG ＝．点O 是△ MNG 内一点，则点O 到△ MNG 三个极点的距离和的最小值是．21．如图，等边三角形 ABC 内有一点 P ，分別连结 AP 、BP 、CP ，若 AP ＝ 6，BP ＝ 8，CP ＝ 10．则S △ ABP +S △ BPC ＝．22．无盖圆柱形杯子的睁开图以下图．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分起码有cm ．23．以下图，在 Rt △中，∠ ＝ 90°，是斜边上的中线，、 F 分别为、ABCACBCMABEMB BC的中点，若 EF ＝1，则 AB ＝．24．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， DE 为△ ABC 的中位线，延伸 BC 至F ，使＝，连结 FE 并延伸交于点．若＝，则△ 的周长为．CF BC AB M BC a FMB三．解答题（共 9 小题）25．如图，等腰直角三角板如图搁置．直角极点在直线上，分别过点、 B 作 ⊥直线C m A AEm于点 E， BD⊥直线 m于点 D．①求证： EC＝ BD；②若设△ AEC三边分别为a、 b、 c，利用此图证明勾股定理．26．如图，正方形ABCD，点 E， F 分别在 AD， CD上，且 DE＝ CF， AF与 BE订交于点 G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝ 4，DE＝ 1，求AG的长．27．在 6×6 的方格纸中，点A， B， C都在格点上，按要求绘图：（ 1）在图 1 中找一个格点D，使以点 A， B，C， D为极点的四边形是平行四边形．（ 2）在图 2 中仅用无刻度的直尺，把线段AB三均分（保存绘图印迹，不写画法）．28．某发掘机的底座高AB＝米，动臂 BC＝米， CD＝米， BC与 CD的固定夹角∠ BCD＝140°．初始地点如图1，斗杆极点 D与铲斗极点 E 所在直线 DE垂直地面 AM于点 E，测得∠CDE＝70°（表示图2）．工作时如图3，动臂 BC会绕点 B 转动，当点 A， B， C在同向来线时，斗杆极点D升至最高点（表示图4）．（ 1）求发掘机在初始地点时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（ 2）问斗杆极点D的最高点比初始地点高了多少米？（精准到0.1 米）（参照数据：sin50 °≈ 0.77 ， cos50 °≈ 0.64 ，sin70 °≈ 0.94 ，cos70 °≈ 0.34 ，≈1.73 ）29．在以下图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的极点叫格点，△ ABC的三个极点均在格点上，以点 A 为圆心的与相切于点，分别交、于点、．BC D AB AC E F（ 1）求△ ABC 三边的长；（ 2）求图中由线段 EB 、BC 、 CF 及所围成的暗影部分的面积．30．已知： △ ABC 是等腰直角三角形， ∠ BAC ＝90°，将△ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转获得△A ′B ′C ，记旋转角为 α，当 90°＜α＜ 180°时，作 A ′D ⊥AC ，垂足为 D ，A ′ D 与 B ′C 交于点 E ．（ 1）如图 1，当∠ CA ′ D ＝ 15°时，作∠ A ′ EC 的均分线 EF 交 BC 于点 F ．①写出旋转角 α 的度数；②求证： EA ′ +EC ＝ EF ；（ 2）如图 2，在（ 1）的条件下，设P 是直线 A ′D 上的一个动点，连结 PA ， PF ，若 AB＝，求线段 PA +PF 的最小值．（结果保存根号）31．如图 1，△ ABC 中， CA ＝ CB ，∠ ACB ＝α， D 为△ ABC 内一点，将△ CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 α 获得△CBE ，点 A ，D 的对应点分别为点B ，E ，且A ，D ，E 三点在同向来线上．（ 1）填空：∠CDE ＝（用含 α 的代数式表示）；（ 2）如图2，若 α＝ 60°，请补全图形，再过点C作CF ⊥ AE 于点F ，而后研究线段CF ，AE ， BE 之间的数目关系，并证明你的结论；（ 3）若 α＝ 90°， AC ＝ 5 ，且点 G 知足∠ AGB ＝ 90°， BG ＝ 6，直接写出点 C 到 AG 的距离．32．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的极点坐标分别为 O （ 0， 0），A （ 12， 0）， B（ 8， 6）， C （ 0， 6）．动点 P 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿边 OA 向终点 A 运动；动点从点B 同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边向终点C 运动．设运QBC2动的时间为 t 秒， PQ ＝ y ．（ 1）直接写出 y 对于 t 的函数分析式及 t 的取值范围：；（ 2）当 PQ ＝ 3 时，求 t 的值；（ 3）连结 OB 交 PQ 于点 D ，若双曲线 y ＝（ k ≠ 0）经过点 D ，问 k 的值能否变化？若不变化，恳求出 k 的值；若变化，请说明原因．33．已知 AB 是⊙ O 的直径， AM 和 BN 是⊙ O 的两条切线， DC 与⊙ O 相切于点 E ，分别交 AM 、BN 于 D 、 C 两点．（ 1）如图 1，求证： AB 2＝ 4AD ?BC ；（ 2）如图 2，连结 OE 并延伸交 AM 于点 F ，连结 CF ．若∠ ADE ＝2∠ OFC ，AD ＝ 1，求图中暗影部分的面积．参照答案与试题分析一．选择题（共12 小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙ O，AE⊥ CB交 CB的延伸线于点E，若 BA均分∠ DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A． 3B． 3C．4D．2【剖析】连结AC，如图，依据圆内接四边形的性质和圆周角定理获得∠1＝∠CDA，∠ 2 ＝∠ 3，从而获得∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝ 5，而后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连结AC，如图，∵BA均分∠ DBE，∴∠ 1＝∠ 2，∵∠ 1＝∠CDA，∠ 2＝∠ 3，∴∠ 3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵ AE⊥CB，∴∠ AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．应选： D．2．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形．则本来的纸带宽为（）A． 1B．C．D．2【剖析】依据正六边的性质，正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形构成，此中等边三角形的高为本来的纸带宽度，而后求出等边三角形的高即可．【解答】解：边长为 2 的正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形构成，此中等边三角形的高为本来的纸带宽度，所以本来的纸带宽度＝×2＝．应选： C．3．如图 1，长、宽均为3，高为 8 的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图2是此时的表示图，则图 2 中水面高度为（）A．B．C．D．【剖析】设DE＝x，则 AD＝8﹣ x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点 C作 CF⊥ BG于 F，由△ CDE∽△ BCF的比率线段求得结果即可．【解答】解：过点C作 CF⊥ BG于 F，以下图：设 DE＝x，则 AD＝8﹣ x，依据题意得：（ 8﹣x+8）× 3× 3＝ 3× 3×6，解得： x＝4，∴DE＝4，∵∠ E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠ BCE＝∠ DCF＝90°，∴∠ DCE＝∠ BCF，∵∠ DEC＝∠ BFC＝90°，∴△ CDE∽△ BCF，∴，即，∴CF＝．应选： A．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记录．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内．若知道图中暗影部分的面积，则必定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【剖析】依据勾股定理获得c2＝ a2+b2，依据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝ a2+b2，暗影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（ c﹣ b）＝ a2﹣ac+ab＝ a（ a+b﹣ c），较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（ c﹣ b），宽＝ a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（ a+b﹣c），∴知道图中暗影部分的面积，则必定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，应选： C．5．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0）， B（﹣8，4）， C（0，4），反比率函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D， E，连结DE．若点 B 对于DE的对称点恰幸亏OA上，则 k＝（）A．﹣ 20 B．﹣ 16 C．﹣ 12 D．﹣ 8【剖析】依据A（﹣8，0）， B（﹣8，4）， C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标， E 的纵坐标，由反比率函数的关系式，可用含有k 的代数式表示此外一个坐标，由三角形相像和对称，可用求出AF的长，而后把问题转变到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k 的值．【解答】解：过点 E 作 EG⊥ OA，垂足为 G，设点 B 对于 DE的对称点为F，连结 DF、 EF、BF，以下图：则△ BDE≌△ FDE，∴BD＝FD， BE＝FE，∠ DFE＝∠ DBE＝90°易证△ ADF∽△ GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4）， C（0，4），∴ AB＝OC＝ EG＝4， OA＝ BC＝8，∵D、E在反比率函数 y＝的图象上，∴ E（， 4）、D（﹣ 8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+， BE＝8+∴，∴ ＝，AF2 2 2在 Rt △ADF中，由勾股定理：AD+AF ＝ DF即：（﹣）2+22＝（ 4+ ）2解得： k＝﹣12应选： C．6．