线性代数发展史
行列式发展历史
行列式发展历史行列式是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍行列式的发展历史，从最早的发现开始，逐步展示了行列式的演变和应用。
1. 古希腊时期在古希腊时期，数学家们开始研究线性方程组的解法。
然而，由于缺乏有效的符号表示方法，他们无法解决复杂的方程组。
这导致了对行列式概念的浮现。
古希腊数学家们发现了一种称为“三角形数”或者“三角形阵”的特殊矩阵，这种矩阵具有一些特殊的性质，后来被称为行列式。
2. 欧洲中世纪在欧洲中世纪，数学的发展相对较慢。
然而，一些数学家开始研究行列式的性质，并在代数方程的解法中应用行列式。
这些数学家中最著名的是法国数学家拉普拉斯，他在18世纪末提出了行列式的定义和性质，并将其应用于线性方程组的解法。
3. 行列式的性质和应用行列式的性质在19世纪得到了更深入的研究和发展。
数学家们发现了行列式的一些重要性质，例如行列式的行列互换、行列式的线性性质等。
这些性质使得行列式成为解决线性方程组、计算矩阵的逆和求解特征值等问题的有力工具。
4. 行列式的计算方法随着数学的发展，人们提出了多种行列式的计算方法。
最常用的方法是展开定理，它允许我们将一个n阶行列式展开为n个n-1阶行列式的和。
此外，还有利用矩阵的性质进行计算的方法，例如高斯消元法和克拉默法则等。
5. 行列式的应用领域行列式在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，行列式被用于解决线性方程组、计算矩阵的逆和求解特征值等问题。
在工程领域，行列式被用于计算刚体的转动惯量、求解电路方程和图象处理等。
6. 行列式的发展趋势随着计算机技术的进步，行列式的计算变得更加高效和精确。
现代数学家们正在研究更复杂的行列式结构和更高阶的行列式计算方法。
行列式的发展趋势将继续向着更广泛的领域拓展，为数学和工程领域的发展做出更大的贡献。
总结：行列式作为线性代数中的重要概念，经历了漫长的发展历程。
从古希腊时期的发现到现代的应用，行列式在数学和工程领域中发挥着重要作用。
线性代数的历史
线性代数的历史译自Israel Kleiner《A History of Abstract Algebra》线性代数是一个非常有用的学科，它的基本概念产生并被应用在数学和它的应用的各个不同领域，因此这门学科植根于诸如数论（初等数论和代数数论）、几何学、抽象代数（群，环，域和伽罗瓦(Galois)理论）、分析学（微分方程，积分方程和泛函分析）和物理学这些如此丰富多彩的领域就毫不奇怪了。
线性代数的基本概念是线性方程组、矩阵、行列式、线性变换、线性无关、维数、双线性型、二次型和向量空间。
由于这些概念之间是密切关联的，所以有些概念通常会出现在同一段内容中（例如线性方程组和矩阵），从而使得我们往往不能将它们分离开来。
到1880年为止，已经得到许多线性代数的基本结果，但它们还不属于某个一般性的理论。
特别要指出的是，那时还尚未提出向量空间这个构建这种理论的基本观念。
这个观念仅在1888年由皮亚诺(Peano)提出过。
即使如此，它那时也被大大地忽视了（如同格拉斯曼（Grassmann）更早前的开创性工作），直到20世纪早期作为一个完整理论的基本要素这个观念才再次起飞。
因此线性代数这个学科的历史发展顺序与它的逻辑顺序正好相反。
我们将按照下面的顺序来描述线性代数的基本演变史：线性方程组；行列式；矩阵和线性变换；线性无关，基和维数；向量空间。
在这个过程中，我们将评述上面提到的某些其他概念。
5.1线性方程组大约4000年前，巴比伦人就知道如何解两个二元一次线性方程组成的线性方程组（2*2的线性方程组）。
在著名的《九章算术》（大约公元前200年，Nine Chapters of the Mathematical Art）中，中国人解出了3*3的线性方程组，解法中只使用了线性方程组的（数值）系数。
这些做法是矩阵方法的原型，但和高斯（Gauss）以及其他人2000年后提出的“消元法”并不相同。
见[20]。
对线性方程组的现代研究可以说肇始自莱布尼兹（Leibniz），为了研究线性方程组他于1693年提出了行列式的观念。
线性代数的历史里程碑
线性代数的历史里程碑线性代数是数学的一个重要分支，它研究了线性方程组、向量空间和线性映射等基本概念，具有广泛的应用。
本文将重点回顾线性代数的历史里程碑，介绍了几个具有重大意义的事件和突破。
1. 古希腊时期：线性方程组的发展古希腊数学家克拉美（Cramer）在18世纪提出了Cramer's Rule，他通过研究线性方程组的解，发现了一种可以推导出方程组解的方法。
这一重要的发现为线性方程组的求解提供了理论基础，并为线性代数的发展奠定了坚实的基础。
2. 17世纪：高斯消元法的提出高斯是线性代数史上的一个重要人物，他在17世纪提出了高斯消元法。
通过对线性方程组进行行变换，高斯消元法能够将方程组化为简化的行阶梯形式，从而更容易求解。
高斯消元法的出现使得线性方程组的解法更加简单和直观，极大地推动了线性代数的发展。
3. 19世纪：向量空间的提出向量空间是线性代数中一个重要的概念，它由德国数学家Grassmann在19世纪首次提出。
Grassmann通过对向量的研究，发现了一种新的数学结构，将多维空间中的向量和运算规则进行了抽象和概括。
向量空间的出现使得线性代数的研究更加具有一般性和抽象性，为后来的理论建立提供了坚实的基础。
4. 20世纪：矩阵理论的兴起20世纪是线性代数发展的关键时期，矩阵理论作为线性代数的一个重要分支逐渐兴起。
矩阵是线性代数中的一种特殊形式，通过研究矩阵的性质和运算规则，人们可以更加方便地应用线性代数的方法解决实际问题。
矩阵理论的兴起为线性代数的应用提供了强大的工具和方法，极大地拓展了线性代数的领域。
