线性代数1-2
线性代数 2-1
3 − 1 1 2 0 − 1 −6 2 − 2 −5 −4 5 = − 1 0 − 1 − 5 − 2 − 4 3 0 −2 2 0 2
三、矩阵的乘法运算
某企业有三个生产车间，各车间都生产甲、乙两种产品， 某企业有三个生产车间，各车间都生产甲、乙两种产品， 矩阵A表示一年中各车间生产的各种产品的数量 矩阵B表 表示一年中各车间生产的各种产品的数量， 矩阵 表示一年中各车间生产的各种产品的数量，矩阵 表 示各种产品的单位价格和单位利润（万元），矩阵C表示 ），矩阵 示各种产品的单位价格和单位利润（万元），矩阵 表示 各车间的总收入和总利润， 各车间的总收入和总利润，即： c11 c12 1 a11 a12 1 b b 甲 C = c21 c22 2 A = a21 a22 2 B = 11 12 b b 乙 c c32 3 a 3 21 22 31 31 a32 单价 单利 总收入 总利润 甲 乙
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 1 C = a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 2 a b + a b a b + a b 3 31 11 32 21 31 12 32 22 总收入 总利润
分析A、 、 之间的关系 之间的关系。 分析 、B、C之间的关系。
... a1n ... a2n ... ... ... amn
b 1 b2 ... bm
n个 x m 变量 1, y2 ,⋯, ym之 y 变量 1, x2 ,⋯, xn与 个 间的 关系 式 y1 = a11x1 + a12x2 +⋯+ a1n xn , y = a x + a x +⋯+ a x , 2 21 1 22 2 2n n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ym = am1x1 + am2 x2 +⋯+ amn xn
线性代数 2-1,2-2矩阵运算
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一、矩阵概念
⎛ a11 a12 ⎜a a22 21 ⎜ 1. 定义：数表 A = ⎜ 1.定义：数表 ⋮ ⎜ ⎝ am 1 am 2 ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⎟ = (a ) ij m ×n ⋮ ⎟ ⎟ ⋯ amn ⎠
1)m≠n,称为m×n矩阵，简称矩阵. . 阶矩阵. 2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵 . 维行向量. : m＝1 A= (a1 a2 … an),又称为n维行向量 行矩阵: 3)行矩阵
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二、矩阵的加法
1.定义
⎛ a11 … a1n ⎞ ⎛ b11 … b1n ⎞ ⎛ a11 ± b11 … a1n ± b1n ⎞ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⋱ ⋮ ± = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⋯ a ⎟ ⎜b ⋯ b ⎟ ⎜a ± b ⋯ a ± b ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 mn ⎠ ⎝ m1 m1 mn mn ⎠ ⎝ m1
线性代数
数学科学学院 陈建华
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第二章
矩阵
1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出矩阵概念, 1858年 A.Cayley(凯莱)提出矩阵的运算规则, 从此矩阵的应用更广泛, 成为 经济研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。如投入产出模型、 线性规划、决策论等，均运用矩阵作为重要工具解决实际问题。
线性代数第一章第二节
四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
线性代数(经管类)-阶段测评1,2,3,4
线性代数（经管类）-阶段测评11.单选题1.1 5.0设矩阵$A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$，则必有（）您答对了aa$P_1P_2A=B$b$P_2P_1A=B$c$AP_1P_2=B$d$AP_2P_1=B$考点：矩阵的行列变换，左乘行变，右乘列变。
1.2 5.0设$A$为四阶矩阵，且$|A|=-3$，则$|A^(**)|$=（）您答对了 c∙ a$-3$∙∙b$9$∙∙c$-27$∙∙d$81$∙$|A^(**)|=|A|^(n-1)=-3^3=-27$.1.3 5.0设$A，B$为$n$阶方阵，满足$A^2=B^2$，则必有（）您答对了 d∙a$A=B$∙∙b$A=-B$∙∙c$|A|=|B|$∙∙d$|A|^2=|B|^2$∙方阵行列式的性质，特别是$|AB|=|A||B|$ 解1：因为$A^2=B^2$，故$|A^2|=|B^2|$，而因为$|AB|=|A||B|$，故$|A^2|=|A|^2，|B^2|=|B|^2$，所以$|A|^2=|B|^2$ 解2：取$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$，显然$A^2=B^2=E$，但选项A,B,C都不对，应用排除法知正确答案为D。
1.4 5.0设3阶矩阵$A$的行列式$|A|=(1)/(3)$，则$|-3A^T|=$（）您答对了 d∙a9∙∙b1∙∙c-1∙∙d-9∙$|-3A^T|=(-3)^3|A^T|=-27|A|=-9$.1.5 5.0设矩阵$A=[[a,b],[c,d]]$，且已知$|A|=-1$，则$A^-1$=（）您答对了 b∙a$[[d,-b],[-c,a]]$∙∙b$[[-d,b],[c,-a]]$∙∙c$[[d,-c],[-b,a]]$∙d$[[-d,c],[b,-a]]$∙$A^-1=1/|A|A^(**)=-[[d,-b],[-c,a]]= [[-d,b],[c,-a]]$.1.6 5.0$3$阶行列式$|a_(ij)|=|(0,-1,1),(1,0,-1),(-1,1,0)|$中元素$a_21$的代数余子式$A_21=$（）您答对了 c∙a$-2$∙∙b$-1$∙∙c$1$∙∙d$2$∙考点：代数余子式。
线性代数-第2章
第2章对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。
任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。
通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。
考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。