如图，正方形ABCD中，点 E、F 分别在边CD，AD上， BE与 CF交于点 G．若 BC＝4， DE ＝ AF＝1，则 GF的长为（）A．B．C．D．【剖析】证明△BCE≌△ CDF（ SAS），得∠ CBE＝∠ DCF，所以∠ CGE＝90°，依据等角的余弦可得 CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵ BC＝4，∴BC＝CD＝ AD＝4，∠ BCE＝∠ CDF＝90°，∵ AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴ BE ＝CF ＝ 5，在△ BCE 和△ CDF 中，，∴△ BCE ≌△ CDF （ SAS ），∴∠ CBE ＝∠ DCF ，∵∠ CBE +∠ CEB ＝∠ ECG +∠CEB ＝ 90°＝∠ CGE ，cos ∠ CBE ＝ cos ∠ ECG ＝，∴，CG ＝，∴ GF ＝CF ﹣ CG ＝5﹣ ＝，应选：．A7．如图，在直角三角形中，∠ ＝ 90°，＝，是AB 的中点，过点 E 作和ABC CAC BC EAC BC的垂线，垂足分别为点D 和点，四边形沿着方向匀速运动，点C 与点 A 重合时FCDEF CA 停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形 CDEF 与△ ABC 的重叠部分面积为S ．则 S 对于 t 的函数图象大概为（）A ．B ．C ．D ．【剖析】依据已知条件获得△ABC 是等腰直角三角形，推出四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为 a ，当挪动的距离＜ a 时，如图 1S ＝正方形的面积﹣△ EE ′ H 的面积＝ a 2﹣2；当挪动的距离＞a 时，如图 2，＝ △AC ′H ＝（ 2 ﹣ ） 2＝2﹣ 2+2 2，依据函t S S a tt at a数关系式即可获得结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ BC ，∴△ ABC 是等腰直角三角形，∵ EF ⊥BC ， ED ⊥AC ，∴四边形 EFCD 是矩形，∵ E 是 AB 的中点，∴ EF ＝ AC ， DE ＝ BC ，∴ EF ＝ED ，∴四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，如图 1 当挪动的距离＜ a 时， S ＝正方形的面积﹣△ EE ′ H 的面积＝ a 2﹣ t 2；当挪动的距离＞ a 时，如图 2， S ＝ S △AC ′ H ＝（ 2a ﹣t ） 2 ＝ t 2﹣ 2at +2a 2 ，∴ S 对于 t 的函数图象大概为 C 选项，应选： C ．8．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°，∠ B ＝36°， AD 是斜边BC 上的中线，将△ ACD沿对折，使点C 落在点F 处，线段与订交于点，则∠等于（）AD DF AB E BEDA． 120°B． 108°C． 72°D．36°【剖析】依据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠ B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝ BD＝ CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠ B＝36°，∠ DAC＝∠ C ＝ 54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠ DAC﹣∠ C＝72°．再依据折叠的性质得出∠ ADF＝∠ ADC＝72°，而后依据三角形外角的性质得出∠BED＝∠ BAD+∠ ADF＝108°．【解答】解：∵在Rt △ABC中，∠BAC＝ 90°，∠B＝36°，∴∠ C＝90°﹣∠ B＝54°．∵AD是斜边 BC上的中线，∴ AD＝BD＝ CD，∴∠ BAD＝∠ B＝36°，∠ DAC＝∠ C＝54°，∴∠ ADC＝180°﹣∠ DAC﹣∠ C＝72°．∵将△ ACD沿 AD对折，使点C落在点 F 处，∴∠ ADF＝∠ ADC＝72°，∴∠ BED＝∠ BAD+∠ ADF＝36°+72°＝108°．应选： B．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 12，AB的垂直均分线EF交 AC于点 D，连结 BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是（）A． 10B． 8C．4D．2【剖析】设CD＝5x， BD＝7x，则 BC＝2x，由 AC＝12即可求 x，从而求出BC；【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设 CD＝5x， BD＝7x，∴BC＝2 x，∵AB的垂直均分线 EF交 AC于点 D，∴ AD＝BD＝7x，∴ AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；应选： D．10．知足以下条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．＝，＝4，＝5 B．：：＝3：4：5 AB BCAC AB BC ACC．∠A：∠B：∠C＝ 3： 4： 5 D． |cos A﹣|+（tan B﹣）2＝ 0 【剖析】依照勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可获得结论．【解答】解：、∵，∴△是直角三角形，错误；A ABCB、∵（2 2 2 2 2 23x） +（ 4x）＝ 9x +16x＝ 25x＝（ 5x），∴△ABC是直角三角形，错误；、∵∠：∠ ：∠ ＝ 3：4： 5，∴∠ ＝，∴△不是C A BC C ABC直角三角形，正确；、∵ |cos ﹣|+ （ tan ﹣）2＝0，∴，∴∠＝ 60°，∠＝D A B A B30°，∴∠C＝ 90°，∴△ABC是直角三角形，错误；应选： C．11．如图，点E在正方形ABCD的边 AB上，若 EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B． 3 C．D．5【剖析】先依据正方形的性质得出∠B＝90°，而后在Rt△ BCE中，利用勾股定理得出2BC，即可得出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ B＝90°，2222 2∴BC＝ EC﹣EB＝2﹣1＝3，∴正方形ABCD的面积＝2BC＝3．应选： B．12．如图，在△ABC中，∠ B＝50°， CD⊥ AB于点D，∠ BCD和∠ BDC的角均分线订交于点E，F 为边AC的中点，CD＝ CF，则∠ACD+∠ CED＝（）A． 125°B． 145°C． 175°D．190°【剖析】依据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可获得△CDF是等边三角形，从而得到∠ ACD＝60°，依据∠BCD和∠ BDC的角均分线订交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可获得∠ ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．【解答】解：∵CD⊥ AB，F 为边 AC的中点，∴DF＝ AC＝ CF，又∵ CD＝ CF，∴CD＝DF＝ CF，∴△ CDF是等边三角形，∴∠ ACD＝60°，∵∠ B＝50°，∴∠ BCD+∠ BDC＝130°，∵∠ BCD和∠ BDC的角均分线订交于点E，∴∠ DCE+∠ CDE＝65°，∴∠ CED＝115°，∴∠ ACD+∠ CED＝60°+115°＝175°，应选： C．二．填空题（共12 小题）13．在△ABC中，∠A＝ 50°，∠B＝ 30°，点D在AB边上，连结CD，若△ ACD为直角三角形，则∠ BCD的度数为60°或 10度．【剖析】当△ ACD为直角三角形时，存在两种状况：∠ ADC＝90°或∠ ACD＝90°，依据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种状况：①如图 1，当∠ADC＝ 90°时，∵∠ B＝30°，∴∠ BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图 2，当∠ACD＝ 90°时，∵∠ A＝50°，∠ B＝30°，∴∠ ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠ BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠ BCD的度数为60°或10°；故答案为： 60°或 10；14．公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创建了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．【剖析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：∵勾a ＝ 6，弦 c ＝ 10，∴股＝＝ 8，∴小正方形的边长＝ 8﹣ 6＝ 2，∴小正方形的面积＝ 22＝ 4故答案是： 415．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝AC ＝ 10cm ，点 D 为△ ABC 内一点，∠ BAD ＝ 15°，＝ 6 ，连结，将△ 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与重合，点D 的对应点ADcm BD ABDAC为点 E ，连结 DE ， DE 交 AC 于点 F ，则 CF 的长为（10﹣2 ） cm ．【剖析】过点 A 作 AG ⊥ DE 于点 G ，由旋转的性质推出∠ AED ＝∠ ADG ＝ 45°，∠ AFD ＝60°，利用锐角三角函数分别求出 AG ， GF ， AF 的长，即可求出CF ＝ AC ﹣ AF ＝10﹣ 2．【解答】解：过点A 作 AG ⊥ DE 于点 G ，由旋转知： AD ＝AE ，∠ DAE ＝ 90°，∠ CAE ＝∠ BAD ＝ 15°，∴∠ AED ＝∠ ADG ＝ 45°，在△ AEF 中，∠ AFD ＝∠ AED +∠ CAE ＝ 60°，在 Rt △ADG 中， AG ＝ DG ＝＝ 3，在 Rt △AFG 中， GF ＝＝， AF ＝2FG ＝ 2 ，∴ CF ＝AC ﹣ AF ＝10﹣ 2，故答案为： 10﹣2 ．16．如图，在边长为 1 的菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，将△ABD沿射线BD的方向平移获得△ A' B' D'，分别连结 A' C， A' D， B' C，则 A' C+B' C的最小值为．【剖析】依据菱形的性质获得 AB＝1，∠ ABD＝30°，依据平移的性质获得1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A' C+B' C的值最小，推出四边形A′ B′＝ AB＝A′ B′CD是矩形，∠B′ A′C＝30°，解直角三角形即可获得结论．