5. 当代：高维线性代数的研究随着科技的发展和实际问题的复杂性增加，线性代数的研究也不断深入。
人们开始关注高维线性代数，并研究了在高维空间中线性方程组、向量空间和线性映射等的性质和应用。
高维线性代数的研究推动了数学理论的发展，同时也为计算机图形学、数据分析和人工智能等领域提供了重要的数学基础。
行列式发展历史
行列式发展历史行列式是线性代数中一个重要的概念，它在数学和工程领域具有广泛的应用。
本文将介绍行列式的发展历史，包括其起源、发展和重要里程碑。
起源行列式最早可以追溯到18世纪的欧洲数学家克莱姆(Cramer)。
他在1750年左右首次提出了行列式的概念，但当时行列式的定义还不完善，只是作为解线性方程组的一种方法。
发展随着数学的发展，行列式逐渐被人们重视，并成为线性代数的重要内容之一。
19世纪初，法国数学家拉普拉斯(Laplace)对行列式进行了深入研究，并提出了行列式的定义和性质。
他的研究成果为后来的数学家提供了重要的理论基础。
在拉普拉斯的基础上，德国数学家高斯(Gauss)进一步发展了行列式的理论。
他提出了行列式的消元法则和行列式展开定理，为解线性方程组和矩阵运算提供了重要的工具。
高斯的研究成果对行列式的发展起到了里程碑的作用。
重要里程碑20世纪初，行列式的研究进一步深化。
瑞士数学家狄利克雷(Dirichlet)和德国数学家克罗内克(Kronecker)分别提出了行列式的性质和应用。
狄利克雷证明了行列式的交换律和结合律，为行列式的运算提供了更加严谨的理论基础。
克罗内克则将行列式与线性方程组的解联系起来，提出了克罗内克定理，为线性代数的发展做出了重要贡献。
此外，20世纪的数学家们对行列式的研究也取得了一系列重要的成果。
例如，俄罗斯数学家勒贝格(Lieb)和英国数学家艾利斯(Alexander)证明了行列式的正定性，为矩阵理论和数学物理学的发展提供了重要的支持。
美国数学家斯特拉斯(Strauss)则将行列式应用于微分方程的研究，提出了行列式的微分方程理论。
总结行列式作为线性代数的重要内容，经历了数百年的发展。
从最初的解线性方程组的工具，到逐渐完善的定义和性质，再到与矩阵运算、微分方程等领域的深入结合，行列式的研究不断取得新的突破。
数学家们的努力和贡献使得行列式成为了解决实际问题的重要工具，对数学和工程领域的发展起到了重要的推动作用。
线性代数发展史
线性代数发展史一行列式行列式的出现已有300余年，1683年日本数学家关孝和在＜解伏题之法)中首先引人此概念。
1693年，莱布尼兹(G．W．工ezbniz)著作中亦有行列式叙述，世人们仍认为此概念在西方源于数学家柯西(A．L CaMchy)1750年，克莱姆(G cramer)出版的(线性代数分析导言＞一书中已给出行列式的今日形式。
1841年，雅谷比(c．G JaMM在(论行列式形成与性质)一书中对行列式及其性质、计算作了较系统的阐述此后．范德蒙(A．T vandeMondl)、裴蜀(E．Be肋Mt)、拉普拉斯(P．s M de I品PLace)等人在行列式研究中也作了许多工作，但行列式在当今线性代数中似已被淡化，原因是：首先它的大多数功能已被矩阵运算取代，而矩阵(代数)理论与计算已相当成熟；再者是电子计算机的出现与飞速发展，已省去人们许多机械而繁琐的计算．然而行列式也有其自身的魅力：技巧性强、形式漂亮，因而它在历年考研中不断出现．行列式的主要应用是：求矩阵(或向量组)的秩；解线性方程组；求矩阵特征多项式等行列式与矩阵有着密不可分的连带关系，尽管它们本质上不是一回事(短阵是数表，而行列式是数)．二矩阵代数矩阵一词系1850年英国数学家薛尔维斯特(J—J sylves贮r)首先倡用，它原指组成行列式的数字阵列。
矩阵的性质研究是在行列式理论研究中逐渐发展的．凯莱(A cayley)于1858年定义了矩阵的某些运算，发表＜矩阵论研究报告＞，因而他成了矩阵论的创始人。
德国数学家弗罗伯尼(F．G．Fmbenius)于1879年引进矩阵秩的概念，且做了较丰富的工作(发表在(克雷尔杂志＞上)尔后矩阵作为一种独立的数学分支迅速发展起来．20世纪40年代，为响应电子计算机出现而诞生厂短阵数值分析，1947年冯·纽曼(Ven Neumann)等人提出分析误差的条件数，1948年图灵(A．Turing)给出厂矩阵的Lu分解，矩阵的另一种分解QR分解的实际应用在上世纪50年代末得以实现．这一切使矩阵计算得以迅猛发展。
数学史话线性代数发展史简介
数学史话线性代数发展史简介数学史话—线性代数发展史简介一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori从事数学研究，发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。
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V. Z.卡兹数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。
M(Kline一、了解数学史的重要意义数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。
与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。
在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。
教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。
由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌和数学思想产生的过程。
正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。
