中考数学反比例函数的综合复习及答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．
（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；
（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．
∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；
∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），
∴2=﹣ +b，解得：b= ，
∴一次函数解析式为y= x+ ．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，
解得：，或，
∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．
∵点A′与点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，2），
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
则有，解得：，
∴直线A′B的解析式为y= x+ ．
令y= x+ 中x=0，则y= ，
∴点C的坐标为（0，）
（2）解：观察函数图象，发现：
当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0
【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6
∴反比例函数解析式为：
把C（﹣1，n）代入，得：
n=﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：
所以一次函数解析式为y1=2x﹣4
（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．
（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形
如图，
过B作BP1⊥y轴于P1，
∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形
此时，P1（0，2）
过B作BP2⊥AB交y轴于P2
∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形
在Rt△P1AB中，
在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB
∴
∴P2（0，）
综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．
3．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．
（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；
（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；
（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．
【答案】（1）解：∵A（5，0），
∴OA=5．
∵，
∴，解得OC=2，
∴C（0，﹣2），
∴BD=OC=2，
∵B（0，3），BD∥x轴，
∴D（﹣2，3），
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴，
设直线AC关系式为y=kx+b，
∵过A（5，0），C（0，﹣2），
∴，解得，
∴；
（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），
∴BC=5=OA，
在△OAC和△BCD中
∴△OAC≌△BCD（SAS），
∴AC=CD，
∴∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，
∴AC⊥CD；
（3）解：∠BMC=45°．
如图，连接AD，
∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，
∴BD∥x轴，
∴四边形AEBD为平行四边形，
∴AD∥BM，
∴∠BMC=∠DAC，
∵△OAC≌△BCD，
∴AC=CD，
∵AC⊥CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BMC=∠DAC=45°．
【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出
AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.
4．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，
y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．
（1）求反比例函数y= 的解析式；
（2）求点P2和点P3的坐标；
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．
【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，
则B1与P1关于y轴对称，
∵B1（﹣1，1），
∴P1（1，1）．
则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=
（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，
又点P1的坐标为（1，1），
∴OA1=2，
设点P2的坐标为（a，a+2），
代入y=得a=-1，
故点P2的坐标为（-1，+1），
则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，
设点P3的坐标为（b，b+2），
代入y=（>0）可得b=-，
故点P3的坐标为（-，+）
（3）1；（-，+）
【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…
∴△P n B n O的面积为1，
由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），
故答案为：1、（﹣， +）．
【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；
（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；
（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函
数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，
OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．
∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S△DFO= ×|﹣6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+ =4×3，
解得：n= ，
经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的
图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
6．如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8）、B （m，-2）两点，交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8），
∴k=4×（-8）=-32．
∵双曲线y= 过点B（m，-2），
∴m=16．
由直线y=kx+b过点A，B得：，
解得，，
∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为
（2）解：观察图象可知，当0＜x＜4或x＞16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），
分三种情况：①若OB∥AP，OA∥BP，
∵O（0，0），A（4，-8），
∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；
②若OP∥AB，OA∥BP，
∵A（4，-8），B（16，-2），
∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；
③若OB∥AP，OP∥AB，
∵B（16，-2），A（4，-8），
∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；
∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）
【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x＞0）中，
可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．
（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；
（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；
（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
设，
∵ =12，
∴EC=12-x，
在RtΔBEC中，，
∴
整理得：，
解得：（不合题意舍去），，∴，，
∴，
把代入，得
（3）解：存在．
如图2，
若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=2或OP=6，
∴P（0，2）或P（0，6）；
如图3，
若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=12，
∴P（0，12）；
如图4，
若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，
则，即，
解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），
∴P（0，4+2 ）；
如图5，
若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），
则P点坐标为（0，4-2 ）
故点的坐标为：或或或或【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，
解得：，
所以，
所以，；
【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；