【解答】解：∵在边长为 1 的菱形ABCD中，∠ ABC＝60°，∴ AB＝1，∠ ABD＝30°，∵将△ ABD沿射线 BD的方向平移获得△A' B' D'，∴A′ B′＝ AB＝1，∠ A′B′ D＝30°，当 B′C⊥ A′ B′时， A' C+B' C的值最小，∵ AB∥A′ B′， AB＝ A′ B′， AB＝ CD， AB∥ CD，∴A′ B′＝ CD，A′ B′∥ CD，∴四边形 A′ B′CD是矩形，∠ B′ A′ C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A' C+B' C的最小值为，故答案为：．17．把两个相同大小含45°角的三角尺按以下图的方式搁置，此中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角极点重合于点A，且此外三个锐角极点B，C，D在同向来线上．若AB＝2，则CD＝﹣．【剖析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝，再利用勾股定理求出 DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC于 F，在 Rt △ABC中，∠B＝ 45°，∴BC＝ AB＝2， BF＝ AF＝AB＝，∵两个相同大小的含45°角的三角尺，∴ AD＝BC＝2，在 Rt △ADF中，依据勾股定理得，DF＝＝，∴ CD＝BF+DF﹣ BC＝+﹣ 2 ＝﹣，故答案为：﹣．18．如图，为丈量旗杆AB的高度，在教课楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点 D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝ m，则旗杆 AB的高度为m．【剖析】作DE⊥ AB于E，则∠ AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝ CD＝ m，∠CDE＝∠ DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ ACD，得出AD＝ CD＝ m，在 Rt △ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥ AB于 E，以下图：则∠ AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝ m，∠ CDE＝∠ DEA＝90°，∴∠ ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ ACB＝60°，∴∠ ACD＝30°，∴∠ CAD＝30°＝∠ ACD，∴AD＝CD＝ m，在 Rt △ADE中，∠ADE＝30°，∴ AE＝ AD＝ m，∴AB＝AE+BE＝ m m＝ m；故答案为： 14.4 ．19．如图，在 ?ABCD中，E、F是对角线AC上两点， AE＝ EF＝ CD，∠ ADF＝90°，∠ BCD＝63°，则∠ ADE的大小为21°．【剖析】设∠ ADE＝ x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ ADE＝x，DE＝AF ＝ AE＝EF，得出DE＝ CD，证出∠ DCE＝∠ DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠ BCD ﹣∠ BCA＝63°﹣ x，得出方程，解方程即可．【解答】解：设∠ADE＝ x，∵AE＝EF，∠ ADF＝90°，∴∠ DAE＝∠ ADE＝ x， DE＝AF＝AE＝ EF，∵AE＝EF＝ CD，∴ DE＝CD，∴∠ DCE＝∠ DEC＝2x，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∴∠ DAE＝∠ BCA＝ x，∴∠ DCE＝∠ BCD﹣∠ BCA＝63°﹣x，∴ 2x＝63°﹣x，解得： x＝21°，即∠ ADE＝21°；故答案为： 21°．20．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°获得△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝ PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝ 6，∠M＝ 75°，MG＝．点O是△ MNG内一点，则点O到△ MNG三个极点的距离和的最小值是 2 ．【剖析】（ 1）在BC上截取BG＝PD，经过三角形求得证得AG＝ AP，得出△ AGP是等边三角形，得出∠ AGC＝60°＝∠ APG，即可求得∠ APE＝60°，连结 EC，延伸 BC到 F，使 CF＝PA，连结 EF，证得△ ACE是等边三角形，得出AE＝ EC＝AC，而后经过证得△APE≌△ ECF （SAS），得出 PE＝ PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连结ND，可证△GMO≌△DME，可得 GO＝DE，则 MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、 E、 O、 N 四点共线时， MO+NO+GO 值最小，最小值为ND的长度，依据勾股定理先求得MF、 DF，而后求 ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（ 1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ ABG和△ ADP中，∴△ ABG≌△ ADP（ SAS），∴AG＝AP，∠ BAG＝∠ DAP，∵∠ GAP＝∠ BAD＝60°，∴△ AGP是等边三角形，∴∠ AGC＝60°＝∠ APG，∴∠ APE＝60°，∴∠ EPC＝60°，连结 EC，延伸 BC到 F，使 CF＝ PA，连结 EF，∵将△ ABC绕点 A 逆时针旋转60°获得△ ADE，∴∠ EAC＝60°，∠ EPC＝60°，∵ AE＝AC，∴△ ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝ AC，∵∠ PAE+∠ APE+∠ AEP＝180°，∠ ECF+∠ ACE+∠ ACB＝180°，∠ ACE＝∠ APE＝60°，∠AED＝∠ ACB，∴∠ PAE＝∠ ECF，在△ APE和△ ECF中∴△ APE≌△ ECF（ SAS），∴PE＝PF，∴PA+PC＝ PE；（ 2）解：如图 2：以MG为边作等边三角形△MGD，以 OM为边作等边△ OME．连结 ND，作DF⊥ NM，交 NM的延伸线于F．∵△ MGD和△ OME是等边三角形∴OE＝OM＝ ME，∠ DMG＝∠ OME＝60°， MG＝ MD，∴∠ GMO＝∠ DME在△ GMO和△ DME中∴△ GMO≌△ DME（ SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝ DE+OE+NO∴当 D、 E、 O、 M四点共线时， NO+GO+MO值最小，∵∠ NMG＝75°，∠ GMD＝60°，∴∠ NMD＝135°，∴∠ DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为 2，21．如图，等边三角形ABC内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP，若 AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16．【剖析】将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°后得△ AP ' B ，依据旋转的性质可得∠PBP ′＝∠CAB ＝ 60°， BP ＝ BP ′，可得△ BPP ′为等边三角形，可得BP ′＝ BP ＝ 8＝PP ' ，由勾股定理的逆定理可得，△ APP ′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°后得△ AP ' B ，连结 PP ′，依据旋转的性质可知，旋转角∠ PBP ′＝∠ CAB ＝60°， BP ＝ BP ′，∴△ BPP ′为等边三角形， ∴ BP ′＝ BP ＝ 8＝ PP ' ；由旋转的性质可知， AP ′＝ PC ＝ 10，在△ BPP ′中， PP ′＝ 8，AP ＝ 6，由勾股定理的逆定理得，△ APP ′是直角三角形，2×PP ' × AP ＝24+16∴ S △ABP +S △ BPC ＝ S 四边形 AP' BP ＝ S △ BP' B +S △AP' P ＝BP +故答案为： 24+1622．无盖圆柱形杯子的睁开图以下图．将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分起码有5．cm【剖析】依据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，从而得出答案．【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝ 15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣ 15＝5（ cm ）．故答案为： 5．23．以下图，在 Rt △中，∠ ＝ 90°，是斜边上的中线，、 F 分别为、ABC ACBCM AB E MB BC的中点，若 EF ＝1，则 AB ＝ 4 ．【剖析】依据三角形中位线定理求出CM ，依据直角三角形的性质求出AB ．【解答】解：∵ E 、 F 分别为 MB 、 BC 的中点，∴ CM ＝2EF ＝ 2，∵∠ ACB ＝ 90°， CM 是斜边 AB 上的中线，∴ AB ＝2CM ＝ 4，故答案为： 4．24．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， DE 为△ ABC 的中位线，延伸BC 至 F ，使 CF ＝ BC ，连结 FE 并延伸交 AB 于点 M ．若 BC ＝ a ，则△ FMB 的周长为．【剖析】在 Rt △中，求出＝ 2 ，＝，在 Rt △顶用 a 表示出 FE 长，并证ABC AB a ACaFEC明∠ FEC ＝ 30°，从而 EM 转变到 MA 上，依据△ FMB 周长＝ BF +FE +EM +BM ＝ BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB 可求周长．【解答】解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 60°，∴∠ A ＝ 30°，∴ AB ＝2a ， AC ＝ a ．∵ DE 是中位线， ∴ CE ＝a ．在 Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝ a ，∴∠ FEC＝30°．∴∠ A＝∠ AEM＝30°，∴EM＝AM．△ FMB周长＝ BF+FE+EM+BM＝ BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．故答案为．三．解答题（共9 小题）25．如图，等腰直角三角板如图搁置．直角极点C在直线 m上，分别过点A、B 作 AE⊥直线m于点 E， BD⊥直线 m于点 D．①求证： EC＝ BD；②若设△ AEC三边分别为a、 b、 c，利用此图证明勾股定理．【剖析】①经过AAS证得△ CAE≌△ BCD，依据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ ACE+∠ BCD＝90°．∵∠ ACE+∠ CAE＝90°，∴∠ CAE＝∠ BCD．