数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。
数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展和进步的历程。
通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律，通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。
二、代数学的历史发展情况数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
行列式发展历史
行列式发展历史行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的发展历史，从最早的发现到如今的应用。
1. 古希腊时期在古希腊时期，数学家们已经开始研究线性代数的基本概念。
然而，直到公元前3世纪的欧几里得时期，行列式的概念才被首次提出。
欧几里得在他的著作《几何原本》中提到了行列式的一些性质，但并没有给出具体的定义。
2. 行列式的定义和发展行列式的具体定义最早可以追溯到18世纪的日本数学家关孝和。
他在1728年发表的《线性代数》中首次给出了行列式的定义和性质。
关孝和的定义是基于排列的概念，他将行列式定义为一个n阶方阵中所有元素的乘积之和，其中乘积的符号由排列的奇偶性决定。
3. 行列式的性质和应用随着时间的推移，数学家们对行列式的性质进行了深入研究，并发现了许多重要的结论。
其中最著名的是克拉默法则，它是由瑞士数学家克拉默于18世纪末提出的。
克拉默法则利用行列式的性质解线性方程组，为线性代数的应用提供了重要的工具。
行列式在工程领域有着广泛的应用。
例如，在电路分析中，行列式可以用来求解复杂电路的电压和电流分布。
此外，行列式还可以用于计算刚体的转动惯量、解析几何和图像处理等领域。
4. 现代行列式理论随着数学的发展，行列式的理论也不断完善。
20世纪初，矩阵论的发展为行列式的研究提供了新的视角。
矩阵论将行列式和线性方程组的理论统一起来，为行列式的应用提供了更为广泛的框架。
此外，现代计算机的发展也使得行列式的计算更加便捷。
传统的行列式计算方法需要进行大量的乘法和加法运算，但现代计算机可以通过矩阵的LU分解、高斯消元法等方法来加速行列式的计算过程。
总结：行列式作为线性代数中的重要概念，在数学和工程领域有着广泛的应用。
它的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过了数学家们的不断研究和发展，形成了现代行列式理论。
行列式的性质和应用也得到了深入研究，为解决线性方程组、电路分析等问题提供了重要的工具。
行列式发展历史
行列式发展历史行列式是线性代数中的重要概念，它在数学和应用领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的发展历史，包括其起源、重要的贡献者以及其在数学和应用中的应用。
1. 起源行列式最早可以追溯到18世纪，由日本数学家关孝和在1683年首次引入。
关孝和发现了一种用于解线性方程组的方法，这种方法后来被称为行列式。
然而，行列式的概念在当时并没有得到广泛的应用和认可。
2. 伽利略与行列式在17世纪，意大利物理学家和数学家伽利略·伽利莱也对行列式进行了研究。
他发现了行列式在几何学中的应用，特殊是在解析几何方面。
伽利略的研究对行列式的发展起到了重要的推动作用。
3. 克莱姆法则18世纪末，瑞士数学家克莱姆提出了著名的克莱姆法则。
克莱姆法则是一种用于求解线性方程组的方法，它利用了行列式的性质。
克莱姆法则的提出使得行列式在线性代数中得到了更广泛的应用。
4. 行列式的性质和定义行列式是一个方阵所对应的一个数值。
它可以用于判断一个方阵是否可逆，以及求解线性方程组。
行列式的定义和性质在数学中有着重要的地位，它们被广泛应用于线性代数、微积分、概率论等领域。
5. 行列式的应用行列式在数学和应用中有着广泛的应用。
在线性代数中，行列式可以用于求解线性方程组、判断方阵的可逆性以及计算矩阵的逆。
在微积分中，行列式可以用于计算多元函数的雅可比行列式。
在概率论中，行列式可以用于计算多元正态分布的概率密度函数。
6. 行列式的发展和研究随着数学的发展，对行列式的研究也在不断深入。
在20世纪，行列式的普通化概念被引入，如行列式的广义定义和行列式的特征值等。
这些新的概念和方法使得行列式的研究更加丰富和深入。
总结：行列式作为线性代数中的重要概念，经过了几个世纪的发展和研究，逐渐得到了广泛的应用。
从关孝和到克莱姆，再到现代数学家们的研究，行列式的定义和性质不断完善和深化。
行列式在数学和应用中扮演着重要的角色，它被广泛应用于线性代数、微积分、概率论等领域，为解决实际问题提供了有力的工具。
线性代数发展简史
华北水利水电学院线性代数发展简史课程名称：线性代数专业班级：2012084成员组成：201208420联系方式：************2013年11月6日摘要：线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
关键词：行列式，矩阵，，，，正文：线性代数的发展简史引言代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。
在中学所学的初等代数中，字母仅用来表示数。
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时，还研究次数更高的一元方程及多元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。
