离散数学图论基础知识

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台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络
的研究中。图论，尤其是随机图论已经与统计物理并 驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
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图
8.1 图的基本概念
A、B、C、D四个 班进行足球比赛，为了表示四个 班之间比赛的情况，我们作出如 右上图的图形。在该图中的4个小 圆圈分别表示这四个班，称之为 结点。如果两个班进行了比赛， 则在两个结点之间用一条线连接 起来，称之为边。这样，利用图 形使得各班之间的比赛情况一目 了然。 XDC
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核心和主要动力 , 也因此大大推动了以研究离散和组
合问题为主要对象的图论的发展
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图 论
一个图就是一个离散的拓扑结构 ,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
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随着计算机科学的飞速发展 ,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一 ,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
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2016年2月17日星期三
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勿在浮沙筑高台！
程序设计领域里，每一个人都想飞。 但是，还没有学会走之前，连怕跑都别想！
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2016年2月17日星期三
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图论基础知识讲解
该材料用于图论第1讲课图论基础知识讲解环节
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图 论
图论是组合和离散数学最重要的分支之一 , 也是计算 机基础理论科学的重要部分。它以图为研究对象。在 理论计算机科学、运筹学、系统科学和数学中都有重 要的地位。 而信息科学和生物科学已成为当今科学和经济发展的
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弗南西斯 . 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作
时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可 以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上 不同的颜色。 XDC
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图 论
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学 学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界 关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了 四色猜想的大会战。 1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色
有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公共
点。四色猜想有一段有趣的历史。
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图 论
每个地图可以导出一个图，其中国家都是点，当相应的 两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所以四色 猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面 图理论、代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的
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2) 若 G'G ，且 G'≠G （即 V'V 或 E'E ），则称
G'是G的真子图，记为G'G。 3) 若V'=V，E'E，则称G'是G的生成子图。 4) 设 V"V 且 V"≠ ，以 V" 为结点集，以两个端 点均在V"中的边的全体为边集的G的子图称为
V"导出的G的子图，简称V"的导出子图。
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3)
4)
无自回路的线图称为简单图。
G1、G2是多重图，G3, G4是线图，G4是简单图。
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赋权图
图的分类－按权
G是一个三重组<V,E,g>或四重组<V,E,f,g>，
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其中 V 是结点集合， E 是边的集合， f 是从 V 到非负
实数集合的函数，g是从E到非负实数集合的函数。 非赋权图称为无权图。
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100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
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图 论
对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理 论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。 我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络， 无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语 言和符号精确简洁地描述。 图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平
记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
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问题。
图 论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥
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欧拉证明了这个问题没有解，并
且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍
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的判定法则。
这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
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图 论
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结点的度数 （次数）
1) 在无向图G＝<V，E>中，与结点v(vV)关联的边的条 数（有环时计算两次），称为该结点的度数，记为 deg(v)； 1) 在有向图G＝<V，E>中，以结点v 为始点引出的边的条数，称为该 结点的出度,记为deg+(v)；以结点v 为终点引入的边的条数，称为该 结点的入度 , 记为 deg-(v) ；而结点 的引出度数和引入度数之和称为 该 结 点 的 度 数 ， 记 为 deg(v) ， 即 deg(v)＝deg+(v)+deg-(v)； XDC
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图的定义
定义8.1一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合， vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,3,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
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子图
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S T 在如图中，给出了图G以及它的真子图G'和 生成子图G" 。G'是结点集{v1，v2，v3，v4，v5}
的导出子图。
显然，每个图都是它自身的子图。
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完全图
1. 设 G ＝ <V,E> 为一个具有 n 个结点的无向简单 图，如果 G中任一个结点都与其余 n-1个结点 相邻接，则称G为无向完全图，简称G为完全 图，记为Kn。 1. 设 G ＝ <V,E> 为一个具有 n 个结点的有向简单 图 ， 若 对 于 任 意 u,vV(uv) ， 既 有 有 向 边 <u,v> ，又有有向边 <v,u> ，则称 G 为有向完 全图，在不发生误解的情况下，也记为Kn。
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图 论
理论计算机科学中的算法理论经典问题 ( 图中点对之