在△ AEC与△ BCD中，∴△ CAE≌△ BCD（ AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知： BD＝ CE＝a CD＝ AE＝ b∴S 梯形AEDB＝（ a+b）（a+b）＝a2+ab+ b2．又∵ S 梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ ab+ c2＝ab+ c2．∴a2+ab+ b2＝ ab+ c2．整理，得 a2+b2＝c2．26．如图，正方形ABCD，点 E， F 分别在 AD， CD上，且 DE＝ CF， AF与 BE订交于点 G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝ 4，DE＝ 1，求AG的长．【剖析】（ 1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ ADF＝90°， AB＝ AD＝ CD，得出 AE＝ DF，由SAS证明△ BAE≌△ ADF，即可得出结论；（ 2 ）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠ FAD，得出∠ GAE+∠ AEG＝90°，所以∠ AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ ABE中，由三角形面积即可得出结果．【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ BAE＝∠ ADF＝90°， AB＝ AD＝CD，∵DE＝CF，∴ AE＝DF，在△ BAE和△ ADF中，，∴△ BAE≌△ ADF（ SAS），∴BE＝AF；（ 2）解：由（ 1）得：△BAE≌△ADF，∴∠ EBA＝∠ FAD，∴∠ GAE+∠ AEG＝90°，∴∠ AGE＝90°，∵AB＝4， DE＝1，∴ AE＝3，∴ BE＝＝＝5，在 Rt △ABE中，AB×AE＝BE×AG，∴ AG＝＝．27．在6×6 的方格纸中，点A， B， C都在格点上，按要求绘图：（ 1）在图（ 2）在图1 中找一个格点D，使以点 A， B，C， D为极点的四边形是平行四边形．2 中仅用无刻度的直尺，把线段AB三均分（保存绘图印迹，不写画法）．【剖析】（1）由勾股定理得：CD＝ AB＝ CD'＝＝；画出图形即可；，BD＝ AC＝BD'' ＝，AD'＝ BC＝ AD''（2）依据平行线分线段成比率定理画出图形即可．【解答】解：（ 1）由勾股定理得：CD＝ AB＝ CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝ BC＝ AD''＝；画出图形如图 1 所示；（ 2）如图 2 所示．28．某发掘机的底座高 AB ＝ 0.8 米，动臂 BC ＝米， CD ＝米， BC 与 CD 的固定夹角∠＝ 140°．初始地点如图 1，斗杆极点D 与铲斗极点E 所在直线垂直地面于点，BCDDEAM E测得∠ ＝ 70°（表示图 2）．工作时如图 3，动臂会绕点 B 转动，当点，，在CDEBCA B C同向来线时，斗杆极点D 升至最高点（表示图4）．（ 1）求发掘机在初始地点时动臂BC与AB 的夹角∠ABC 的度数．（ 2）问斗杆极点D 的最高点比初始地点高了多少米？（精准到0.1 米）（参照数据：sin50°≈ 0.77 ， cos50 °≈ 0.64 ，sin70°≈ 0.94 ，cos70 °≈ 0.34 ，≈1.73 ）【剖析】（ 1）过点 C 作 CG ⊥ AM 于点 G ，证明 AB ∥ CG ∥ DE ，再依据平行线的性质求得结果；（ 2）过点 C 作 CP ⊥ DE 于点 P ，过点 B 作 BQ ⊥ DE 于点 Q ，交 CG 于点 N ，如图 2，经过解直角三角形求得 DE ，过点 D 作 DH ⊥ AM 于点 H ，过点 C 作 CK ⊥ DH 于点 K ，如图 3，经过解直角三角形求得求得DH ，最后即可求得结果．【解答】解：（ 1）过点 C 作 CG ⊥ AM 于点 G ，如图 1，∵AB⊥AM， DE⊥AM，∴ AB∥CG∥ DE，∴∠ DCG＝180°﹣∠ CDE＝110°，∴ BCG＝∠ BCD﹣∠ GCD＝30°，∴∠ ABC＝180°﹣∠ BCG＝150°；（ 2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图 2，在 Rt △CPD中，DP＝CD×cos70 °≈ 0.51 （米），在Rt △BCN中，CN＝BC×cos30 °≈1.04 （米），所以， DE＝ DP+PQ+QE＝ DP+CN+AB＝（米），如图 3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在 Rt △CKD中，DK＝CD×sin50 °≈ 1.16（米），所以， DH＝ DK+KH＝（米），所以， DH﹣ DE＝（米），所以，斗杆极点 D的最高点比初始地点高了米．29．在以下图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的极点叫格点，△ABC 的三个极点均在格点上，以点 A 为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的暗影部分的面积．【剖析】（ 1）依据勾股定理即可求得；（ 2）依据勾股定理求得2 2 2AD，由（1）得， AB +AC＝BC，则∠BAC＝ 90°，依据S阴＝S△ABC﹣ S 扇形AEF即可求得．【解答】解：（ 1）＝＝ 2 ，ABAC＝＝2 ，BC＝＝4 ；（ 2）由（ 1）得，2+ 2 ＝2，AB AC BC∴∠ BAC＝90°，连结 AD， AD＝＝2 ，∴ S 阴＝ S△ABC﹣ S 扇形AEF＝AB?AC﹣2π ?AD＝ 20﹣ 5π．30．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ BAC＝90°，将△ ABC绕点C顺时针方向旋转获得△A′ B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′ D⊥AC，垂足为D，A′ D与B′C交于点 E．（1）如图 1，当∠CA′D＝ 15°时，作∠A′EC的均分线EF交BC于点F．①写出旋转角α 的度数；②求证： EA′+EC＝ EF；（ 2）如图 2，在（ 1）的条件下，设P 是直线 A′D 上的一个动点，连结PA， PF，若 AB ＝，求线段 PA+PF的最小值．（结果保存根号）【剖析】（ 1）①解直角三角形求出∠A′ CD即可解决问题．②连结 A′ F，设 EF交 CA′于点 O．在 EF时截取 EM＝EC，连结 CM．第一证明△ CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△ A′CE（ SAS），即可解决问题．（ 2）如图 2 中，连结A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延伸线于M．证明△A′EF≌△ A′ EB′，推出 EF＝EB′，推出 B′，F 对于 A′ E 对称，推出 PF＝ PB′，推出 PA+PF＝PA+PB′≥ AB′，求出 AB′即可解决问题．【解答】（ 1）①解：旋转角为 105°．原因：如图 1 中，∵A′ D⊥ AC，∴∠ A′ DC＝90°，∵∠CA′ D＝15°，∴∠ A′CD＝75°，∴∠ ACA′＝105°，∴旋转角为 105°．②证明：连结A′ F，设 EF交 CA′于点 O．在 EF时截取 EM＝ EC，连结 CM．∵∠ CED＝∠ A′CE+∠ CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠ CEA′＝120°，∵FE均分∠ CEA′，∴∠ CEF＝∠ FEA′＝60°，∵∠ FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠ FCO＝∠ A′EO，∵∠ FOC＝∠ A′ OE，∴△ FOC∽△ A′OE，∴＝，∴＝，∵∠ COE＝∠ FOA′，∴△ COE∽△ FOA′，∴∠ FA′ O＝∠ OEC＝60°，∴△ A′ OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝ A′ F，∵EM＝EC，∠ CEM＝60°，∴△ CEM是等边三角形，∠ECM＝60°， CM＝ CE，∵∠ FCA′＝∠ MCE＝60°，∴∠ FCM＝∠ A′CE，∴△ FCM≌△ A′CE（ SAS），∴ FM＝A′ E，∴ CE+A′ E＝ EM+FM＝ EF．（ 2）解：如图 2 中，连结A′ F， PB′， AB′，作 B′M⊥ AC交 AC的延伸线于M．由②可知，∠ EA′ F＝′ EA′ B′＝75°， A′E＝ A′ E， A′ F＝A′ B′，∴△ A′ EF≌△ A′ EB′，∴EF＝EB′，∴B′， F 对于 A′ E 对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝ PA+PB′≥ AB′，在 Rt △CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠ MCB′＝30°，∴ B′ M＝ CB′＝1， CM＝，∴AB′＝＝＝．∴ PA+PF的最小值为．31．如图 1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α 获得△ CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且 A，D，E 三点在同向来线上．（ 1）填空：∠CDE＝（用含α 的代数式表示）；（ 2）如图 2，若α＝ 60°，请补全图形，再过点C作 CF⊥ AE于点 F，而后研究线段CF，AE， BE之间的数目关系，并证明你的结论；（3）若α＝ 90°，AC＝ 5 ，且点G知足∠AGB＝ 90°，BG＝ 6，直接写出点C到AG的距离．【剖析】（ 1）由旋转的性质可得CD＝ CE，∠ DCE＝α，即可求解；（ 2）由旋转的性质可得AD＝ BE，CD＝ CE，∠ DCE＝60°，可证△ CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝ EF＝，即可求解；（ 3）分点G在AB的上方和AB的下方两种状况议论，利用勾股定理可求解．【解答】解：（ 1）∵将△绕点按逆时针方向旋转角α 获得△CADCCBE ∴△ ACD≌△ BCE，∠ DCE＝α∴CD＝CE∴∠ CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+CF原因以下：如图，∵将△ CAD绕点 C按逆时针方向旋转角60°获得△CBE∴△ ACD≌△ BCE∴AD＝BE， CD＝CE，∠ DCE＝60°∴△ CDE是等边三角形，且 CF⊥ DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（ 3）如图，当点G在 AB上方时，过点C作 CE⊥ AG于点 E，∵∠ ACB＝90°， AC＝ BC＝5，∴∠ CAB＝∠ ABC＝45°， AB＝10∵∠ ACB＝90°＝∠ AGB∴点 C，点 G，点 B，点 A四点共圆∴∠ AGC＝∠ ABC＝45°，且 CE⊥ AG∴∠ AGC＝∠ ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10， GB＝6，∠ AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝ AE2+CE2，。

