计算机图像的盒维数计算方法

计算机图像的盒维数计算方法
摘要
分形维数是分形几何中研究的主要对象，近年来的许多研究将其用来刻画一个几何体的复杂程度，从而得到了许多丰富而有意义的结论。

在应用中常采用盒维数作为分形维数，其具有定义直观，计算简便的特点。

在计算机图像的处理问题中，目前有多种盒维数的计算方法。

本文结合近年来的最新研究结果，对几何体的盒维数的计算问题作一综述，研究这些算法，并评价其优点和限制。

本文旨在对计算机图像处理领域的盒维数计算方法作分类研究。

【关键词】分形几何盒维数图像处理计算方法
1 背景介绍
近些年来，图像的计算机分析，在很多方面受到了分形几何的启发。

总体来看，分形几何在其中的最重要的应用是分形维数的估计。

本文将着重介绍两种不同的盒维数的计算方法。

本文中所有的讨论均针对二维欧式空间中的集合。

由于盒维数具有有限稳定性，从而若计算的对象集合包含一个内点（从而包含一个开集），则这个集合的盒维数自然地应该等于2。

因此不失一般性地，本文中二维黑白图像的分形维
数计算问题讨论的是该图像的边界集（不包含内点）的分形维数；二维灰度图像计算的是该图像对应的三维集合的边界集的分形维数。

2 盒子计数方法
盒子计数方法（Box-Counting method，BCM）是最早被用来计算盒维数的算法，由Russel等人于1980年提出，并发展出了多种变形的算法。

记F为待分析的图像（信号），Nδ为覆盖F所需的最少的半径不超过δ的几何形体的个数，则定义F的上、下盒维数为：
（1）
（2）
若，则称该极限为F的盒维数，记为dimBF
BCM的计算过程如下：
（1）计算覆盖图像所需最少的尺度不超过δ的“盒子”的个数，记为Nδ
（2）作出log（Nδ）-logδ图像（下文简称为log-log 图），利用最小二乘法得到回归直线的斜率k
（3）则该图像的盒维数即为-k
该方法在应用时有许多限制：首先，需要将信号进行黑白化处理，从而信号的一些细节被忽略了。

其次，对同一张图像选取不同尺度的盒子进行覆盖时，达到最小覆盖数时盒
子的覆盖方式不同，这对计算造成了困难（Appleby，1996）。

更严重的是，Normant和Tricot举例指出BCM只对具有自相似性质的图像有效，对于一些信号（比如某些函数的时空图像）进行计算时会得到没有物理意义的结果。

2.1 改进盒子计数方法（Differential box-counting method，DBCM）
该方法是对BCM的改进，由Chaudhuri和Sarkar于1995提出，可以有效地处理灰度图像。

Biswas 等人指出，DBCM 在图像结构分析的问题中，是计算效率最优的算法。

该方法同样也将信号（图像）分为若干个尺度不超过δ的“盒子”，而根据每个区域中灰度最大值与最小值的差得到该“盒子”的计数，最后将所有计数相加得到Nδ。

事实上，该方法利用图像在某个区域的灰度变化程度来反映该区域中图像的粗糙程度，对于黑白图像，该方法等价于BCM。

在计算中“盒子”的尺度会影响到计算的精确性，因此需要对“盒子”的尺度进行控制。

实际上，由于的图像的分辨率有限，因此用于覆盖的“盒子”的尺度不可能超过单个像素的尺度；不仅如此，Bisoi和Mishra [8]指出在灰度图像中，如果“盒子”的尺度过大，那么一个“盒子”中的全部像素数将多于灰度的分阶数，即此时灰度的划分相对于网格的划分过于粗略。

这会导致每个“盒子”的计数被低估，从而使得盒维数的计算数值偏小。

因此采用常用的256级灰度
划分时，每个“盒子”的尺度应小于16个像素。

2.2 等高线法（Isarithm Method，IM）
等高线法是最初由（Shelberg等人于1983年提出，基本思路与DBCM类似的实用算法，同样用于灰度图像盒维数的估算。

以边长为L，最小像素尺度为h的正方形的二维灰度图像为例，将IM的计算流程展示如下：
（1）设灰度阈值为α。

将图像网格化，记网格的尺度为h的N0倍，输出图像的灰度矩阵，并与α比较，灰度比α大的网格记为1，否则记为0，得到0-1矩阵A0。

初始时等高线长度为零.
（2）逐行比较A0，若|A0 （i，j）-A0 （i，j+1）|=1，则此处即为等高线，增加一个单位长度。

逐行比较完毕后得到等高线长度L0
（3）记录点（log（h?N0），log（L0））
（4）令Nk=Nk-1/2，重复（1）（2），记录点（log（h?Nk）-log（Lk））
（5）得到log（h?Nk）-log（Lk）图像，用最小二乘法得到回归直线斜率为B
（6）图像的分形维数为1-B
此方法本质上计算的是图像给定高度值的等高线的盒
维数，即等价于用长度不超过δ（=h?Nk）的线段覆盖等高线。

在计算中不直接使用最小覆盖数Nδ，而使用覆盖的折
线段长度L=δ?Nδ进行回归，是由于δ的数量级通常与N δ相差较大，使用L可以更好地避免舍入误差造成的精度损失。

