2012广东高考理科数学试卷及答案

○ 和 ○ 都在集合 中，则 ○ =（ ） A． 分析： B． 1 由题意可得 • = C． D．
= ，同理可得 • =
=
，故有 n≥m 且 m、n∈z．再由 cos2θ= ， 与 的夹角θ∈（0， ），可得 cos2θ∈（ ，1），即 ∈（ ，1），由此求得 n=3，m=1，从而得到 • =
；故答案为
点 本题考查绝对值不等式的解法，其常用解题策略即将其变为分段 评： 函数，分段求解不等式． 10．（5分）（2012•广东） 中x3的系数为 20 ．（用数字作答） 分 由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出x3是展开式中 析： 的第几项，从而得出其系数 解 解：由题意， 答： 的展开式的通项公式是Tr+1=
，由此能求出结果． 解答： 解：
=
=
=﹣6﹣5i． 故选D． 点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时 要认真审题，仔细解答．
2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2， 4}，则∁UM=（ ） A． U 分析： 解答： B． {1，3，5} C． {3，5，6} D． {2，4，6} 直接利用补集的定义求出CUM． 解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则 ∁UM={3，5，6}， 故选C． 点评： 本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础 题．
= x12﹣3r 令12﹣3r=3得r=3 所以 中x3的系数为 =20 故答案为20 点 本题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，解 评： 答的关键是熟练掌握二项式的通项公式 11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22
﹣4，则an= 2n﹣1 ． 分 由题意，设公差为d，代入 析： ，直接解出公式d，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答 案 解 解：由于等差数列{an}满足a1=1， 答： ，令公差为d 所以1+2d=（1+d）2﹣4，解得d=±2，又递增的等差数列{an}，可 得d=2 所以an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，故答案为2n﹣1 点 本题考查等差数列的通项公式，解题的关键是利用公式建立方程 评： 求出参数，需要熟练记忆公式． 12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程 为 2x﹣y+1=0 ． 分 先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出 析： 直线的方程，最后化成一般式即可． 解 解：y′=3x2﹣1，令x=1得切线斜率2 答： 所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0，故答案为：2x﹣ y+1=0 点 本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜 评： 率、考查直线的点斜式，属于基础题．
21．（14分）（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2 ﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （1）求集合D（用区间表示）； （2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
2012年广东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
得C（3，2） 目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越 大，z越大， 由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11； 故选 B
点评：
本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次 不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属 基础题
6．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为 （ ）
4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是 （ ） A． y=ln（x+2） B． 分析： C． D．
利用对数函数的图象和性质可判断A正确；利用幂函数的 图象和性质可判断B错误；利用指数函数的图象和性质可 判断C正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D的单调 性 解：A，y=ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在 （0，+∞）上为增函数，A正确；B， 在[﹣1，+∞）上为减函数；排除B；C， 在R上为减函数；排除C；D， 在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除 D；故选 A
n∈z，且 ∈（ ，1），是解题的关键，属于中档题． 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30 分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从 中选做一题） 9．（5分）（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为 ． 分 由题意，可先将不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三 析： 段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等 式的解集 解 解：∵|x+2|﹣|x|= 答： ∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解； 当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤ ，即有﹣2＜x≤ ； 当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立， 综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为
A． 12π
B． 45π
C． 57π
D． 81π
7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任 取一个，其个位数为0的概率是（ ） A． B． C． D．
8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ○ =
，若平面向量 、 满足|
|≥| |＞0， 与 的夹角 ，且 ○ 和 ○ 都在集合 中，则 ○ =（ ） A． B． 1 C． D．
20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
的离心率 ，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3． （1）求椭圆C的方程； （2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆 O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在， 求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解答：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由古典概率的求解公式可得，P（A）= ； 故选D 点评： 本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键 是灵活利用简单的排列、组合的知识求解基本事件的个数
8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ○ =
，若平面向量 、 满足| |≥| |＞0， 与 的夹角 ，且
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30 分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从 中选做一题）
9．（5分）（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为 _________ ． 10．（5分）（2012•广东） 中x3的系数为 _________ ．（用数字作答） 11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22 ﹣4，则an= _________ ． 12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程 为 _________ ． 13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为 8，则输出的s的值为 _________ ．
4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是 （ ） A． y=ln（x+2） B． C． D．
5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件
，则z=3x+y的最大值为（ ）
A． 12
B． 11
C． 3
D．﹣1
6．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为 （ ）
14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐 标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为 （t为参数）和
（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为 _________ ．
15．（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1， A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与 O C 的延长线交于点P，则图PA= _________ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤． 16．（12分）（2012•广东）已知函数 （其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π． （1）求ω的值； （2）设 ， ， ，求cos（α+β）的值．
= 的值． 解答： 解：由题意可得
• =
=
=
= ． 同理可得 • =
=
=
= ． 由于|
|≥| |＞0，∴n≥m 且 m、n∈z． ∴cos2θ= ．再由 与 的夹角θ∈（0， ），可得 cos2θ∈（ ，1），即 ∈（ ，1）． 故有 n=3，m=1，∴ • = = ， 故选C． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到 n≥m 且 m、
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2012•广东）设i是虚数单位，则复数 =（ ） A． 6+5i 分析： 把 的分子分母同时乘以i，得到 B． 6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i
，利用虚数单位的性质，得
解答：
点评：
本题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单 调性的判断，简单复合函数的单调性，属基础题
5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件
，则z=3x+y的最大值为（ ） A． 12 分析： 解答： B． 11 C． 3 D．﹣1
先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几 何意义，数形结合即可得目标函数的最值 解：画出可行域如图阴影部分，由
18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE． （1）证明：BD⊥平面PAC； （2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
19．（14分）（2012•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足 ，且a1，a2+5，a3成等差数列． （1）求a1的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有 ．
3．（5分）（2012•广东）若向量 ，向量 ，则 =（ ） A．（﹣2，﹣ 4） 分析： B．（3，4） C．（6，10） D．（﹣6，﹣ 10）
由向量 ，向量 ，知 ，再由 ，能求出结果．
解答：
解：∵向量
，向量 ， ∴ ，∴ =（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）． 故选A． 点评： 本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真 解答，仔细运算．
7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任 取一个，其个位数为0的概率是（ ） A． 分析： B． C． D．
先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后 再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典 概率的求解公式可求 解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与 十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有 =45 记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数 为0”为事件A，则A包含的结果：10，30，50，70，90共5 个
2012年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2012•广东）设i是虚数单位，则复数 =（ ） A． 6+5i B． 6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i 2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2， 4}，则∁UM=（ ） A． U B． {1，3，5} C． {3，5，6} D． {2，4，6} 3．（5分）（2012•广东）若向量 ，向量 ，则 =（ ） A．（﹣2，﹣ 4） B．（3，4） C．（6，10） D．（﹣6，﹣ 10）
A． 12π 分析：
B． 45π
C． 57π
D． 81π
由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3 的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根 据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到
正确选项 解答： 解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底 面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的 圆柱 故它的体积是5×π×32+ π×32× =57π；故选C 点评： 本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关 键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等 数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求 体积的运算，
17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直 方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60）， [60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中x的值； （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以 上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．