《复变函数》第四版习题解答第4章

z2
+
z4 2!
+
z6 3!
+ …⎟⎟⎠⎞.⎜⎜⎝⎛ z2
−
z6 3!
+
z10 5!
+ …⎟⎟⎠⎞
=
z2
+
z4
+
z6 3
+ …,|
z
|<
+∞,
而收敛半径 R = +∞;
（7）因 ez = 1+ z + z2 + z3 +…,| z |< +∞, 2! 3!
∑ z
∞
= −z − z2 − z3 −… = − zn+1,| z |< 1,
（5） ch z ；（6） ez2 sin z2 ；（7） e z−1 ；（8） sin 1
1− z
解 （1）由 1 = 1 − z + z2 − z3 + ",| z |< 1，故 1+ z
1 1+ z3
=1−
z3
+
z6
−
z9
+ … + (− 1)n z3n
+…，|
z |< 1 ，
而收敛半径 R=1；
（2）不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数，不能有奇点；
(3)不对。如 f (z) = z 在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级
数。
∞
∑ 5.幂级数 cn ( z − 2)n 能否在 z = 0 收敛而在 z = 3 发散？ n=0
∞
解
∑ 不 能 。 因 如 cn ( z − 2)n 在 z = 0 收 敛 ， 则 由 Abel 定 理 其 收 敛 半 径
1− z
⎝2
⎠
⎝
6
⎠
= sin1 + (cos1)z + ⎜⎛ cos1 − 1 sin1⎟⎞z2 + ⎜⎛ 5 cos1 − sin1⎟⎞z3 + ",| z |< 1 ，
⎝
2 ⎠ ⎝6
⎠
而收敛半径 R=1。
12．求下列各函数在指定点 z0 处的 Taylor 展开式，并指出它们的收敛半径：
5
（1）
n
∑ ∑ ∑ cnzn ；
cn zn+1 ； n +1
ncn zn−1 。
证明
∑ 设 lim cn+1 = ρ ，则幂级数
c n→∞ n
cn zn 的收敛半径为1/ | ρ | ；
∑ 幂级数
cn zn+1 的收敛半径为 R = 1/ lim an+1 = lim cn /(n +1) = 1/ | ρ | ；
ch
⎛ ⎜⎝
i n
⎞ ⎟⎠
= 1/ lim n cos 1 = 1 ；
n→∞
n
（6） R = 1/ lim n n→∞
an
= lim | ln in |= ∞ ; n→∞
∞
∞
∑ ∑ 7．如果 cn zn 的收敛半径为 R，证明级数 (Re cn ) zn 的收敛半径 ≥ R 。
n=0
n=0
∞
∞
∑ ∑ 证明 对于圆 | z |< R 内的任意一点 z，由已知 cn zn 绝对收敛即 cn z n 收敛，又
2 ⎝2⎠
⎝2⎠
∑ ( ) ( ) ∞
=
n=1
− 1 n−1 2n
z −1 n ，
| z −1 |< 2
于是收敛半径 R=2。
（2）因
(z
z
+ 1)(z
+
2)
=
1 2
⎜⎛ ⎝
z
4 +
2
−
z
2 ⎟⎞ +1⎠
=
z
2 +
2
−
z
1 +1
及
z
1 +
3! 5!
（5） ch z = 1+ z2 + z4 +…,| z |< +∞, 2! 4!
（6）因 ez2 = 1 + z2 + z4 + z6 + …,| z |< +∞, sin z 2 = z2 − z6 + z10 + …,| z |< +∞,
2! 3!
3! 5!
故 ez 2 sin
z2
= ⎜⎜⎝⎛1 +
n=1
；
∞
∑ （3） （1＋i)n zn ； n=0
∑ （4）
∞
π
i
e
n
zn
；
n=1
∑ （5）
∞ n=1
ch
⎛ ⎜⎝
i n
⎞⎟⎠(
z
−1)n
；
解
（1） R = 1/ lim n n→∞
an
= lim n n p n→∞
= 1；
∑ （6）
∞ n=1
⎛ ⎜⎝
z ln in
⎞n ⎟⎠
。
2
（2） R = 1/ lim an+1 = lim
+ 2n 1+ n2
i
，又 lim 1− n2 n→∞ 1+ n2
=
−1, lim 2n n→∞ 1+ n2
=
0 ，故αn 收敛，
lim
n→∞
α
n
=
−1
2） α n
=
⎛⎜⎝1 +
i 2
⎞−n ⎟⎠
=
⎛ ⎜⎝
2 5
e−iθ
⎞n ⎟⎠
，又
lim
n→∞
⎛ ⎜⎝
2 5
e−iθ
⎞n ⎟⎠
=
0
，故
α
n
收敛，
lim
4
| z |< +∞ 而其收敛半径 R = +∞ ；
（4）因 sh z = ez − e−z , ez = 1 + z + z2 + z3 + …,| z |< +∞, e−z = 1 − z + z2 − z3 + …,| z |< +∞,
2
2! 3!