2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案

一、选择题1．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是________【答案】843【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x1,DM＝MB1,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( )A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ，根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5，解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM =＝5，过点B 作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 3．（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB ＝1，∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC , ∴222AB BC AC =+， ∴△ABC 是直角三角形.4．(2019·广元)如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E.使得∠CDE ＝15°,连接BE 并延长BE 到F,使CF ＝CB,BF 与CD 相交于点H,若AB ＝1,有下列结论:①BE ＝DE;②CE+DE ＝EF;③S △DEC ＝134,④231DH HC.则其中正确的结论有( )A.①②③B.①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC ≌△DEC,∴BE ＝DE,①正确;②在EF 上取一点G,使CG ＝CE,∵∠CEG ＝∠CBE+∠BCE ＝60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC ≌△FGC,CE+DE ＝EG+GF ＝EF,②正确;③过点D 作DM ⊥AC 于点M,S △DEC ＝S △DMC －S △DME ＝13412,③正确;④tan ∠HBC ＝2－,∴HC ＝2－,DH ＝1－HC ＝－1,∴3+1DH HC,④错误.故选A.5. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c 2－a 2－b 2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c 2＝a 2－b 2,∴S 阴影＝c 2－a 2－b 2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C.6.（2019·重庆B 卷）如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 与点E ，AE =1.连接DE ，将△AED 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面，得△AEF ，连接DF .过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为( ) B. C. D.【答案】D【解析】∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AD=BD.∵BE ⊥AC ，AD ⊥BD ， ∴∠DAC =∠DBH ，4212题图F∴△D BH ≌△DAC （ASA ）. ∵DG ⊥DE ， ∴∠BDG =∠ADE ，∴△DBG ≌△DAE （ASA ）， ∴BG=AE ，DG=DE ，∴△DGE 是等腰直角三角形， ∴∠DEC =45°.在Rt △ABE 中，BE ， ∴GE =，∴DE =.∵D ，F 关于AE 对称， ∴∠FEC =∠DEC =45°，∴EF=DE=DG =，DF=GE =，∴四边形DFEG 的周长为2（+2-）=.故选D ．二、填空题221221222221127．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）.（图①）（图②）（第15题）【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰×10=5cm，设正方形阴影部分三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12x=sin45°，解得x.的边长为x cm，则5第15题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝°【答案】105°【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD ＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，cm，则图中阴影部分的面积三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为为 cm：（结果保留根号）．（第18题）【答案】第18题答图解析：，所以△ABC与△DEF 有公共内心O ，连接AD 、BE 、FC 并延长相交于点O ，过O 作OG ⊥AB 于G ，交DE 于H .则GH =，S △ABC =12OG ×（AB +AC +BC ）=12AB ×AC ，∴OG =8AB AC AB AC BC ⨯==-+-OH =8-∵DE ∥AB ，∴△ODE ∽△OAB ，∴OH DEOGAB=8DE=，解得DE =6-S阴影= S △ABC -S △DEF =(2211861022⨯--=+10．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若DA ＝1，CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为 .【答案】（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）【解析】设点P 的坐标为（x ，0），（1）当点D 在线段AB 上时，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224-，22）. ∴222)224()]224(4[-+--=CD 22)22(2416)22(+-+=2417-=， 222)22()]224([+--=x PD 222)22()224()224(2+-+--=x x 2417)28(2-+--=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+，∴2417)28(2-+--x x 3282+-+x x 2417-=，即032)216(22=+--x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯---=2322-＜0， ∴原方程无解，即符合要求的点P 不存在. （2）当点D 在线段BA 的延长线上，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224+，22-）. ∴222)]22(4[)]224(4[--++-=CD 22)224()22(++-=2417+=， 222)22()]224([-++-=x PD 222)22()224()224(2++++-=x x 2417)28(2+++-=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+， ∴2417)28(2+++-x x 3282+-+x x 2417+=，即032)216(22=++-x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯-+-=2322+＞0， ∴222322216⨯+±+=x 42322216+±+=， ∴点P 的坐标为（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）.11.(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝MC＝112. (2019·巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.【答案】【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'因为PP'＝8,P'C＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△＝S△BPP'+S△PP'C＝ABP+S△BPC.三、解答题13.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证:EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝12(AE+BD)ED＝12(a+b)(a+b),S梯形＝12ab+12c2+12ab，∴12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.。

2019-2020年中考数学试卷分类汇编解直角三角形

2019-2020年中考数学试卷分类汇编解直角三角形一．选择题ABBC：，的坡比为堤高1＝6米，迎水坡1．（2013·聊城，9，3分）河堤横断面如图所示，AB）的长为（则6米． 5米．12B． D4米 C．A考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题．ACAB的长度，然后根据1，即可求得：分析：根据迎水坡，可得的坡比为1＝：AB勾股定理求得的长度．BCABCRt1米，解答：解：△：中，，＝6＝ABACBC＝＝6，∴12．∴则＝＝＝×点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．2（2013山西，10，2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m 到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）1003332m ． B． A．100m 50m C50m D．3A【答案】．100AC3 100＝，BC，选A100【解析】依题得：AC＝，∠ABC＝30°，tan30°＝。

BC33轴正半轴与x）是第一象限内的点，其坐标是（3，m，且OP3.如图，在直角坐标系中，P4??，则】的值是【的夹角的正切值是sin35534． C． DB． A．3554A点经过旗分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从4.（2013四川绵阳，9，3DCA o，点的俯角βα为60o，又从为点测得杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角30点，且俯角CDGBC A 为的中点，则矮建筑物的高）为（若旗杆底点 D．米米．A．20米 B 米． C65153103o∠ACB=30×cot60AB=2GE=30，BC=2GC，GE=15米，米，AF=BC=AB?cot解析［］GE//AB//CD3 =10米，×tan30DF=AF?o =103 3 =10米，3米。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题28 解直角三角形(含解析)

解直角三角形一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（）A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18mC【分析】考察30o 角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE V 中，tan30AE DE =o18m AE ∴== 18 1.519.5m AB ∴=+=故选CC A2．（2019•浙江嘉兴•3分）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为（） A ．2 B ． C． D ．DE BC ==【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×＝，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．3．（2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．4 （2019•江苏泰州•10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C.D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFB C.MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5. （2019•湖南长沙•3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10.二.填空题1. （2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。

解直角三角形的应用+几何小题 --2019中考真题汇编(教师版)

001（2019•甘肃）在△ABC中，∠C＝90°，tan A，则cos B＝．解：法一：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A，设a x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B．法二：利用特殊角的三角函数值求解．∵tan A∴∠A＝30°，∵∠C＝90°∴∠B＝60°，∴cos B＝cos60°．故答案为：．002（2019•河北）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC 解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B．003（2019•重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米解：如图，设CD与EA交于F，∵1：2.4，∴设CF＝5k，AF＝12k，∴AC13k＝26，∴k＝2，∴AF＝10，CF＝24，∵AE＝6，∴EF＝6+24＝30，∵∠DEF＝48°，∴tan48° 1.11，∴DF＝33.3，∴CD＝33.3﹣10＝23.3，答：古树CD的高度约为23.3米，故选：C．004（2019•重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．005（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．006（2019•赤峰）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为8.1m．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，∴AB，∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）007（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC，BC＝30m，∴tan∠BAC，解得，AC＝75，故选：A．008（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．009（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．010（2019•大连）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A 的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．解：在Rt△BCD中，tan∠BDC，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．011（2019•辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据： 1.732）解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD，则CD100173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.073252.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．012（2019浙江杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．013（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC x，所以cos C；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC x，所以cos C；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．014（2019•湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE∠BOD74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120015（2019浙江金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO D．BD解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα，即BC＝m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC，即AO，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD，故本选项不符合题意；故选：C．016（2019浙江金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．017（2019浙江金华）（2019•金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E 时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积30×4024×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．018（2019浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为567米．（精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB400567（米）故答案是：567．019（2019•衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．解：∵sinα，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5020（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米解：作AD⊥BC于点D，则BD0.3，∵cosα，∴cosα，解得，AB米，故选：B．021（2019•温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J2，∴B′E′＝10﹣（22）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．022（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2AB2，则tan C＝．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD•DC﹣DC2﹣BD2＝2AD•DC＝2BD•DC，∵AC2﹣BC2AB2，∴2BD•DC2BD2，∴DC BD，∴tan C．故答案为．023（2019•黄石）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT 为15海里（结果保留根号）．解：由题意得，MN＝15×2＝30海里，∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，∴∠MPN＝∠PMN＝30°，∴PN＝MN＝30海里，∴PT＝PN•sin∠PNT＝15海里．故答案为：15．024（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为22海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50， 2.24）解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB1022海里．故答案为：22．025（2019•天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．026（2019•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为69m（结果保留整数， 1.73）．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，，∴4069（米），故答案为69．027（2019•孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（2020）米．解：在Rt△PBD中，tan∠BPD，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝2020，故答案为：（2020）．028（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC5．∴sin∠BAC．故选：D．029（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：∵∠α为锐角，且sinα，∴∠α＝30°．故选：A．030（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα，tanβ，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；故选：C．031（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD，∴CD＝AC•cos∠ACD＝6030．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．032（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．033（2019•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA∠ABC＝30°，∴tan∠OBC，∴BD3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB．故答案为．034（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故选：C．035（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262 m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC，则AE200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．036（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．037（2019•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．038（2019•威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．解：在△ABC中，sin A＝sin20°，∴AB，∴按键顺序为：2÷sin20＝故选：A．039（2019•枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5040（2019•淄博）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，故选：C．041（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC，∴，∴CH，∴AH，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH，故答案为．042（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD，∴AB2，∴sin B．故选：D．043（2019•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD．故答案为．044（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．045（2019•雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝．解：在Rt△ABC中，sin A，故答案为：．046（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO，∴，∴OE，∴AE，作EH⊥AB于H．∵S△ABE•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH，∴AH，∴tan∠BAD，故选：B．。

2019年中考数学真题分类解直角三角形实际问题解答题(15题)精选一(含答案)

2019年中考数学真题分类解直角三角形实际问题解答题(15题)精选一1.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．（参考数据：2=1.414，3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．2.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．3.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F 处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．4.在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．5.进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．6.小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

2019年全国中考真题分类汇编(解直角三角形)

