古印度与阿拉伯数学和古希腊数学的异同

古印度与阿拉伯数学和古希腊数学的异同

印度数学：

如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响.雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围.

印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪).

印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定.吠陀即梵文veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上.

关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓"巴克沙利手稿".

其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程

用圆圈符号"0"表示零，可以说是印度数学的一大发明.在数学上，"0"的意义是多方面的，它既表示"无"的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算.

印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲.零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍.印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色.

悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为"宗"，或"体系")时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598-665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(Bhaskara Ⅱ，1114一约1185)等.

阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世.该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。

阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓"库塔卡"(kuttaka，原意"粉碎")方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法.

阿拉伯数学：

"阿拉伯数学"并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作.

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献.

他们掀起了著名的翻译运动：在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿拉伯文；8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文；9世纪最著名翻译家伊本·科拉(Tabit ibn Qorra，836-901)翻译了欧几里得、阿波罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作；到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。

阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面.花拉子米(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响.阿拉伯语"al-jabr"，意为还原移项；"wa'l-muqabala"即对

消之意.传入欧洲后，到14世纪"al-jabr"演变为拉丁语"algebra"，也就成了今天的英文"algebra"(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》.

书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为"解方程的科学"的代数学开拓了道路.

《代数学》约1140年被英国人罗伯特(Robert of Chester)译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破.

花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过"还原"与"对消"(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类型方程.由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有明显的代数特征。

由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》(Sphaerica)等古典著作.

对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼

(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家.其《天文论著》(又名《星的科学》)被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果.

在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切.他称正弦为ji va，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为umbrarecta，意即直阴影.后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克(1561-1656)的《圆的几何》(1583)一书中。而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940-997?)最先引入的.

与希腊的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花.最重要的例子是他们在评注《几何原本》