2! 3!
故
sh z = z + z3 + z3 + …,| z |< +∞, 而收敛半径 R = +∞ ；
an
(1+ 1 )n = lim n = 0 ;
a n→∞ n
a n→∞ n+1
n→∞ n +1
（3） R = 1/ lim n n→∞
an
= lim1/ |1+ i | = 1/
n→∞
2；
（4） R = 1/ lim n n→∞
an
=1；
（5） R = 1/ lim n n→∞
an
= 1/ lim n n→∞
in ；
n=1 n
n=2 ln n
∑ ∑ 3）
∞ n=1
(6+5i)n 8n
；
4）
∞ n=2
cos in 2n
。
∑ ∑ 解
1）由 in = cos nπ
+ i sin nπ
，
∞
cos nπ 2
与
∞
sin nπ 2
为收敛的交错项实级数，
2
2 n=1 n
n=1 n
∑ ∑ 所以 ∞ in 收敛，但 in = 1 ，故 ∞ in 发散，原级数条件收敛；
n=0
n=0
n=0
3
证明
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 由级数 cn 收敛，知幂级数 cn zn 在 z = 1处收敛，由 Abel 定理知 cn zn
n=0
n=0
n=0
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 的收敛半径 R ≥ 1；而 cn 发散知 | cn zn | 在 | z |= 1 处发散，故 cn zn 的收敛半径
n=0
n→∞
α
n
=
0
{ } 3）由于αn 的实部 (−1)n 发散，故αn 发散
4）由于 α n
= e−nπi / 2
= cos
nπ 2
− i sin
nπ 2
，其实部、虚部数列均发散，故αn 发散
5） α n
=
1 e−nπi / 2 n
=
1 cos nπ n2
− i 1 sin nπ n2
，知 lim 1 cos nπ
n=0
n=0
∞
∑ 因 Re cn ≤ cn ，从而 Re cn z n ≤| cn || z |n ，故由正项级数的比较判别法 Re cn z n 也 n=0
∞
∑ 收敛即 (Re cn ) zn 在 | z |< R 内绝对收敛，于是其收敛半径 ≥ R 。 n=0
8．证明：如果 lim cn+1 存在（ ≠ ∞ ），下列三个幂级数有相同的收敛半径 c n→∞
z z
−1 +1
，
z0
=1
（2）
(z
z
+ 1)(z
+
2)
，
z0
=
2
（3）
1 z2
，
z0
=
−1
（4）
4
1 − 3z
，
z0
=1+
i
（5） tan z ， z0 = π / 4 （6） arctan z ， z0 = 0
解 （1）因
z z
−1 +1
=
(z
− 1)
(z
1 −1+
2)
=
z
−1 2
1+
1 z
−1
n=0
n=0
∞
∑ R ≤ 1。所以 cn zn 的收敛半径为 1。 n=0
∞
∑ 10．如果级数 cn zn 在它的收敛圆的圆周上一点 z0 处绝对收敛，证明它在收敛圆所 n=0
围的闭区域上绝对收敛。
证明
∞
∑ 由 Abel 定理知 cn zn 在其收敛圆内绝对收敛，再证其在圆周上绝对收敛即 n=0
∞
∞
（2）因 1 = 1 − z + z2 − z3 + … + (−1)n z n + … ， | z |< 1 ，
1+ z
故
1 1+ z2
=1− z2
+ z4
+ … + (− 1)n z2n
+ … ， | z |< 1 ，
又因
( ) ⎜⎛
⎝
1
1 +z
2
⎟⎞′ ⎠
=
−2z 1+ z2
2
，
( )1
1+ z2
n=0
∞
∑ R ≥ 0 − 2 = 2 ，而 3 − 2 = 1 < 2 即 z = 3 在其收敛圆 | z − 2 |< 2 内，故级数 cn ( z − 2)n 在 n=0
z = 3 收敛，矛盾。
6．求下列幂级数的收敛半径：
∑ ∑ （1）
∞ n=1
zn np
(
p为正整数)
；
（2）
∞（n!）2 zn nn
1− z
3!
6
( ) ( ) cos z = 1 − 1 z + z2 + z3 + … 2 − 1 z + z2 + z3 + … 4 + … = 1 − 1 z2 − z3 + …， | z |< 1 ，
1− z 2
4!