总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。
因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。
矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。
满秩矩阵的行列式不等于零。
非满秩矩阵的行列式必为零。
既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。
齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。
当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。
通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。
非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。
在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。
矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。
矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。
即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。
矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。
如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。
线性代数1同济五版课件2-3
A A 1 .
1
1
AB B 1 A1 ABB 1 A1 AEA1 证明
AA E ,
1
A B 1 1 B 1 A
AB B 1 A1 .
1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
AB BA E ,
B是A的一个逆矩阵.
即
1 2 1 2 A 1 2 1 2 .
1
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说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
AA A A E , 则称A 为A的可逆矩阵。
1 1 1
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二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B
,使得
AB BA E ,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1 .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
1
1
1 3 1 4 2 3 1 3 1 13 75 30 1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 52 21 . 1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47
T
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
线性代数 第二章1
矩 阵 的 概 念及 运 算
主要内容
矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例 矩阵的基本运算
一、矩阵的定义
引例 线性方程组的矩阵
定义 由 m × n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2,… , n)
排成的 m 行 n 列的数表，叫做一个 m × n 矩阵 列的数表，
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积 简称数乘, 记为 kA. 数量乘积, 简称数乘, kA.
注意
2. 运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则 为同类型矩阵 为常数， (1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来， 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算. 线性运算
一般情形
定义 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n , (a (b
C = (cij)m×n , 其中 (c
cij = 轾1 ai 犏 臌
ai 2 L
轾j b1 犏 aip 犏 j = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj b2 犏 犏 M 犏 犏 b pj 犏 臌
1 O 1
n
.
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(6)
数量矩阵
主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 量矩阵. 量矩阵 例如 n 阶数量矩阵
线性代数课件2精编版
推论2、当s n时，任意s个n维向量都是线性相关的。 特别的，任意n 1个n维向量是线性相关的。
推论3、在n维向量空间Rn中，任意一个线性无关的向量组 最多包含 n个向量。
线性代数
第二章 线性方程组
第2节 n维向量
推论4、n个n维向量1 (a11, a21,..., an1),....,n (a1n , a2n ,..., ann )
线性代数
第二章 线性方程组
第2节 n维向量
注：向量减法 （-）
0 , k ,(1)
若k ，则必有k 0或
定义、设1,2 ,...,s为一组向量，k1, k2 ,..., ks是s个数，
称向量k11
k2 2
...
ks
s是向量1
,
2
,
...,
的一个
s
线性组合，其中k1, k2 ,..., ks为这个组合的组合系数。
存在不全为0的k1, k2 ,..., ks使得（1）式成立，则称向量组
1,2 ,...,s线性相关；若只有当k1 k2 ... ks 0时才能 使（1）式成立，则称1,2 ,...,s线性无关。
线性代数
第二章 线性方程组
第2节 n维向量
定理2、设i a1i , a2i ,..., ani i 1, 2,..., s是s个n维向量，则向量组
规定：n维向量 (a1, a2 ,..., an ), (b1,b2,...,bn )， 当ai bi (i 1,..., n)时，称它们相等，记为
定义 （1）若 (a1, a2 ,..., an ), (b1, b2,..., bn )，定义
两个向量之和： a1 b1, a2 b2 ,..., an bn