（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在
OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根
据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比
例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。

8．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面
积．
【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，=y，
解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函数的解析式为y1=x+5
（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，
∴2= ，解得x=3，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5=2，
解得x=﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，
点A到CD的距离为6﹣2=4，
联立，
解得（舍去），，
∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，
S△ABC=S△ACD+S△BCD= ×6×4+ ×6×3=12+9=21．
【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D 的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后
△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵tan∠ABO= ，
∴ = ，且OB=4，
∴OA=2，
∵CE⊥x轴，即CE∥AO，
∴△AOB∽△CEB，
∴ = ，即 = ，解得CE=3，
∴C（﹣2，3），
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣
（2）解：设D（x，﹣），
∵D在第四象限，
∴DF=x，OF= ，
∴S△DFO= DF•OF= x× =3，
由（1）可知OA=2，
∴AF=x+ ，
∴S△BAF= AF•OB= （x+ ）×4=2（x+ ），
∵S△BAF=4S△DFO，
∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣，
当x=3+ 时，﹣的值为3﹣，
当x=3﹣时，﹣的值为3+ ，
∵D在第四象限，
∴x=3﹣不合题意，舍去，
∴D（3+ ，3﹣）
（3）解：∵D在第四象限，
∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，
设直线AB解析式为y=kx+b，
由题意可得，解得，
∴直线AB解析式为y=﹣ x+2，
联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或
（舍去），
∴D（6，﹣1），
即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）
【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．
10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，、，，其中、是方程的两根，且，过点的直线与抛物线只有一个公共点
（1）求、两点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）如图2，点是线段上的动点，若过点作轴的平行线与直线相交于点，与抛物线相交于点，过点作的平行线与直线相交于点，求的长. 【答案】（1）解：∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的两根，且x1＜x2，
∴x1=-2，x2=4，
∴A（-2，2），C（4，8）
（2）解：①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，2）在直线l上，
∴2=-2k+b，
∴b=2k+2，
∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①，
∵抛物线y= x2②，
联立①②化简得，x2-2kx-4k-4=0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴△=（2k）2-4（-4k-4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0，
∴k=-2，
∴b=2k+2=-2，
∴直线l的解析式为y=-2x-2；
②平行于y轴的直线和抛物线y= x2只有一个交点，
∵直线l过点A（-2，2），
∴直线l：x=-2
（3）解：由（1）知，A（-2，2），C（4，8），
∴直线AC的解析式为y=x+4，
设点B（m，m+4），
∵C（4.8），
∴BC= |m-4|= （4-m）
∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，
∴D（m， m2），E（m，-2m-2），
∴BD=m+4- m2， BE=m+4-（-2m-2）=3m+6，
∵DC∥EF，
∴△BDC∽△BEF，
∴，
∴，
∴BF=6 .
【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF.
11．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.
（1）请直接写出二次函数的解析式.
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),
∴
解得
∴抛物线表达式：
（2）解：△ABC是直角三角形.
令y=0,则
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A(0,4),C(8,0),
AC= =4 ,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)
③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标
12．已知函数
（1）判断该函数的图象与轴的交点个数．
（2）若，求出函数值在时的取值范围．
（3）若方程在内有且只有一个解，直接写出的范围．
【答案】（1）解：△，当时，图象与轴只有一个交点，当时，图象与轴有两个交点
（2）解：时，，
当时，函数有最小值，
当时，，
故：
（3）解：若方程在内有且只有一个解，
即为和函数只有一个交点，
函数，与轴的交点为：，函数的顶点坐标为：，故在时，
和函数只有一个交点时，或
【解析】【分析】（1）△，即可求解；（2）时，，当时，函数有最小值，当时，，即可求解；（3）若方程在
内有且只有一个解，即为和函数只有一个交点，即可求解
13．综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制
作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为
________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.
【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故答案为：C．
（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”
（3）x；（20﹣2x）2；576
【解析】【解答】（3）解：①如图，
②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．
故答案为：x，（20﹣2x）2， 576
【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．
14．如图，正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合)，
与交于，延长线与交于点，连接 .
（1）求证： .
（2）求证：
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：∵是正方形，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵是正方形，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：由(1)得，，，
∴，
由(2) ，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴
【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已
知条件得到，由（2）可得，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．
15．已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围________；
（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长．【答案】（1）解：∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，
∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0
解得m＝±1．
又∵开口向上，
∴﹣m＞0，
∴m＜0，
∴m＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x．
（2）﹣≤y＜4
（3）解：如图，
∵BC＝1，B、C关于对称轴对称，
∴B（1，0），C（2，0），
∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），
∴AB＝DC＝2，BC＝AD＝1，
∴四边形ABCD的周长为6，
当BC＝1时，矩形的周长为6．
【解析】【解答】解：（2）∵y＝x2﹣3x═（x﹣）2﹣，
∴x＝时，y最小值为﹣，
x＝0时，y＝0，
x＝4时，y＝4，
∴0＜x＜4时，﹣≤y＜4．
故答案为﹣≤y＜4．
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据开口方向确定m的值即可．（2）求出函数最小值以及x＝0或4是的y的值，由此即可判断．（3）由BC＝1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A （1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解决问题．。