线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。
在线性代数中，字母的含义也推广了，不仅用来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。
笼统地说，线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。
线性代数不仅在内容上，更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。
行列式出现于线性方程组的求解。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。
1750 年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer 克莱姆法则)。
线性代数发展史
线性代数发展简介幻灯片制作: 张小向东南大学数学系版本: 2008.1行列式出现于线性方程组的求解最早是一种速记的表达式现已是数学中一种非常有用的工具发明人:德国数学家莱布尼茨日本数学家关孝和行列式1750 年，瑞士数学家克莱姆《线性代数分析导引》行列式的定义和展开法则，克莱姆法则稍后，法国数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解行列式法国数学家范德蒙(Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735.2.28-1796.1.1)对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述把行列式理论与线性方程组求解相分离给出了用余子式来展开行列式的法则自幼在父亲的指导下学习音乐但对数学有浓厚的兴趣后来终于成为法兰西科学院院士行列式1772 年，法国数学家拉普拉斯证明了范德蒙提出的一些规则推广了范德蒙展开行列式的方法1815 年，法国数学家柯西第一个系统的几乎是近代的处理乘法定理, 方阵, 双足标记法改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明行列式19 世纪，英国数学家西尔维斯特活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动他(犹太人)受到剑桥大学的不平等对待改进了从一个n次和一个m次的多项式中消去x的方法(他称之为配析法)并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果(但没有给出证明)行列式德国数学家雅可比继柯西之后，在行列式理论方面最多产引进了函数行列式(雅可比行列式)指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成行列式由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19 世纪也得到了很大发展。
整个19 世纪都有行列式的新结果。
除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。
线性代数发展史
线性代数发展史
线性代数的发展可以追溯到古希腊时期，当时古希腊数学家们就开始研究线性方程组的解法，其中最著名的是欧几里得算法，由他提出了解决线性方程组的有效方法。
随后，17世纪，法国数学家雅克·德·拉斐尔（Jacques de Laplace）发现了矩阵的性质，他发现矩阵可以用来描述线性方程组的解法，并且提出了特征值和特征向量的概念，从而开辟了线性代数的新天地。
19世纪，英国数学家詹姆斯·威尔逊（James Williamson）发现了矩阵的可逆性，他发现可以使用矩阵来求解线性方程组，而不需要使用欧几里得算法。
20世纪，美国数学家艾伦·克莱因（Alan Cayley）提出了矩阵的乘法，他发现可以使用矩阵乘法来求解线性方程组，从而使线性代数变得更加强大。
现在，线性代数已经成为数学的一个重要分支，它在许多领域都有着重要的应用，比如机器学习、统计学、计算机科学等等，都离不开线性代数的支持。
线性代数
线性代数一、线性代数的形成和发展历史在代数学发展的第二个时期，即在19世纪时，线性代数就获得了光辉的成就。
线性代数内容广泛，而行列式、矩阵、线性方程组等只是线性代数的初等部分，线性代数还有更深入的内容，如线性空间、欧式空间、酉空间、线性变换和线性函数、 －矩阵、矩阵的特征值等等以及与其相关联的一系列理论。
有材料说，在代数学的所有分支中，线性代数的这些理论按其应用的重要性和广泛性来说，是第一位的，很难指出数学、理论力学、理论物理等学科中有不用到线性代数的结果和方法的。
例如，线性代数对于泛函分析的发展就有着决定性的影响。
下面着重对线性代数的初等部分的形成和发展简述如下：1．行列式最早引入行列式概念的，是十七世纪的日本的数学奠基人关孝和。
他1383年著《解优题之法》一书，对行列式及其展已经有了清楚的叙述。
但是在公元一世纪(东汉初年)。
中国古算术《九章算术》中已有用矩阵(当时称为“方程”)的初等变换来解线性方程组的内容了。
关孝和的思想的产生，大概多受惠于中国而非西方的影响。
1693年，莱不尼兹用指标数的子统集合表示含两个未知量和三个线性方程组所组成的系统，他从三个方程的系数中消去两个未知量，得到一个行列式，就是现在所称的方程组的法式。
用行列式去解含二、三、四个未知量的方程组，可能在1729年由马克劳林所首创，且于1748年发表在他的遗作《代数绝著》中，其法则基本就是现在所使用的法则。
瑞士数学家克莱姆(Cramer)于1750年把马克劳林的法则发表在他的《线性代数分析导言》中，这就是现在所谓的克莱姆法则。
1772年，范德蒙(Vander monde)把行列式脱离开线性方程组作为一个独立的理论研究。