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间最短路 , 货郎担问题 , 图重抅问题 ,HAMILTON 问
题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度
和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
在基础理论方面的著名四色定理和各种染色问题 , 极 值理论及树、路和圈问题，HAMILTON理论等)； 网络流、组合最优化等运筹学问题；任务人员安排等 管理科学和系统科学的问题以及在物理 ,化学,社会学,
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图的分类－按边的方向
1) 若边e与无序结点对 (u， v)相对应，则称边e为无向边 ,
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记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点； 2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向边 ( 或弧 ) ，记为 e ＝ <u， v>，这时称 u是边 e 的始点 ( 或弧 尾).v是边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；
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语言学,生物学等领域的大量应用问题。
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图 论
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的 图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特 定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两 个事物间具有这种关系。 图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经
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被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字
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G1是无向图，G2是有向图，G3是混合图。
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图的分类－按边的方向
设图 G ＝ <V,E> 如右图所示。 这里 V＝{v1,v2,v3,v4,v5}，
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E＝{e1,e2ຫໍສະໝຸດ Baidue3,e4,e5,e6}，
其中 e1＝(v1,v2)，e2＝<v1,v3>，e3＝(v1,v4)， e4＝(v2,v3)，e5＝<v3,v2>，e6＝(v3,v3)。 图中的e1、e3、e4是无向边，e2、e5是有向边。 这是一个混合图。
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几个概念
1) 在一个图中，关联结点 vi 和 vj 的边 e ，无论是有向的还 是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称为 邻接点，否则称为不邻接的； 2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
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3) 4) 5) 6) 7)
图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)； 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 仅由孤立结点组成的图称为零图； 仅含一个结点的零图称为平凡图； 含有n个结点、m条边的图 称为(n，m)图；
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定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯
普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定 了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 XDC
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图 论
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于 演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快 了对四色猜想证明的进程。 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图；
5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。 XDC
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图的分类－按边的方向
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W 上图所示的三个图分别表示为：
G1＝<V1,E1>＝<{v1,v2,v3,v4}，{(v1,v2),(v2,v3), (v1,v3),(v2,v4),(v1,v4),(v3,v4)}> G2＝<V2,E2>＝<{a,b,c,d,e},{<a,b>,<c,b>, <c,a>,<d,e>}> G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>, <3,5>,<4,5>}>
1859年，英国数学家哈米尔顿发明了一种游戏：用一 个规则的实心十二面体，它的20个顶点标出世界著名 的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶 点刚好一次的闭回路，即「绕行世界」。 用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中
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找出一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密顿问题。
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| 完全图K3。
完全图
无向的简单完全图K3，K4，K5和有向的简单
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1 无向完全图Kn的边数为 C = n(n-1)，有向 2 2 完全图Kn的边数为 Pn = n(n-1)。
2 n
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图的同构
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图的同构：设两个图 G=<V,E> 和 G'=<V',E'> ，如果 存在双射函数g：V→V'，使得对于任意的e =(vi,vj)（或者<vi,vj>）∈E当且仅当e'= (g(vi),g(vj))（或者<g(vi),g(vj)>）∈E'， 并且e与e'的重数相同，则称G与G'同构， 记为G≌G'。 XDC
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结点的度数 （次数）
1) 对于图G＝ <V， E>，度数为 1 的结点称为悬挂结点， 它所关联的边称为悬挂边。 2) 在图G＝<V，E>中，称度数为奇数的结点为奇度数结 点，度数为偶数的结点为偶度数结点。
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S T v5是悬挂结点，<v1，v5>为悬挂边。
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子图
定义8.7 设有图G＝<V,E>和图G'＝<V',E'>。 1) 若 V'V ， E'E ， 则 称 G' 是 G 的 子 图 ， 记 为 G'G。
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1)
图的分类－按边的重数
在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终
点的几条边，则这几条边称为平行边，在无向图中，两个结点 间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行边；
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两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj)或<vi，vj>的
重数； 含有平行边的图称为多重图；非多重图称为线图；
由于运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都
可以化为哈密顿问题，从而引起广泛的注意和研究。
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| 四色猜想。
图 论
在图论的历史中，还有一个最著名的问题 ——
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这个猜想说，在一个平面或球面上的任何地图 能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相 邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一
个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们