2
故 sin 1 = sin1⎜⎛1 − 1 z 2 − z3 + …⎟⎞ + cos1⎜⎛ z + z2 + 5 z3 + …⎟⎞
习题四解答
1．下列数列{αn} 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：
1） α n
=
1+ 1−
ni ni
；2） α n
=
⎛⎜⎝1 +
i 2
⎞−n ⎠⎟
; 3）αn
=
(−1)n
+
n
i +
1
;
4）
α
n
=
e−nπ i / 2
；5）
αn
=
1 n
e−nπ i / 2
解
1）α n
= 1+ ni 1− ni
= 1− n2 1+ n2
∞
∑ ∑ ∑ 可。在圆周上任取一点η ， | cnη n |= | cn z0n | ，知 cnη n 绝对收敛，故结论成立。
n=0
n=0
n=0
11．把下列各函数展开成 z 的幂级数，并指出它们的收敛半径。
( ) （1）
1
1 +z
3
；（2）
1 1+ z2
2
；（3） cos z2 ；（4） sh
z
；
z
，而
lim
n→∞
chn 2n
≠
0
，故
∞ n=2
cos in 2n
发散。
4．下列说法是否正确？为什么？
（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
（2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
（3）每一个在 z0 连续的函数一定可以在 z0 的邻域内展开成 Taylor 级数。
∞
∑ 解（1）不对。如 zn 在收敛圆 z < 1内收敛，但在收敛圆周 z = 1上并不收敛； n=0
2
及 1 = 1 − z + z2 − z3 + ",| z |< 1。故 1+ z
z
−1
=
z
−
1
⎡ ⎢1
−
z
−1
+ ⎜⎛
z
− 1 ⎟⎞ 2
−"+
(− )1 n−1⎜⎛
z
− 1 ⎟⎞n−1
⎤ + "⎥
z + 1 2 ⎢⎣ 2 ⎝ 2 ⎠
⎝2⎠
⎥⎦
= z −1 − ⎜⎛ z −1⎟⎞2 + " + (− )1 n−1⎜⎛ z −1⎟⎞n + "
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=
−
1 2z
⎜⎛ ⎝
1
1 +z
2
⎟⎞′ = 1 − 2z2 ⎠
+ 3z4
− 4z6
+…，|
z |< 1 ，
而 R =1；
（3）因 cos z = 1 − z 2 + z 4 − z6 + …, z < ∞, 故 cos z2 = 1 − z4 + z8 − z12 + "
2! 4! 6!
2! 4! 6!
z −1
n=0
∞
∞
∑ ∑ z ∑ 故 e z−1 = 1−
∞
z n+1
+
(
n=0
z n +1 )2
−
(
n=0
z n+1 )3
+" = 1−
z
−
z2
−
z3
+",|
z
|< 1，
n=0
2!
3!
2! 3!
而收敛半径 R=1。
（8）因
sin
1 1−
z
=
sin⎜⎛1 + ⎝
z 1−
z
⎟⎞ ⎠
=
sin 1cos 1
n→∞ n
2
= 0, lim 1 sin n→∞ n
nπ 2
=0，
故
α
n
收敛，
lim
n→∞
α
n
=
0
2．证明：
⎧0,
|α |<1,
limα n
n→∞
=
⎪⎪∞, ⎨⎪1,
|α |>1, α = 1,
⎪⎩不存在， |α|=1,α ≠ 1.
3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
∑ ∑ 1） ∞ in ；
∞
2）
n=1 n
nn
n=1 n
1
2）与 1）采用同样的方法，并利用 1 ≥ 1 (n ≥ 2) ； ln n n
∑ ∑ 3）因
(6+5i)n 8n
⎛ = ⎜⎜⎝
61 8
⎞n ⎟⎟⎠
，而
∞ n=1
⎛ ⎜⎜⎝
61 ⎞n 8 ⎟⎟⎠
收敛，故
∞ n=1
(6+5i)n 8n
绝对收敛；
∑ 4）因
cos in
=
chn
n +1
a n→∞ n
n→∞ cn+1 /(n + 2)
∑ 幂级数
ncn zn−1 的收敛半径为 R
= 1/ lim n→∞
an+1 an
= lim ncn n→∞ (n +1)cn+1
=1/ | ρ |；
故以上三个幂级数有相同的收敛半径。
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 9．设级数 cn 收敛，而 cn 发散，证明 cn zn 的收敛半径为 1。
z −
z
+
cos1sin
z 1−
z
,
∑ z
∞
= z + z2 + z3 + … = zn+1,| z |< 1,
1− z
n=0
( ) ( ) 故 sin z = z + z2 + z3 + … − 1 z + z2 + z3 + … 3 + … = z + z 2 + 5 z3 + …， | z |< 1 ，