给出行列式的定义与确立符号的法则，被认为是行列式理论的奠基人。
1812年，柯西(Cauchy)首先采取“行列式”(Determinant)这一名称。
他还于1815年把行列式的元素记为a ij，带双重足码。
他的著作给出行列式第一个系统的也几乎是近代的处理，其中一个主要结果之一是行列式的乘法规则。
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
行列式发展历史
行列式发展历史行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的发展历史，从最早的发现到现代的应用。
1. 古希腊时期行列式的概念最早可以追溯到古希腊时期的数学家。
数学家欧几里得在其著作《几何原本》中首次提到了类似于行列式的概念。
他研究了二阶行列式，即由两个数字组成的矩阵，以及它们的性质。
2. 行列式的发展在欧几里得之后，行列式的研究逐渐发展起来。
十七世纪的数学家克莱姆尔（Cramer）在解线性方程组的过程中使用了行列式的概念，并提出了克莱姆尔法则，用行列式来求解未知数。
3. 行列式的性质随着行列式的研究深入，人们逐渐发现了行列式的一些重要性质。
例如，行列式的值可以用于判断矩阵是否可逆，以及求解线性方程组的惟一解。
行列式还具有加法性、乘法性、转置性等重要性质，这些性质为行列式的应用提供了基础。
4. 行列式的应用行列式在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在数学中，行列式被用于求解线性方程组、计算矩阵的逆以及求解特征值等。
在物理学中，行列式被用于描述刚体的运动以及量子力学中的波函数等。
在工程中，行列式被用于解决电路分析、矩阵变换等问题。
5. 现代行列式理论随着数学的发展，行列式的理论也得到了进一步的发展。
现代行列式理论包括了更高维度的行列式，以及更复杂的行列式运算。
行列式的理论与线性代数、矩阵论等领域相互关联，为数学研究和应用提供了强有力的工具。
总结：行列式作为线性代数中的重要概念，经历了古希腊时期的起源，逐渐发展并得到广泛应用。
它的性质和应用在数学、物理、工程等领域中都有重要的地位。
现代行列式理论的发展使得行列式的应用更加广泛和深入。
行列式的研究不仅推动了数学的发展，也为其他学科的研究提供了理论基础和解决问题的方法。
线性代数发展史
线性代数发展史由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。
如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。
历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式是由和日本数学家发明的。
1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796) 。
范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。
行列式发展历史
行列式发展历史行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的发展历史，从最早的发现到现代应用。
1. 古希腊时期行列式的起源可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中首次提到了类似于行列式的概念。
他研究了二阶和三阶行列式，并给出了一些性质和计算方法。
2. 17世纪17世纪，数学家克莱姆(Cramer)在其著作《行列式论》中系统地研究了行列式的性质和计算方法。
他提出了克莱姆法则，用于解线性方程组，这是行列式在代数方程中的首次应用。
3. 18世纪18世纪，欧拉(Euler)对行列式进行了深入研究，并提出了行列式的定义和性质。
他发现了行列式的行列互换性质和行列式的乘法规则，为行列式的理论奠定了基础。
4. 19世纪19世纪，高斯(Gauss)对行列式的理论进行了进一步的发展。
他提出了行列式的消元法和行列式的性质，为行列式的计算提供了更加简便的方法。
高斯还将行列式的概念应用于线性代数和矩阵理论中，为后续的研究提供了重要的基础。
5. 20世纪20世纪，行列式在数学和科学领域中得到了广泛的应用。
行列式的概念被应用于线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算、线性变换的研究等方面。
行列式的理论也得到了进一步的发展和完善。
6. 现代应用行列式在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。
在物理学中，行列式被用于描述量子力学中的波函数和态矢量。
在计算机图形学中，行列式被用于计算几何变换和图象处理。
在经济学和金融学中，行列式被用于分析市场和预测趋势。
行列式的应用还涉及到统计学、生物学、电子工程等领域。
总结：行列式的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过欧几里得、克莱姆、欧拉、高斯等数学家的研究和发展，行列式的理论得到了完善和应用。
行列式在数学和科学领域中有着广泛的应用，包括线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算、量子力学中的波函数描述、计算机图形学中的几何变换等。
行列式发展历史
行列式发展历史行列式是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的发展历史，从最早的发现到现代的应用。
1. 古希腊数学家行列式的概念最早可以追溯到古希腊数学家，如欧几里得和毕达哥拉斯。
