线性代数1-2

ak 2 M
L akn 第i行
MM
ak1 ak 2 L akn M MMM
an1 an2 L ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
例1 设
2 1 3 5
423 1
D
,
110 2
021 0
求：(1) A41 A42 2 A44;(2)2 A41 3 A42 4 A44
a11 a12 L a1n M MMM ai1 ai 2 L ain 在 D M M M M 中，如果令第 i 行的元素等于 ak1 ak 2 L akn 另外一行，譬如第 k 行的元素 M MMM an1 an2 L ann
则，
a11 a12 L a1n M MMM
ak1 ak1 Ai1 ak 2 Ai 2 L akn Ain M
性质1.2.4：
a11 M b1 c1 M an1
a12 M b2 c2 M an2
L
a1n
MM
L bn cn MM
L
ann
a11 a12 L a1n M MMM
a11 a12 L a1n M MMM
b1 b2 L bn ＋ c1 c2 L cn
M MMM
M MMM
an1 an2 L ann
由于 M1 j
和
M
1
是n-1阶行列式，且
j
M
1
是
j
M1 j 的转置行列式，
根据假设
M1 j

M1
，于是
j
D

DT .
例如上三角行列式
a11 a12 L
0 D
a22 L
MM
0 0L
由定理1.2.1的推论即得
a1n a2n . M ann
a11 0 L D DT a12 a22 L
MM a1n a2n L
线性代数
山东理工大学
第1章 n阶行列式
§1.2 n阶行列式的概念
定理1.2.1：n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain , (i 1, 2,L , n),
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj , ( j 1, 2,L , n).
LM
M,
j1
j1
an1 L anj1 anj1 L ann
a21 L ai1 L an1
M
M
M
DT

n
a1 j (1)1 j M1 j
j1
n
a1 j (1)1 j
j1
a2 j1 a2 j1
L L
aij1 L aij1 L
anj1 . anj 1
M
M
M
a2n L ain L ann
n
n
D aij (1)i j Mij ,D1 aij (1)i j N ij ,
j1
j1
其中 M ij和 Nij分别为D和 D1 中元素aij 的余子式，并且 Nij是由M ij
互换两行得到的n-1阶行列式，由归纳假设 Mij Nij，因此有
D D1.
记法 行列式的第s行：rs
交换s、t两行：rs rt
行列式的第s列：c s
交换s、t两列：cs ct
推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。
性质1.2.3：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式。
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符 号外面。
记法 第s行乘以k：krs
M MMM
M MMM
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
定理 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 1.2.2： 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ak1 Ai1 ak2 Ai2 L akn Ain 0, k i.
证明： 由定理1.2.1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。
第s列乘以k: kcs
a11 a12 L a1n
a11
a12 L
a1n
M MMM M M M M
k as1 as2 L asn kas1 kas2 L kasn M MMM M M M M
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
推论：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式 等于0 。
0 0 M a11a22 L ann . ann
性质1.2.2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
证明： a11 M al1
设 D M as1 M an1
a12 L a1n MMM al 2 L aln MMM as2 L asn MMM an2 L ann
交换l、s 两行，得
a11 a12 L a1n M MMM
a11 a12 L b1 L a1n
a11 a12 L c1 L a1n
a21 a22 L b2 L a2n a21 a22 L c2 L a2n M M MMM M M M MMM M
an1 an2 L bn L ann an1 an2 L cn L ann
例如，行列式
10
2
2 1 2 2 1
an1 an2 L ann
即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。
同理
a11 a12 L b1 c1 L a1n
a21 a22 L b2 c2 L a2n ＝
M MM M MM an1 an2 L bn cn L ann
推论：如果n阶行列式中第i行所有元素除aij 外都为零，那 么行列式就等于 aij与其对应的代数余子式的乘积，
即
D aij Aij .
行列式的性质
性质1.2.1：行列式与它的转置行列式相等。
a11 a12 L a1n D a21 a22 L a2n
M MMM an1 an2 L ann
a11 a21 L an1 D(DT ) a12 a22 L an2 称为D的转置行列式
M MMM a1n a2n L ann
证明：用数学归纳法。
当n=2时， a11 a12 a11 a21 ，结论成立。 a21 a22 a12 a22
假设对n-1阶行列式结论成立，对于n阶行列式D和 DT ，
分别按第一行和第一列展开
n
n
a21 L a2 j1 a2 j1 L a2n
D a1 j (1)1 j M1 j a1 j (1)1 j M
11
2
ห้องสมุดไป่ตู้
10 2 1 0 2
1 1 2 1 2 1
11 2 1 1 2
10 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 2
1 2 11 11 2
性质1.2.5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再 加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的不变。
记法
数k乘第 t 行加到第 s 行上：rs krt 数k乘第 t 列加到第 s 列上：cs kct
L asn katn MM
L
atn
MM
an1 a11 a12 L a1n M MMM
an2
L
a11 a12 L
M MM
ann a1n M
as1 as2 L asn
kat1 kat 2 L katn
M M M ML M M M M D 0 D
at1 at 2 L atn
at1 at 2 L atn
证明：
a11 a12 L a1n M MMM as1 as2 L asn D M M M M at1 at 2 L atn M MMM an1 an2 L ann
作 rs krt
得
a11
a12
L
a1n
M
MMM
as1 kat1 D1 M
at1 M
as2 kat 2 M at 2 M
as1 as2 L asn l行
D1 M M M M
al1 al 2 L aln s行
M MMM
an1 an2 L ann
证明：用数学归纳法。
当n=2时， a11 a12 a21
a21 a22
a11
a22 ，结论成立。 a12
假设对n-1阶行列式结论成立，对于n阶行列式，分别将D和 D1 按第i行展开（i s, l ），得