第19讲解直角三角形知识点1 锐角三角函数的定义知识点2 特殊角的三角函数值知识点3 解直角三角形知识点4 解直角三角形的实际应用（除解答题）知识点1 锐角三角函数的定义（2019·天水）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，那么sin∠EFC的值为.（2019·自贡）（2019·潍坊）（2018·台州）（2019·烟台）（2019·咸宁）答案：D（2018·宜昌）答案：D（2019·眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为23．（2019·张家界）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD= .知识点2 特殊角的三角函数值（2019·天津）答案：C（2019·怀化）知识点3 解直角三角形（2019·绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2＝（A）A．B．C．D．（2019·湘西）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A.10B.8（2019·北京）（2019·盐城）（2019·柳州）（2019·齐齐哈尔）答案：（2019·金华）答案：C（2019·凉山州）（2019·杭州）（2019·乐山）如图6，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ,53cos =C ，则AB 边的长为 516 .（2019·淄博）（2019·广安）答案：（2019·临沂）（2019·枣庄）（2019·黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图20放置,点C在FD的延长线上,点B在ED 上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°，∠A=60°,AC=10,则CD的长度是.（2019·毕节）知识点4 解直角三角形的实际应用（除解答题）（2019·仙桃）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD=9.6m，则旗杆AB的高度为m．（2019·广西北部湾）答案：C（2019·长春）答案：A（2019·益阳）答案：C（2019·孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P 到建筑物的距离为PD=20米，则BC= 米.（2019·咸宁）答案：69（2019·河北）答案：B（2019·黄石）答案：（2019·广州）如图1，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若52tan =∠BAC ，则次斜坡的水平距离AC 为（ A ）（A ）75m （B ）50m （C ）30m （D ）12m（2019·广东中考）如图,某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD=153米,在实验楼顶部B 点测得教学楼顶部A 点的仰角是30°,底部C 点的俯角是45°,则教学楼AC 的高度是（15+15√3）米(结果保留根号).（2019·杭州）（2019·荆州）（2019·长沙）答案：D（2019·温州）答案：B（2019·温州）答案：（2019·湖州）答案：120（2019·威海）（2019·宁波）答案：566α=时，人字梯顶端离地面的高度AD是（2019·衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米.当50≈≈≈）.米（结果精确到0.1m.参考数据：sin500.77,cos500.64,tan50 1.19（2019·绍兴）答案：A（2019·泰安）（2019·重庆A卷）（2019·重庆B卷）（2019·德州）答案：1.02（2019·枣庄）。

2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案

一、选择题1．(2019 ·广元 ) 如图 , △ ABC中, ∠ABC＝90°,BA＝BC＝2, 将△ ABC绕点 C 逆时针旋转 60°获得2△DEC,连结 BD,则 BD的值是 ________【答案】8 4 3【分析】连结 AD,过点 D 作 DM⊥BC于点 M,DN⊥AC于点 N,易得△ ACD是等边三角形 , 四边形 BNDM是正方形 , 设 CM＝x, 则 DM＝MB＝x+2, ∵BC＝2, ∴CD＝AC＝2 2 , ∴在 Rt△MCD中, 由勾股定理可求得 ,x ＝ 3 1,DM＝MB＝2 2 23 1 ,∴在Rt△BDM中,BD ＝MD+MB＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进步行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图 2 是此时的表示图，则图 2 中水面高度为( )A. 24B. 32C. 12 34D. 20 3417 17 5 5【答案】 A【分析】如下图：设 DM＝x，则 CM＝8﹣x，依据题意得：（8﹣x+8）× 3×3＝3×3×5，解得： x＝4，∴ DM＝6，∵∠ D＝90°，由勾股定理得： BM＝B D 2DM 24232＝5，过点 B 作 BH⊥AH，∵∠ HBA+∠ABM＝∠ ABM+∠ABM＝90°，∴∠ HBA+＝∠ ABM，因此 Rt△ABH∽△ MBD，∴BH BD，即BH 3，解得BH＝24，即水面高度为24．AB BM855 53．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC、BC，则△ ABC必定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】 B【分析】如下图，∵A M=MN=2，NB＝1，∴A B=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴ AB2 52 25， AC2 42 16 ， BC2 32 9 ,∴AC2 BC2 AB2，∴△ ABC是直角三角形 .4．(2019 ·广元 ) 如图 , 在正方形 ABCD的对角线 AC上取一点 E. 使得∠ CDE＝15°, 连接 BE并延伸BE到 F, 使 CF＝CB,BF与 CD订交于点 H,若 AB＝1, 有以下结论 : ①BE＝DE;②CE+DE ＝EF;③S ＝ 1 3 , ④DH2 3 1.则此中正确的结论有( )△DEC4 12 HCA. ①②③B. ①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】 A【分析】①利用正方形的性质, 易得△ BEC≌△ DEC,∴BE＝DE,①正确 ; ②在 EF上取一点 G,使 CG＝CE,∵∠ CEG＝∠ CBE+∠BCE＝60° , ∴△ CEG为等边三角形 , 易得△ DEC≌△ FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF, ②正确 ; ③过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝1 3, ③正确 ; ④ tan ∠ HBC＝ 2 －3,∴HC＝2－ 3 ,DH＝1－HC＝ 3 －1,∴4 12DH3+1 ,④错误.应选A.HC5.(2019 ·宁波 ) 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一 , 在我国古算书《周髀算经》中早有记录 . 如图 1, 以直角三角形的各边分别向外作正方形 , 再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内 . 若知道图中暗影部分的面积 , 则必定能求出A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和【答案】 C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大挨次为:a,b,c, 则 S 暗影＝ c2－ a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c 2＝a2－b2,∴S暗影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠, 即S阴影＝S 重叠 , 应选 C.6.（2019·重庆 B 卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点 E，AE=1.连结 DE，将△ AED沿直线 AE翻折至△ ABC所在的平面，得△AEF，连结 DF.过点 D作 DG⊥DE交 BE于点 G.则四边形 DFEG的周长为()B. 4 2C. 2 2 4D. 3 2 2AEG FBD C12题图【答案】 D【分析】∵∠ ABC=45°， AD⊥BC，∴△ ABC是等腰直角三角形，∴A D=BD.∵B E⊥AC， AD⊥BD，∴∠ DAC=∠ DBH，∴△ D BH≌△DAC（ASA）.∵D G⊥DE，∴∠ BDG=∠ ADE，∴△ DBG≌△ DAE（ASA），∴B G=AE，DG=DE，∴△ DGE是等腰直角三角形，∴∠ DEC=45°.在 Rt△ABE中，BE= 3212 2 2，∴GE=2 2 1，2∴DE=22 .∵D，F 对于AE对称，∴∠ FEC=∠ DEC=45°，2∴EF=DE=DG22 ，DF=GE2 2 1，∴四边形的周长为 2（2 2 1 +2-2）=3 2+2.应选D．DFEG2 二、填空题7．（2019·苏州） “七巧板”是我们先人的一项优秀创建．能够拼出很多风趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7 块图形之一的正方形边长为cm （结果保存根号） .（图①）（图②）（第 15 题）【答案】5 22【分析】此题考察了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为 1×10=5cm ，设正方形暗影部分2的边长为 x cm ，则 x =sin45 °= 2 ，解得 x = 5 2 ，故答案为 5 2 .5 22 2第 15 题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中， AB∥ CD，连结 AC，BD.若∠ ACB＝90°， AC＝BC, AB＝BD, 则∠ADC＝°【答案】 105°【分析】过点 D作 DE⊥ AB于点 E，过点 C作 CF⊥ AB垂足为 F，由∠ ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得 CF为中线，进而推出2CF＝AB，由 AB∥ CD得 DE＝CF，由 AB＝BD得 BD＝2DE，在 Rt△DEB中利用三角函数可得∠ ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有 45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中暗影部分的面积为cm ：（结果保存根号）．（第 18 题）【答案】 10+12 2第 18 题答图分析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2 cm ，因此△ ABC与△ DEF 有公共心里 O ，连结 AD 、BE 、FC 并延伸订交于点 O ，过 O 作 OG ⊥AB 于G ，交 DE 于 H .则 GH =2 ， S= 1 OG × （ AB +AC +BC ） = 1△ABC22AB AC 8 8 2 ，∴ OH =8 5 2，∵AB AC BC8 8 8 48 2AB × AC ， ∴ OG =∵DE ∥AB ，∴△ ODE ∽△ OAB ，∴OHDE ∴ 8-5 2 DE ，解得 DE =6- 2 2 ，OGAB 8-4 2 8S 暗影 = S △ABC - S △DEF = 1821 212 2.622102210．（2019·江西）在平面直角坐标系中， A ， B ，C 三点的坐标分别为 (4 ，0) 、(4 ，4) ，(0 ，4) ，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA ＝1，CP ⊥DP 于点 P ，则点 P的坐标为.【答案】（16 22 32 2 ，0）或（ 16 22 32 2，0）44【分析】设点P 的坐标为（ x，0），（ 1）当点 D 在线段 AB上时，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 ( 4 2 )2 ( 2 )2 1642( 2 )2 1742，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2(4 2)x (4 2 )2 ( 2 )2 x2 (8 2) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2 ) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (162)]2 4 2 32 =232 2 ＜0，∴原方程无解，即切合要求的点P不存在 .（ 2）当点 D 在线段 BA的延伸线上，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 [ 4 ( 2)]2 ( 2 )2 (4 2 )2 17 42，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2( 4 2) x (4 2 )2 ( 2)2 x2 (8 2 ) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (16 2)]2 4232= 2 322＞，∴ x 16 2 2 322 16 2 2322，2 2 4∴点 P 的坐标为（16 22 32 2 ，0）或（ 16 2 2 32 2 ，0）.4 411.(2019 ·枣庄 ) 把两个相同大小含 45°的三角尺按如下图的方式搁置 , 此中一个三角尺的锐角极点与另一个三角尺的直角极点重合于点A, 且此外三个锐角极点B,C,D 在同向来线上 , 若 AB＝2, 则 CD＝________.【答案】6－ 2【分析】在等腰直角△ ABC中, ∵AB＝2, ∴BC＝2 2 , 过点 A 作 AM⊥BD于点 M,则 AM ＝MC＝1 BC＝2 , 在 Rt△AMD中,AD＝BC＝2 2 ,AM＝2 , ∴MD＝6 , ∴CD＝MD－MC＝6－22 .12. (2019 ·巴中 ) 如图 , 等边三角形 ABC内有一点 P, 分别连结 AP,BP,CP,若 AP＝6,BP＝8,CP＝10, 则 S△ABP+S△BPC＝________.【答案】 16 3 +24【分析】将△ ABP绕点 B 顺时针旋转 60°到△ CBP', 连结 PP', 因此 BP＝BP', ∠PBP' ＝60°, 因此△ BPP'是等边三角形 , 其边长 BP为 8, 因此 S△BPP'＝16 3 , 由于 PP' ＝8,P'C2 2 2 ＝24, 因此 S＝PA＝6,PC＝10, 因此 PP' +P'C ＝PC, 因此△ PP'C 是直角三角形 ,S△PP'C △ABP+S△ BPC＝S△ BPP'+S△PP'C＝16 3 +24..三、解答题13.(2019 ·巴中 ) 如图 , 等腰直角三角板如图搁置, 直角极点 C在直线 m上, 分别过点A,B 作 AE⊥直线 m于点 E,BD⊥直线 m与点 D.（1）求证 :EC＝BD;（2）若设△ AEC三边分别为 a,b,c, 利用此图证明勾股定理 .证明：（1）∵△ ABC是等腰直角三角形 ,∴∠ ACB＝ 90°,AC＝BC, ∴∠ ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠ EAC+∠ACE＝90°, ∴∠ BCD＝∠ CAE,∵B D⊥CD, ∴∠ AEC＝∠ CDB＝ 90°,∴△ AEC≌△ CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△ AEC≌△ CDB,△ AEC三边分别为 a，b，c, ，∴BD＝EC＝ a,CD＝AE＝b,BC＝ AC＝c,1 (AE+BD)ED＝1 (a+b)(a+b),∴S梯形＝2 2S 梯形＝1 ab+ 1 c2+1 ab，22 2∴ 1 (a+b)(a+b) ＝ 1 ab+1 c2+ 1 ab,2 2 2 2整理可得 a2 +b2＝c2, 故勾股定理得证 .。