他们在解线性方程组时，已经使用了类似行列式的方法，尽管当时并没有明确的符号表示。
2. 17世纪在17世纪，行列式的概念逐渐得到了发展和完善。
法国数学家拉梅尔和德尔菲诺提出了类似于现代行列式的记法和性质。
他们将行列式视为一个数，用于解决线性方程组和计算面积等几何问题。
3. 18世纪18世纪，瑞士数学家克莱姆(Cramer)提出了克莱姆法则，它是解线性方程组的一种方法，利用了行列式的性质。
克莱姆法则成为了行列式的一个重要应用，特别在解二元线性方程组时非常实用。
4. 19世纪19世纪，行列式的理论得到了进一步的发展。
德国数学家高斯(Gauss)对行列式的性质进行了深入的研究，并提出了高斯消元法，用于解决线性方程组。
高斯的工作为行列式的发展奠定了坚实的基础，并成为线性代数的重要组成部份。
5. 现代应用在现代，行列式的应用已经扩展到各个领域。
在数学中，行列式被广泛用于矩阵理论、线性变换、特征值和特征向量的计算等方面。
在物理学中，行列式被用于描述量子力学中的态矢量和算符。
在工程学中，行列式被应用于电路分析、信号处理和图象处理等领域。
6. 行列式的计算计算行列式的方法有多种，最常见的是利用拉普拉斯展开定理和三角形法则。
拉普拉斯展开定理是指通过将行列式按照其中的一行或者一列展开为代数余子式的乘积和来计算行列式的值。
三角形法则是指将矩阵转化为上三角矩阵或者下三角矩阵，从而简化行列式的计算。
7. 行列式的性质行列式具有一系列重要的性质，包括可交换性、线性性、行列互换性、倍元性、行列式的秩等。
这些性质使得行列式成为解决线性方程组和矩阵运算的有力工具。
总结：行列式的发展历史可以追溯到古希腊数学家，经过17世纪的发展和完善，到18世纪的克莱姆法则和19世纪的高斯消元法，行列式的理论逐渐完善。
线性代数历史背景及应用
线性代数历史背景及应用线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科。
它具有悠久的历史背景和广泛的应用。
本文将从历史背景和应用两个方面介绍线性代数。
首先，我们来看线性代数的历史背景。
线性代数的起源可以追溯到古希腊的数学家欧几里得。
他在《几何原本》中首次提出了向量概念。
然而，线性代数的真正发展始于18世纪至19世纪的欧洲。
在这一时期，数学家们开始研究向量空间，提出了线性代数的基本概念和理论基础。
著名的数学家伽罗瓦、高斯、爱尔米特等人对线性代数的发展做出了巨大贡献。
以高斯为例，他在矩阵理论的发展史上占有重要地位，他定义了矩阵的概念，并进行了深入的研究。
随着近代数学的发展，矩阵理论和线性代数的应用在物理学、工程学、计算机科学等领域中变得越来越重要。
接下来，我们将探讨线性代数的应用。
线性代数在各种实际问题中具有广泛的应用。
首先，在物理学中，线性代数被广泛用于描述物理系统和求解物理问题。
例如，量子力学中的波函数可以用复数向量表示，量子态的演化可以通过线性变换描述，而且量子测量可以通过矩阵的特征值问题来求解。
其次，在工程学中，线性代数的应用也非常重要。
例如，电力系统的分析和控制、通信系统的信号处理和编码、电路分析中的基尔霍夫定律、机械系统中的力学分析等都需要运用线性代数的知识。
另外，在图像处理和计算机图形学中，线性代数被广泛应用于图像压缩、三维图形的表示和变换等方面。
此外，在经济学和金融学中，线性代数的应用也非常重要。
例如，经济学家经常使用线性模型来描述经济关系，并通过线性代数的方法进行模型的参数估计和假设检验。
在金融学中，线性代数被用于股票价格走势的预测、投资组合的优化、风险管理等方面的研究。
最后，在计算机科学中，线性代数的应用非常广泛。
例如，线性代数在计算机图形学中被广泛用于动画、游戏和计算机模拟等方面。
同时，在机器学习和数据挖掘领域中，线性代数被用于数据的降维、特征选择、分类和聚类等任务中。
综上所述，线性代数作为一门重要的数学学科，具有悠久的历史背景和广泛的应用。
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线性代数发展史由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。
如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。
历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。
1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796) 。
范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。
1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。
1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。
其中主要结果之一是行列式的乘法定理。
另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。
19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894) 。
他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。
西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。
继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。
雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。
由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。
整个19 世纪都有行列式的新结果。
除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。
矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
1855 年，埃米特(C.Hermite,1822-1901) 证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。
1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。
傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。
而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。
线性方程组线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在17 世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
19 世纪，英国数学家史密斯(H.Smith) 和道奇森(C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。
这正是现代方程组理论中的重要结果之一。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。
因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。
现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。
二次型二次型也称为“二次形式”，数域？上的？元二次齐次多项式称为数域？上的？元二次型。
二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。
二次型的系统研究是从18 世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。
将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18 世纪引进的。
柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。
然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。
西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。
这个定律后被雅可比重新发现和证明。
1801 年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。
特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。
而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette) 、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840) 建立的。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。
后来，他又证明了个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
1851 年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。
在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。
1858 年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。
魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。
从解方程到群论求根问题是方程理论的一个中心课题。
16 世纪，数学家们解决了三、四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。
这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。
经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。
到了18 世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。
但他最终没能解决高次方程问题。
拉格朗日的弟子鲁菲尼(Ruffini,1765-1862) 也做了许多努力，但都以失败告终。
高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。
阿贝尔(N.K.Abel,1802-1829) 只活了27 岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。
1824 年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解。
但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。
因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题。