3 盒子计数方法的改进
上文介绍了BCM算法及其变形，这些算法都是基于回归的盒维数计算方法。

然而，回归方法得到的结果未必满足盒维数的一些性质。

3.1 平移、旋转不变性
由（1）式可知，覆盖的”盒子“形状不会影响盒维数的数值，即盒维数应关于网格划分具有平移、旋转不变性。

但（Sandau&Kurz，1997）将Cantor尘按照24种不同的方式进行网格化（每次旋转15°），并运用回归的方法计算其盒维数，得到了相差较大的几组结果。

3.2 抗噪性盒维数具有有限稳定性，因此理论上原图像和有限个散点（噪声）的并集的盒维数，应与原图像相等。

然而，（Sandau&Kurz，1997）构造了一个反例，得到了与预计不同的结果：利用BCM，在二维Cantor尘的图像中添加若干散点后，得到的盒维数比之前要小。

因此采用回归的BCM 抗噪性较差。

由于上述两点原因，Sandau和Kurz提出了不采用回归的拓展的盒子技术方法（Extended Counting Method，XCM）。

XCM的基本思路来源于“相似维数”。

若具有自相似性
的F可以分为N个相似样本F1，F2，..，FN，每个相似样本的相似比为r，则相似维数定义为
将类似的思路用于盒维数的计算中。

不妨设图像包含在一个边长为q的正方形中，在图像中选取一个边长为qΩ（简便起见，不妨设q为qΩ的整数倍）的正方形区域Ω。

在子区域Ω中，计算与图像相交非空的网格数NΩ，并定义该区域的“相似维数”为
由（9）式可知，当qΩ→0时，dimSB→
dimBΩ
由1.1的讨论可知，qΩ的取值上下有界，因此子区域数量有限，遍历所有区域，并计算其“相似维数”，则这些区域的“相似维数”的最大值就是图像的分形维数。

由该算法的过程可知，由此得到的分形维数具有有限稳定性和单调性，从而具有较好的抗噪性。

并且（Sandau&Kurz，1997）还展示了该方法相比于其他采用回归的算法，在图像旋转时其分形维数的计算值变化更小。

4 总结
由于盒维数的定义假设分形集合具有任意高的分辨率，这在计算机图像中是不可能实现的。

因此计算时需对数值方法加以限制（如1.1），更要在处理之前对图像的本质进行判断。

而以上方法在对图像的理解上有根本上的不同，大致可以分为两类：
第一类方法假设图像是某一个具有良好性质（自相似性）的分形集合的不完全信息，因此将图像作为该分形的近似进行处理，如BCM。

这类方法对构造的分形集合的计算有较好的结果，然而在处理各向异性的广义分形图像时未必能得到满意的结果。

第二类方法类比盒维数的定义，对图像的复杂性进行计算，如IM和XCM等。

借助图像的灰度数据，这些方法分析的是图像的粗糙程度，并用指数律来反映整个图像的复杂程度。

在这些算法给出的结果中，分形维数是表征复杂性的一个参数。

近几年，在计算机图像处理的领域中分形维数的概念被广泛地运用，文中介绍的方法也被应用于医疗、地质等多个领域中。

然而分形维数本身，还有许多不完善之处，因此在应用中若要获得更加深入的理解，还有待分形几何理论的进一步发展。

参考文献
[1]Falconer K.Fractal geometry：mathematical foundations and applications[M].John Wiley & Sons，2004.
[2]Lopes R，Betrouni N.Fractal and multifractal analysis：
a review[J]. Medical image analysis，2009，13（4）：634-649.
[3]Russell D A，Hanson J D，Ott E. Dimension of strange attractors[J]. Physical Review Letters，1980，45（14）：1175.
[4]Appleby S.Multifractal characterization of the distribution pattern of the human population[J]. Geographical Analysis，1996，28（2）：147-160.
[5]Normant F，Tricot C.Method for evaluating the fractal dimension of curves using convex hulls[J]. Physical Review A，1991，43（12）：6518.
[6]Chaudhuri B B，Sarkar N.Texture segmentation using fractal dimension[J].Pattern Analysis and Machine Intelligence，IEEE Transactions on，1995，17（1）：72-77.
[7]Biswas M K，Ghose T，Guha S，et al. Fractal dimension estimation for texture images：a parallel approach[J].Pattern Recognition Letters，1998，19（3）：309-313.
[8]Bisoi A K，Mishra J.On calculation of fractal dimension of images[J]. Pattern Recognition Letters，2001，22（6）：631-637.
[9]Shelberg M C，Lam N，Moellering H. Measuring the fractal dimensions of surfaces[R].DEFENSE MAPPING AGENCY AEROSPACE CENTER ST LOUIS AFS MO，1983.
[10]Sandau K，Kurz H.Measuring fractal dimension and complexity―an alternative approach with an
application[J].Journal of microscopy，1997，186（2）：164-176.
[11]Dobrescu R，Ichim L，Crisan D. Diagnosis of breast
cancer from mammograms by using fractal
measures[J].International Journal of Medical Imaging，2013，1（2）：32-38.
[12]Jin X C，Ong S H.A practical method for estimating fractal dimension[J]. Pattern Recognition Letters，1995，16（5）：457-464.
[16]Dobrescu R，Ichim L，Crisan D. Diagnosis of breast cancer from mammograms by using fractal
measures[J].International Journal of Medical Imaging，2013，1（2）：32-38.
作者单位
复旦大学数学科学学院上海市200433。