(完整版)高次方程及解法

高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法

在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0

解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),

Θ(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8

观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程

x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4

点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常

数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法

根据定理:“如果整系数多项式a n x n ＋a n-1x n-1+K +a 1x+a 0可分解出因式P x-Q ,即方程a n x n ＋a n-1x n-1+K +a 1x+a 0=0有有理数根P

Q

（Ｐ、Q 是互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项 a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：

第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

例1 解方程x 4+2x 3-4x 2-5x-6=0

解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数±1、±2、±3、±6

第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除±1根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）

第三步：用长除法将原方程降次。（x 4+2x 3-4x 2-5x-6）÷(x-2) (x+3)= x 2+x+1

第四步：解一元二次方程x 2+x+1=0 x=a ac b b 242-±-=2

312114112i ±-=⨯⨯-±- ∴

x 1=,231i +- x 2=,231i -- x 3=2 x 4= -3 第二种类型，首项系数不为1 。对首项系数不为１的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是P

Q 而不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐx －Ｑ），其余的解法步骤同

首项系数为１的解法步骤相同。

例２ 解方程３x 3-２x 2＋９x -6＝０

解：将原方程化为 ３（x 3-3

2x 2＋３x -２）＝０ 此时，“常数项”为-2，它的约数为 ±1，2± ，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或P

Q = -32 f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3 X -2）。

（3x 3-２x 2＋９x -6）÷(3x -2)= x 2+3

解方程式x 2+3=0 x=23i ±， x 1=23i ，x 2=-2

3i ∴

原方程的解为x 1=23i ，x 2= 23i -，x 3=32 三、倒数方程求根法

1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x 4+bx 3+cx 2+dx+e=0,其中，,e a =d b =或者a= -e,b= -d

2、性质：倒数方程有三条重要性质：

（1）倒数方程没有零根；

（2）如果a 是方程的根，则a

1也是方程的根；

（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。

3、倒数方程求解方法：

如果a x 4+bx 3+cx 2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x ≠0,所以，方程两边同除以x 2得：a(x 2+

21x )+b(x+x 1)+e=0,令x+x 1

=y, x 2+21x =y 2-2,即原方程变为： ay 2+by+(e-2a)=0, 解得y 值，再由x+x 1=y ，解得x 的值。 例1 解方程2 x 4+3x 3-16x 2+3x+2=0

解：Θ x 2 ≠ 0 ∴ 方程两边同除以 x 2 得：