2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编专题28 解直角三角形(含解析)(003)

解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． 2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25.过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .3. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．4.5.6.7.8.9.10.三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。

2019年全国中考数学真题180套分类汇编：解直角三角形【含解析】

解直角三角形
一、
选择题
1. （ 2018?湖南衡阳 , 第 10 题 3 分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形
AB 的坡度 i=1 ： 1.5 ，则坝底 AD的长度为（
）
ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡
A． 26 米
B． 28 米
C． 30 米
D． 46 米
考点：
解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题． .
BD和 CD的长
（ 2）在 Rt△ACD中，利用 sin ∠ACD= ，代入数值求出 AC的长度．
解答：解：（1）过点 A 作 AD⊥BE 于 D，设山 AD的高度为 xm，
在 Rt △ABD中， ∵∠ ADB=90°， tan31 °＝，
∴BD=
≈=x，
在 Rt△ACD中， ∵∠ ADC=9°0 ， tan39 °＝，
出相关线段的长度．
4．（ 2018?山西，第 21 题 7 分）如图，点 A、 B、C 表示某旅游景区三个缆站的钢缆，已知 A、 B、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度
AA′， BB′， CC′分别为 110 米、 310 米、
710 米，钢缆 AB的坡度 i 1=1：2，钢缆 BC的坡度 i 2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从 A 到 C直线架设一条钢
﹣ （答对 1 个给 2 分，多答或含有错误答案不得分）
．
考点：解直角三角形． .
专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点 B 或 C作 AC或 AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．
解答：解：当∠Ｂ为钝角时，如图 1，过点 B 作 BD⊥AC，
∵∠ BAC=30°， ∴BD=AB，

2019年中考数学试题分类汇编 -- 解直角三角形

F ED CB A 2019中考分类汇编解直角三角形一、选择题：2.（2019年天津）︒60sin 2的值等于A. 1B. 2C. 3D. 2 【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A.2.（2019年厦门）如图1，在△ACB 中，∠C ＝90°，则BCAB 等于A .sin AB . sin BC .tan AD . tan B A 【解析】本题考查了锐角三角函数的定义。

即在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦。

，锐角A 的邻边与斜边的比叫做锐角A 的余弦。

，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切。

根据定义可知BCAB 是锐角A 的正弦或锐角B 的余弦，结合选项知选A.10.（2019重庆B ）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC ，在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 的高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1︰2.4，那么建筑物AB 的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A 、65.8米；B 、71.8米；C 、73.8米；D 、119.8米. 提示：作DG ⊥BC 于G ，延长EF 交AB 于H.因为DC=BC=52，i =1︰2.4，易得DG=20，CG=48，所以BH=DE+DG=20.8，EH=BC+CG=100，所以AH=51.答案B.10．（2019年重庆A ）（4分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1：2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）图1 CBAA．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米【分析】如图，根据已知条件得到＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝＝13k＝26，求得AF＝10，CF＝24，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，∵＝1：2.4＝，∴设CF＝5k，AF＝12k，∴AC＝＝13k＝26，∴k＝2，∴AF＝10，CF＝24，∵AE＝6，∴EF＝6+24＝30，∵∠DEF＝48°，∴tan48°＝＝＝1.11，∴DF＝33.3，∴CD＝33.3﹣10＝23.3，答：古树CD的高度约为23.3米，故选：C．8．（2019浙江温州）（4分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴sinα＝，解得，AB＝米，故选：B．6．（2019浙江金华丽水）（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选：D．【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．2（2019长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是A ．303 n mile B ．60 n mile C ．120 n mile D ．(30303)+ n mile3．（2019河北）（3分）如图，从点C 观测点D 的仰角是（）A ．∠DABB ．∠DCEC ．∠DCAD ．∠ADC【分析】根据仰角的定义进行解答便可．【解答】解：∵从点C 观测点D 的视线是CD ，水平线是CE ， ∴从点C 观测点D 的仰角是∠DCE ，故选：B ．8．（2019苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183m 的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是（） A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m8．【分析】考察30角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE 中，tan30AEDE= 318318m 3AE ∴=⨯= 30°CD AB183DE BC ==30°AE18 1.519.5m AB ∴=+=故选C9．（2019四川凉山州）（4分）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，cos C ＝，则sin B 的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ACD 中可求出AD ，CD 的长，在Rt △ABD 中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sin B 的值．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图所示．在Rt △ACD 中，CD ＝CA •cos C ＝1， ∴AD ＝＝；在Rt △ABD 中，BD ＝CB ﹣CD ＝3，AD ＝，∴AB ＝＝2，∴sin B ＝＝．故选：D ．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．3．（2019广州）（3分）如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若tan ∠BAC ＝，则此斜坡的水平距离AC 为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．9．(2019浙江杭州)（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离，本题得以解决．【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．8．（2019浙江金华丽水）（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC ＝∠α，则下列结论错误的是（）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO＝D．BD＝【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形求出即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα＝，即BBC＝m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD＝，故本选项不符合题意；故选：C．8．（2019山东泰安）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．3．（2019山东威海）（（3分）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sin A＝，则AB＝，即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，sin A＝sin20°＝，∴AB＝＝，∴按键顺序为：2÷sin20＝故选：A．11．（2019湖北宜昌）（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．11．（2019广西南宁）（3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．11．（2019年广西北部湾经济）（3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．10．（2019湖南长沙）（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．8．（2019湖南怀化）（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．8．（2019湖南益阳）（4分）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝a tanα，BD＝a tanβ，得出CD ＝BC+BD＝a tanα+a tanβ即可．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；故选：C．二、填空题14．（2019四川乐山）（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB 边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2019浙江温州）（5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．1.（2019四川绵阳）在△ABC中，若∠B=45°，AB=10√2，AC=5√5，则△ABC的面积是______．17.【答案】75或25【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD=AB•sinB=10，BD=AB•cosB=10；在Rt△ACD中，AD=10，AC=5，∴CD==5，∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5，∴S△ABC=BC•AD=75或25．故答案为：75或25．过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．15米，在实验楼的15．（2019广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=3顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是_________________米（结果保留根号）．【答案】15+153【解析】AC=CD·tan30°+CD·tan45°=15+153. 14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．18.（2019四川自贡）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，αβ∠∠、如图所示，则()cosαβ+= .考点：正三角形、菱形的性质，勾股定理、三角函数，整体思想等.分析：本题可以先αβ,拼在一个角中按如图方式连接辅助线BC；根据正三角形可菱形的性质求出α1230=∠∠=∠=,360∠=∴ACB2390∠=∠+∠= ;设正三角形的边长为a，则AC2a=，利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：BC=在Rt△ACB中,AB===∴BCcos ABCAB7∠===即()αβcos7+=故应填：7点评：本题关键抓住把分散的α和β集中拼成在一个角中，通过连接一条辅助线就解决这个问题.然后再利用勾股定理和三角函数使问题得以解决，本题难度不大，但构思巧妙，是一道好题.14．（2019四川乐山）（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB 边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（2019贵州毕节）（（5分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15﹣5．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．17．(2019内蒙古赤峰)（3分）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为8.1m．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）【分析】在Rt△APC中，由AC的长及sin B＝0.63的值可得出AB的长，即可解答．【解答】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，∴AB＝＝，∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）故答案为8.115．（2019江苏盐城)（3分）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为：2．17．（2019江苏宿迁）（3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．15．（2019山西）（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（10﹣2）cm．【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD ＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2．【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3，在Rt△AFG中，GF＝＝，AF＝2FG＝2，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2，故答案为：10﹣2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．15．（2019辽宁大连）（3分）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3 m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．14．(2019浙江杭州)（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．14．（2019浙江衢州）（4分）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．16．（2019浙江金华丽水）（4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E 时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型14．（2019浙江金华丽水）（4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．16．（2019浙江宁波）（4分）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为456米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．15．（2019山东德州）（4分）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．15．（2019山东枣庄）（4分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．13．（3分）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为15海里（结果保留根号）．【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得PT⊥MN，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：由题意得，MN＝15×2＝30海里，∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，∴∠MPN＝∠PMN＝30°，∴PN＝MN＝30海里，∴PT＝PN•sin∠PNT＝15海里．故答案为：15．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得PN的长度，属于中考常考题．15．（2019湖北江汉油田）（3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．12．（2019湖北荆州）（3分）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为2cm2．【分析】根据已知条件得到GF＝GE＝EF＝＝2，过G作GH⊥EF于H，求得GH＝GF＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，∴GF＝GE＝EF＝＝2，过G作GH⊥EF于H，∴GH＝GF＝，∴图②中阴影部分的面积＝×2×＝2cm2．故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．14．（2019湖北荆州）（3分）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A 在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为22.4海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）【分析】根据题意得MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，于是得到BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，得到四边形AMNE是矩形，根据矩形的性质得到AE＝MN＝20，EN＝AM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB＝＝10≈22.4海里．故答案为：22.4．【点评】此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键．13．（2019湖北咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为69m（结果保留整数，≈1.73）．【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，通过三角函数关系求得AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，，∴＝＝40≈69（米），故答案为69．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．13．（2019湖北孝感）（3分）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（2019广西柳州）（3分）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC 的长为．【解答】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：18．（2019湖南株洲）（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B 在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．。

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数学精品复习资料解直角三角形一、选择题1. （2014•浙江杭州，第3题，3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考点：解直角三角形分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．2. （2014•浙江杭州，第10题，3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠D．4cos∠AGB=DEF考点：轴对称的性质；解直角三角形．分析：连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，由轴对称性得，AB=AE，设为1，则BE==，∵点E与点F关于BD对称，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四边形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A选项结论正确；CF=BF﹣BC=﹣1，∴2BC=2×1=2，5CF=5（﹣1），∴2BC≠5CF，故B选项结论错误；∠AEB+22°=45°+22°=67°，在Rt△ABD中，BD===，sin∠DEF===，∴∠DEF≠67°，故C选项结论错误；由勾股定理得，OE2=（）2﹣（）2=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴4cos∠AGB===，故D选项结论错误．故选A．点评：本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．3. （2014•江苏苏州,第9题3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4.（2014•山东临沂,第13题3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解答：解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．5．（2014•四川凉山州，第5题，4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．20m D．10m考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故选C．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．2.3.4.5.6.7.8.二、填空题1. （2014•上海，第12题4分）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．2. （2014•山东潍坊，第17题3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：根据AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解题．解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG∵CD=DG=2，AB=BG∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，FH=4 ∴BH=2AB∴BH=2BG=2GH∵GH=DH－DG=DF=FH－DG=52－2+4=54，∴AB=BG=GH=54.故答案为：54点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了平行线定理，本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键．3．（2014•湖南怀化，第13题，3分）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=30°．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案为：30．点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．落千丈4．（2014•四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．5.6.7.8.三、解答题1. （2014•四川巴中，第27题9分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）°．考点：解直角三角形的应用．分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，BE=20米，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．点评：本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．2. （2014•山东枣庄，第21题8分）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）考点：解直角三角形的应用分析：（1）根据三角函数分别表示出OE和DE，再根据点D到点O的距离为30cm可列方程求解；（2）在Rt△BDE中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．解答：解：（1）在Rt△BOE中，OE=，在Rt△BDE中，DE=，则+=30，解得BE≈10.6cm．故B点到OP的距离大约为10.6cm；（2）在Rt△BDE中，BD=≈25.3cm．故滑动支架的长25.3cm．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．3. （2014•山东潍坊，第21题10分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是450，然后：沿平行于AB 的方向水平飞行1.99×104米到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是600，求两海岛间的距离AB ．考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：首先过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，易得四边形ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得AB =EF ，AE =BF ．由题意可知：AE =BF =100米，CD =500米，然后分别在Rt △AEC 与Rt △BFD 中，利用三角函数即可求得CE 与DF 的长，继而求得岛屿两端A 、B 的距离．解答：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF 上CD ，交CD 的延长线于点F ，则四边形ABFE 为矩形，所以AB =EF ， AE =BF ，由题意可知AE =BF =1100—200=900，CD =19900．∴在Rt △AEC 中，∠C =450, AE =900, ∴90045tan 900tan 0==∠=C AE CE在Rt △BFD 中，∠BDF =600，BF =900，BF =900 ∴330060tan 900tan 0==∠=BDF BF DF∴ AB =EF =CD +DF －CE =19900+3300－900=19000+3300 答：两海岛之间的距离AB 是(19000+300√3）米点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．4. （2014•山东烟台，第21题7分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．考点：解直角三角形的应用．分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．解答：延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=•=（米），∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线得到Rt△ACD是解题的关键．5．（2014•湖南怀化，第21题，10分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题；作图—应用与设计作图分析：（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分别在Rt△CMD 中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可．解答：解：（1）答图如图：（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==；∵在Rt△CND中，=tan∠CNM，∴ND==CD；∵MN=2（+1）km，∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km．∴点C到公路ME的距离为2km．点评：本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大．6.（2014•湖南张家界，第21题，8分）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：首先作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C 的距离最近，进而表示出AB的长，再利用速度不变得出等式求出即可．解答：解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C 的距离最近，设CD长为x，在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=，∴AD=x，在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，∴AB=AD﹣BD=x﹣x=（﹣1）x，设渔政船从B航行到D需要t小时，则=，∴=，∴（﹣1）t=0.5，解得：t=，∴t=，答：渔政310船再按原航向航行小时后，离渔船C 的距离最近．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，利用渔政船速度不变得出等式是解题关键．7. （2014•江西抚州，第21题，9分）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图 2.晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ,且AH DE EG ===20cm .⑴ 当∠CED =60°时，求C 、D 两点间的距离；⑵ 当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm)⑶ 设DG x =cm ,当∠CED 的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时，求x 的取值范围 .(结果精确到0.1cm)(参考数据.≈31732，可使用科学计算器) 解析：(1)如图1，∵每个菱形的边长都是20㎝，且DE=20㎝, ∴CE=DE, ∵∠CED=60°，∴⊿CED 是等边三角形，∴CD=20cm, ∴C 、D 两点之间的距离是20cm. (2)如图2，图1图2作EH⊥CD于H,在⊿CED中，CE=DE，∠CED=120°∴∠ECD=30°,∴EH=12CE=10,∴CH=103 , ∴CD=203,∴点C向左移动了(203－20),∴点A向左移动了(203－20)×3≈43.9cm .(3)如图1，当∠CED=60°时，∵ED=EG, ∠CGD=30°，在Rt⊿CGD中，DGCGcos︒=30，∵CG=40,∴DG=203≈34.6；如图2，当∠CED=120°时，∠CGD=60°,∴DG=12CG=20, ∴20≤x≤34.6.8．（2014•山东聊城，第21题，8分）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）考点：解直角三角形的应用．分析：如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE的长度，然后根据图示知：AB=AE﹣BE﹣100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方程﹣=100．通过解该方程求得ED的长度．解答：解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，∴tan60°=，∴AE=同理，在Rt△EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣=100．则ED=≈≈323（米）．答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．点评：本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．9.(2014年贵州黔东南)黔东南州22．（10分）某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=0.25m．由小明站在B 点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN==，代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．解答：解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，∴MN=0.25m，∵∠EAM=45°，∴AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m，∵∠ECN=30°，∴tan∠ECN===，解得：x≈8.8，则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．答：旗杆的高EF为10.3m．点评：本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．10.（2014•遵义21．（8分））如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．11.（2014•十堰15．（3分））如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A 处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD 中，利用三角函数即可求得BC的长．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于点D．则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣35°=45°．在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24．点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．12.（2014•娄底22．（8分））如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45，∵∠CAP=60°，∴tan60°==，∴AP=15，∴AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41≈100（km）．答：小岛A与小岛B之间的距离是100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 13.（( 2014年河南) 19.9分）在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为300．位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。

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